中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算數(shù)學(xué)）能力提高訓(xùn)練試題庫(kù)及答案(福建省漳州市2025年)單項(xiàng)選擇題1.已知在死亡均勻分布假設(shè)下，\(l_x=1000(1-\frac{x}{100})\)，\(0\leqx\leq100\)，則\(_{0.5}q_{30}\)的值為（）A.0.0025B.0.005C.0.0075D.0.01E.0.0125答案：B解析：首先明確在死亡均勻分布假設(shè)下，\(_{t}q_{x}=tq_{x}\)。先求\(q_{30}\)，根據(jù)\(q_{x}=\frac{l_{x}-l_{x+1}}{l_{x}}\)，已知\(l_x=1000(1-\frac{x}{100})\)，則\(l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=700\)，\(l_{31}=1000(1-\frac{31}{100})=690\)，所以\(q_{30}=\frac{l_{30}-l_{31}}{l_{30}}=\frac{700-690}{700}=\frac{1}{70}\)。那么\(_{0.5}q_{30}=0.5q_{30}=0.5\times\frac{1}{70}\approx0.00714\)這里我們換一種思路，根據(jù)\(_{t}q_{x}=\frac{l_{x}-l_{x+t}}{l_{x}}\)，\(l_{30}=1000(1-\frac{30}{100})=700\)，\(l_{30.5}=1000(1-\frac{30.5}{100})=695\)，所以\(_{0.5}q_{30}=\frac{l_{30}-l_{30.5}}{l_{30}}=\frac{700-695}{700}=0.005\)2.設(shè)某險(xiǎn)種的損失額\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=0.01\)的指數(shù)分布，若免賠額為\(100\)，則每次損失的平均賠付額為（）A.90B.100C.110D.120E.130答案：B解析：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0\)，分布函數(shù)為\(F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0\)。設(shè)賠付額為\(Y\)，當(dāng)\(X\leq100\)時(shí)，\(Y=0\)；當(dāng)\(X\gt100\)時(shí)，\(Y=X-100\)。根據(jù)期望公式\(E(Y)=\int_{100}^{+\infty}(x-100)\lambdae^{-\lambdax}dx\)，令\(t=x-100\)，則\(x=t+100\)，\(dx=dt\)，積分變?yōu)閈(\int_{0}^{+\infty}t\lambdae^{-\lambda(t+100)}dt=e^{-100\lambda}\int_{0}^{+\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt\)。對(duì)于指數(shù)分布\(E(X)=\frac{1}{\lambda}\)，\(\int_{0}^{+\infty}t\lambdae^{-\lambdat}dt=\frac{1}{\lambda}\)，已知\(\lambda=0.01\)，所以\(E(Y)=e^{-100\times0.01}\times\frac{1}{0.01}=e^{-1}\times100\approx100\)多項(xiàng)選擇題1.關(guān)于生存函數(shù)\(S(x)\)，以下說(shuō)法正確的有（）A.\(S(x)\)是單調(diào)遞減函數(shù)B.\(S(0)=1\)C.\(\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=0\)D.\(S(x)\)表示\(x\)歲的人活到\(x+t\)歲的概率E.\(S(x)\)是右連續(xù)函數(shù)答案：ABCE解析：-選項(xiàng)A：生存函數(shù)\(S(x)=\frac{l_{x}}{l_{0}}\)，隨著\(x\)的增大，\(l_{x}\)是單調(diào)遞減的（因?yàn)樗劳鋈藬?shù)不斷增加），所以\(S(x)\)是單調(diào)遞減函數(shù)，A正確。-選項(xiàng)B：\(S(0)=\frac{l_{0}}{l_{0}}=1\)，表示剛出生的人存活的概率為\(1\)，B正確。-選項(xiàng)C：當(dāng)\(x\rightarrow+\infty\)時(shí)，\(l_{x}\rightarrow0\)，所以\(\lim_{x\rightarrow+\infty}S(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{l_{x}}{l_{0}}=0\)，C正確。-選項(xiàng)D：\(S(x)\)表示剛出生的人活到\(x\)歲的概率，\(_{t}p_{x}=\frac{S(x+t)}{S(x)}\)表示\(x\)歲的人活到\(x+t\)歲的概率，D錯(cuò)誤。-選項(xiàng)E：生存函數(shù)\(S(x)\)是右連續(xù)函數(shù)，E正確。2.以下哪些是風(fēng)險(xiǎn)度量的方法（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）D.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）E.損失期望值答案：ABCDE解析：-選項(xiàng)A：方差\(Var(X)=E[(X-E(X))^{2}]\)，它衡量了隨機(jī)變量偏離其均值的程度，是一種常用的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，方差越大，風(fēng)險(xiǎn)越大，A正確。-選項(xiàng)B：標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，\(\sigma=\sqrt{Var(X)}\)，與方差類似，也是衡量風(fēng)險(xiǎn)的一種方式，B正確。-選項(xiàng)C：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來(lái)特定的一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失，C正確。-選項(xiàng)D：條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）是在給定的置信水平下，超過(guò)VaR的損失的期望值，它考慮了極端損失的情況，是一種更保守的風(fēng)險(xiǎn)度量方法，D正確。-選項(xiàng)E：損失期望值\(E(X)\)可以作為一種簡(jiǎn)單的風(fēng)險(xiǎn)度量，它反映了平均損失水平，E正確。解答題1.已知某群體的生存函數(shù)為\(S(x)=1-\frac{x}{100},0\leqx\leq100\)。（1）求\(q_{20}\)；（2）求\(_{2|3}q_{20}\)。解：（1）根據(jù)\(q_{x}=\frac{S(x)-S(x+1)}{S(x)}\)，已知\(S(x)=1-\frac{x}{100}\)，則\(S(20)=1-\frac{20}{100}=0.8\)，\(S(21)=1-\frac{21}{100}=0.79\)。所以\(q_{20}=\frac{S(20)-S(21)}{S(20)}=\frac{0.8-0.79}{0.8}=\frac{0.01}{0.8}=0.0125\)。（2）首先明確\(_{m|n}q_{x}=_{m}p_{x}-_{m+n}p_{x}\)，其中\(zhòng)(_{t}p_{x}=\frac{S(x+t)}{S(x)}\)。\(_{2}p_{20}=\frac{S(20+2)}{S(20)}=\frac{1-\frac{22}{100}}{1-\frac{20}{100}}=\frac{0.78}{0.8}=0.975\)\(_{2+3}p_{20}=\frac{S(20+5)}{S(20)}=\frac{1-\frac{25}{100}}{1-\frac{20}{100}}=\frac{0.75}{0.8}=0.9375\)所以\(_{2|3}q_{20}=_{2}p_{20}-_{2+3}p_{20}=0.975-0.9375=0.0375\)2.設(shè)某險(xiǎn)種的損失額\(X\)服從正態(tài)分布\(N(500,100^{2})\)，若設(shè)置免賠額\(d\)，使得當(dāng)損失發(fā)生時(shí)，有\(zhòng)(80\%\)的情況需要賠付，求\(d\)的值。解：已知\(X\simN(500,100^{2})\)，設(shè)賠付事件為\(A\)，即\(X\gtd\)時(shí)賠付。已知\(P(X\gtd)=0.8\)，則\(P(X\leqd)=1-0.8=0.2\)。令\(Z=\frac{X-500}{100}\simN(0,1)\)，則\(P(X\leqd)=P(\frac{X-500}{100}\leq\frac{d-500}{100})=\varPhi(\frac{d-500}{100})\)，其中\(zhòng)(\varPhi(z)\)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，使得\(\varPhi(z)=0.2\)的\(z\)值約為\(-0.84\)。所以\(\frac{d-500}{100}=-0.84\)，解得\(d=500-0.84\times100=416\)證明題1.證明在死亡均勻分布假設(shè)下，\(\mu_{x+t}=\frac{1}{1-tq_{x}}\cdot\frac{q_{x}}{1-q_{x}}\)，\(0\leqt\lt1\)。證明：在死亡均勻分布假設(shè)下，\(l_{x+t}=l_{x}(1-tq_{x})\)，\(0\leqt\lt1\)。根據(jù)瞬時(shí)死亡率\(\mu_{x+t}=-\fracz3jilz61osys{dt}\lnl_{x+t}\)。對(duì)\(l_{x+t}=l_{x}(1-tq_{x})\)求導(dǎo)，\(\frac{dl_{x+t}}{dt}=-l_{x}q_{x}\)。則\(\mu_{x+t}=-\frac{\frac{dl_{x+t}}{dt}}{l_{x+t}}=\frac{l_{x}q_{x}}{l_{x}(1-tq_{x})}=\frac{q_{x}}{1-tq_{x}}\)。又因?yàn)閈(q_{x}=\frac{l_{x}-l_{x+1}}{l_{x}}\)，\(p_{x}=1-q_{x}=\frac{l_{x+1}}{l_{x}}\)，\(\frac{q_{x}}{1-q_{x}}=\frac{l_{x}-l_{x+1}}{l_{x+1}}\)。所以\(\mu_{x+t}=\frac{1}{1-tq_{x}}\cdot\frac{q_{x}}{1-q_{x}}\)，\(0\leqt\lt1\)。綜合分析題某保險(xiǎn)公司開(kāi)發(fā)了一款新的健康險(xiǎn)產(chǎn)品，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，被保險(xiǎn)人的醫(yī)療費(fèi)用\(X\)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布\(LN(\mu,\sigma^{2})\)，其中\(zhòng)(\mu=5\)，\(\sigma=1\)。該產(chǎn)品設(shè)置了免賠額\(d=100\)，賠付比例為\(80\%\)。（1）求醫(yī)療費(fèi)用的均值和方差；（2）求每次損失的平均賠付額。解：（1）若\(X\simLN(\mu,\sigma^{2})\)，則\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}\)，\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^{2}}(e^{\sigma^{2}}-1)\)。已知\(\mu=5\)，\(\sigma=1\)，則\(E(X)=e^{5+\frac{1^{2}}{2}}=e^{5.5}\approx244.69\)。\(Var(X)=e^{2\times5+1^{2}}(e^{1^{2}}-1)=e^{11}(e-1)\approx59874.14\)。（2）設(shè)賠付額為\(Y\)，當(dāng)\(X\leq100\)時(shí)，\(Y=0\)；當(dāng)\(X\gt100\)時(shí)，\(Y=0.8(X-100)\)。先求\(P(X\leq100)\)，令\(Z=\frac{\lnX-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)，則\(P(X\leq100)=P(\lnX\leq\ln100)=P(Z\leq\frac{\ln100-5}{1})\)。\(\frac{\ln100-5}{1}\approx4.605-5=-0.395\)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得\(P(Z\leq-0.395)=0.346\)。\(E(Y)=\int_{100}^{+\infty}0.8(x-100)f(x)dx\)，其中\(zhòng)(f(x)\)是對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\lnx-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\)。\(E(Y)=0.8\left[\int_{100}^{+\infty}xf(x)dx-100\int_{100}^{+\infty}f(x)dx\right]\)\(\int_{100}^{+\infty}f(x)dx=1-P(X\leq100)=1-0.346=0.654\)\(\int_{100}^{+\infty}xf(x)dx\)，令\(t=\lnx\)，\(x=e^{t}\)，\(dx=e^{t}dt\)，積分變?yōu)閈(\int_{\ln100}^{+\infty}e^{t}\cdot\frac{1}{e^{t}\cdot1\cdot\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t-5)^{2}}{2\times1^{2}}}e^{t}dt\)\(=\int_{\ln100}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{t-\frac{(t-5)^{2}}{2