初三數(shù)學(xué)直線與角專項(xiàng)復(fù)習(xí)練習(xí)同學(xué)們，初三的復(fù)習(xí)備考已進(jìn)入關(guān)鍵階段?！爸本€與角”作為平面幾何的入門與基石，貫穿于整個(gè)初中幾何的學(xué)習(xí)過程，其重要性不言而喻。無論是后續(xù)的三角形、四邊形，還是圓的學(xué)習(xí)，都離不開對(duì)直線與角基本概念、性質(zhì)及關(guān)系的深刻理解和靈活運(yùn)用。本次專項(xiàng)復(fù)習(xí)，我們將回歸基礎(chǔ)，梳理重點(diǎn)，通過典型例題與針對(duì)性練習(xí)，幫助大家夯實(shí)基礎(chǔ)，提升解題能力，為攻克更復(fù)雜的幾何問題做好充分準(zhǔn)備。一、核心概念與性質(zhì)回顧在開始練習(xí)之前，讓我們先簡(jiǎn)要回顧一下本章的核心概念與基本性質(zhì)，這是解決一切幾何問題的前提。（一）直線、射線、線段1.直線：直線是向兩方無限延伸的，沒有端點(diǎn)，無法度量長(zhǎng)度。經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線（簡(jiǎn)述為：兩點(diǎn)確定一條直線）。2.射線：射線是直線上的一點(diǎn)和它一旁的部分，有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一方無限延伸，無法度量長(zhǎng)度。3.線段：線段是直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分，有兩個(gè)端點(diǎn)，可以度量長(zhǎng)度。兩點(diǎn)之間，線段最短。4.線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)。若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則AM=MB=1/2AB。（二）角1.角的定義：由公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊。此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。2.角的表示：通常用三個(gè)大寫字母表示（頂點(diǎn)字母在中間），如∠AOB；也可用一個(gè)大寫字母表示（頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)），如∠O；還可用一個(gè)數(shù)字或希臘字母表示，如∠1，∠α。3.角的度量：角的度量單位是度、分、秒。1°=60′，1′=60″。4.角的分類：*銳角：大于0°且小于90°的角。*直角：等于90°的角。*鈍角：大于90°且小于180°的角。*平角：等于180°的角（兩邊成一條直線）。*周角：等于360°的角（一條射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周）。5.角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠COB=1/2∠AOB。（三）相交線與平行線1.相交線：*對(duì)頂角：兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)而沒有公共邊的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。對(duì)頂角相等。*鄰補(bǔ)角：兩條直線相交后所得的有一個(gè)公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角互補(bǔ)（和為180°）。*垂線：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。*性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。*垂線段最短：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單說成：垂線段最短。2.平行線：*定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。*平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。*平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。*平行線的判定：*同位角相等，兩直線平行。*內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。*同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。*平行于同一條直線的兩條直線平行。*在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行。*平行線的性質(zhì)：*兩直線平行，同位角相等。*兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。*兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。二、典型例題解析例1：如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度數(shù)。（*此處應(yīng)有示意圖：直線AB與CD相交于O，OE在∠AOD內(nèi)部，OF在∠BOC附近，使得∠FOC為直角，∠1為∠AOE或∠EOD，根據(jù)描述應(yīng)為∠AOE=40°*）分析：本題主要考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念及角平分線的性質(zhì)。首先，我們需要根據(jù)圖形和已知條件，準(zhǔn)確識(shí)別各個(gè)角之間的關(guān)系?！螰OC=90°，∠1=40°，我們可以先求出與它們相關(guān)的角的度數(shù)，再逐步求出∠2和∠3。解答：∵直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOB=180°（平角定義）。∵∠FOC=90°，∠1=40°（假設(shè)∠1為∠AOE），又∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠1=2×40°=80°。∵∠AOD與∠BOC是對(duì)頂角，∴∠BOC=∠AOD=80°?！摺螰OC=90°，∴∠3=∠BOC-∠FOC？不對(duì)，若F在OB上，則∠BOF=∠BOC-∠FOC=80°-90°，顯然不對(duì)。說明∠1的位置可能是∠BOC的鄰補(bǔ)角的一部分?；蛘?，更直接的，∠AOD=80°，則∠COB=80°，∠AOC與∠AOD互補(bǔ)，所以∠AOC=180°-80°=100°?！螰OC=90°，若OF在∠AOC內(nèi)，則∠AOF=∠AOC-∠FOC=100°-90°=10°。但題目求∠2和∠3，看來需要更清晰的圖形對(duì)應(yīng)。（*教師提示：在解決這類問題時(shí)，首先要仔細(xì)觀察圖形，明確各個(gè)角的位置關(guān)系。對(duì)于“∠1”，通常是圖中標(biāo)注的角，假設(shè)圖中∠1為∠BOF=40°，則因?yàn)椤螰OC=90°，所以∠BOC=∠BOF+∠FOC=40°+90°=130°?！螦OD與∠BOC是對(duì)頂角，所以∠AOD=∠BOC=130°。OE平分∠AOD，所以∠2=∠AOD/2=130°/2=65°?！?與∠AOD互補(bǔ)，所以∠3=180°-∠AOD=180°-130°=50°。*）（*注：此處因文本限制無法配圖，實(shí)際教學(xué)中應(yīng)結(jié)合圖形。此例旨在說明分析過程，具體以實(shí)際圖形為準(zhǔn)。關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、角平分線的定義和性質(zhì)進(jìn)行逐步推理。*）例2：已知：如圖，∠1=∠2，∠C=∠D。求證：∠A=∠F。（*此處應(yīng)有示意圖：典型的“M”型或“漏斗”型平行線證明題，涉及多組平行線的判定與性質(zhì)轉(zhuǎn)換，例如：直線AC與DF被直線AG所截，∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角或同位角，BC與DE可能平行，進(jìn)而推出AC與DF平行。*）分析：要證∠A=∠F，通常可考慮證明AC∥DF。要證AC∥DF，可通過證明∠C=∠CEF或∠D=∠CEF等，這就需要結(jié)合已知條件∠C=∠D進(jìn)行轉(zhuǎn)化。而已知∠1=∠2，通?？勺鳛榕卸硟蓷l直線平行的條件。解答：證明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（對(duì)頂角相等），∴∠2=∠3（等量代換）?！郆D∥CE（同位角相等，兩直線平行）?！唷螩=∠ABD（兩直線平行，同位角相等）。又∵∠C=∠D（已知），∴∠ABD=∠D（等量代換）。∴AC∥DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）?！唷螦=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“由角定線”（判定）和“由線定角”（性質(zhì)）的思維轉(zhuǎn)換。三、專項(xiàng)練習(xí)題（一）選擇題（每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）1.下列說法中，正確的是（）A.延長(zhǎng)射線OAB.作直線AB的垂直平分線C.已知線段AB=5cm，可畫線段CD=AB=5cmD.兩點(diǎn)之間，直線最短2.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，若AB=10cm，AC=6cm，則線段AD的長(zhǎng)是（）（*示意圖：A----C--D--B*）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm3.下列圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）（*示意圖：四個(gè)選項(xiàng)，分別為不同位置關(guān)系的∠1和∠2*）A.B.C.D.4.如圖，直線a∥b，∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（）（*示意圖：直線a、b被第三條直線所截，∠1與∠2是同旁內(nèi)角*）A.130°B.50°C.40°D.150°5.點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C為直線l上三點(diǎn)，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是（）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm（二）填空題6.一個(gè)角的余角是35°，則這個(gè)角的補(bǔ)角的度數(shù)是________。7.把33.27°化成度、分、秒得________。8.如圖，直線AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1=65°，則∠2的度數(shù)是________。（*示意圖：AB∥CD，直線BD與AB、CD相交，BC平分∠ABD交CD于C，∠1為∠ABC或∠BCD*）（三）解答題9.如圖，已知點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠AOC的平分線，OE是∠COB的平分線。（1）求∠DOE的度數(shù)；（2）若∠AOD=30°，求∠COE的度數(shù)。（*示意圖：直線AB，O為AB上一點(diǎn)，OC為一條射線，OD在∠AOC內(nèi)，OE在∠COB內(nèi)*）10.如圖，已知∠B=∠C，點(diǎn)B、A、D在同一條直線上，∠DAC=∠B+∠C，AE是∠DAC的平分線。求證：AE∥BC。（*示意圖：D--A--B，E在∠DAC的平分線上，連接AE*）11.如圖，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°。求∠AGD的度數(shù)。（*示意圖：EF∥AD，DG交AB于G，∠1為∠BAD，∠2為∠AGD的同位角或內(nèi)錯(cuò)角*）四、參考答案與提示（一）選擇題1.C（提示：射線本身是無限延伸的，不能延長(zhǎng)；直線沒有中點(diǎn)，無法作垂直平分線；兩點(diǎn)之間，線段最短。）2.D（提示：BC=AB-AC=4cm，D是BC中點(diǎn)，所以CD=2cm，AD=AC+CD=6+2=8cm。）3.（根據(jù)實(shí)際圖形選擇，對(duì)頂角需滿足兩邊互為反向延長(zhǎng)線。）4.A（提示：∠1與∠2是同旁內(nèi)角，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。）5.C（提示：點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，PC=2cm，但PC不一定是垂線段。）（二）填空題6.125°（提示：這個(gè)角是90°-35°=55°，補(bǔ)角是180°-55°=125°。）7.33°16′12″（提示：0.27°=0.27×60′=16.2′，0.2′=0.2×60″=12″。）8.50°（提示：AB∥CD，∠ABC=∠1=65°，BC平分∠ABD，所以∠ABD=2∠ABC=130°，∠2=∠ABD的鄰補(bǔ)角的一半或直接利用平行線性質(zhì)。）（三）解答題9.（1）90°；（提示：OD、OE分別平分∠AOC和∠COB，所以∠DOE=∠DOC+∠COE=1/2∠AOC+1/2∠COB=1/2(∠AOC+∠COB)=1/2×180°=90°。）（2）60°；（提示：∠AOD=30°，則∠AOC=60°，∠COB=180°-60°=120°，∠COE=1/2∠COB=60°。）10.證明：∵∠DAC=∠B+∠C，∠B=∠C，∴∠DAC=2∠B。∵AE是∠DAC的平分線，∴∠DAE=1/2∠DAC=∠B?！郃E∥BC（同位角相等，兩直線平行）。11.解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3（兩直線平行，同位角相等）?！摺?=∠2，∴∠1=∠3。∴DG∥AB（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。∴∠AGD+∠BAC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?！摺螧AC=70°，∴∠AGD=110°。五、復(fù)習(xí)建議1.回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)：直線與角的基本概念、性質(zhì)和判定定理是解決一切幾何問題的根源。務(wù)必吃透教材上的每一個(gè)定義、公理和定理，理解其內(nèi)涵與外延。2.勤于動(dòng)手，規(guī)范作圖：幾何離不開圖形。在解題前，嘗試根據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖形，標(biāo)上已知條件，有助于直觀理解問題。同時(shí)，注意作圖規(guī)范，如用直尺畫直線、射線、線段，用圓規(guī)畫角平分線等。3.重視推理，言必有據(jù)：幾何證明題要求每一步推理都要有依據(jù)。在練習(xí)時(shí)，要養(yǎng)成“因?yàn)槭裁矗允裁?，根?jù)什么定理”的思維習(xí)