基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模方法與應(yīng)用探究一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今科學(xué)與工程領(lǐng)域，非線性系統(tǒng)廣泛存在，其動力學(xué)響應(yīng)的研究至關(guān)重要。從自然科學(xué)中的天氣系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)，到工程領(lǐng)域的航空航天、機械制造、電子電路等，非線性系統(tǒng)無處不在。例如，天氣系統(tǒng)中溫度、濕度、風(fēng)速等因素間的復(fù)雜相互作用，使得天氣變化呈現(xiàn)出非線性特征，天氣預(yù)報因此面臨巨大挑戰(zhàn)，需要借助非線性系統(tǒng)動力學(xué)的方法進(jìn)行分析和預(yù)測；在航空航天領(lǐng)域，飛行器在飛行過程中，其空氣動力學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)等方面都涉及非線性問題，對這些非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的深入研究，有助于優(yōu)化飛行器設(shè)計，提高飛行性能與安全性。非線性系統(tǒng)是指系統(tǒng)的輸出與輸入之間存在復(fù)雜的非線性關(guān)系，無法通過簡單的線性模型來描述。與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動力學(xué)特征，如多穩(wěn)態(tài)性、混沌現(xiàn)象以及對初始條件的敏感性等。這些特征使得非線性系統(tǒng)的行為難以預(yù)測和控制，給相關(guān)領(lǐng)域的研究和應(yīng)用帶來了諸多挑戰(zhàn)。準(zhǔn)確掌握非線性系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)，對于理解系統(tǒng)的行為規(guī)律、優(yōu)化系統(tǒng)性能、保障系統(tǒng)安全穩(wěn)定運行具有重要意義。在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，對生物系統(tǒng)中非線性動力學(xué)的研究，有助于深入理解生物體的復(fù)雜動態(tài)行為，為疾病的診斷和治療提供新的思路和方法；在能源領(lǐng)域，如風(fēng)能、太陽能等可再生能源的開發(fā)與利用中，非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的研究，能夠幫助提高能源轉(zhuǎn)換效率和系統(tǒng)穩(wěn)定性。然而，傳統(tǒng)的建模方法在處理非線性系統(tǒng)時存在一定的局限性。線性模型無法準(zhǔn)確描述非線性系統(tǒng)的復(fù)雜行為，而一些簡單的非線性模型也難以全面捕捉系統(tǒng)的動力學(xué)特性。為了更好地解決非線性系統(tǒng)建模的難題，NARX（非線性自回歸外生輸入）模型應(yīng)運而生。NARX模型作為一種強大的非線性建模工具，能夠有效地處理非線性關(guān)系，考慮外部輸入對系統(tǒng)的影響，具有長期記憶能力，能夠利用過去的輸入和輸出數(shù)據(jù)來預(yù)測未來的數(shù)值。在時間序列預(yù)測任務(wù)中，對于那些受外部因素影響較大的數(shù)據(jù)，如經(jīng)濟指標(biāo)、氣象數(shù)據(jù)等，NARX模型能夠充分考慮外部輸入變量，從而更準(zhǔn)確地預(yù)測未來趨勢；其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)可以反映出時間序列數(shù)據(jù)中的關(guān)聯(lián)性，使得預(yù)測結(jié)果更具可解釋性，相比于一些黑箱模型，更便于研究人員理解和分析系統(tǒng)的行為。因此，研究基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模方法，對于推動非線性系統(tǒng)在各個領(lǐng)域的研究和應(yīng)用具有重要的理論和實際意義。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在國外，NARX模型的研究起步較早，在理論研究與實際應(yīng)用方面都取得了豐富成果。在理論研究上，學(xué)者們不斷深入探索NARX模型的結(jié)構(gòu)特性、參數(shù)估計方法以及模型的穩(wěn)定性和收斂性等問題。Lapedes和Farber首次將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于NARX模型，為其在非線性系統(tǒng)建模中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，他們通過研究發(fā)現(xiàn)，NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠有效逼近復(fù)雜的非線性函數(shù)，為解決非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模問題提供了新的途徑；Chen和Billings對NARX模型的結(jié)構(gòu)辨識進(jìn)行了深入研究，提出了一系列有效的辨識算法，如基于最小描述長度準(zhǔn)則的方法，該方法能夠在眾多可能的模型結(jié)構(gòu)中，選擇出既能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)行為，又不過于復(fù)雜的最優(yōu)模型結(jié)構(gòu)，提高了模型的泛化能力和預(yù)測精度。在實際應(yīng)用中，NARX模型被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。在生物醫(yī)學(xué)工程領(lǐng)域，學(xué)者們利用NARX模型對生物信號進(jìn)行建模和分析，如對心電信號、腦電信號的處理，通過準(zhǔn)確捕捉生物信號中的非線性特征，實現(xiàn)對疾病的早期診斷和病情監(jiān)測；在電力系統(tǒng)中，NARX模型用于負(fù)荷預(yù)測和電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，考慮到電力負(fù)荷受多種因素影響，呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性特性，NARX模型能夠充分利用歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)以及外部因素（如天氣、節(jié)假日等），對未來負(fù)荷進(jìn)行較為準(zhǔn)確的預(yù)測，為電力系統(tǒng)的規(guī)劃和調(diào)度提供有力支持。國內(nèi)對于NARX模型的研究也在不斷發(fā)展。許多高校和科研機構(gòu)在該領(lǐng)域開展了深入研究，在理論和應(yīng)用方面都取得了顯著進(jìn)展。在理論研究方面，國內(nèi)學(xué)者在NARX模型的改進(jìn)與優(yōu)化上做了大量工作。如提出了基于遺傳算法優(yōu)化的NARX模型，利用遺傳算法的全局搜索能力，對NARX模型的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提高了模型的性能和收斂速度；在應(yīng)用研究方面，NARX模型在我國工業(yè)生產(chǎn)、航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。在工業(yè)過程控制中，針對具有強非線性、時變特性的工業(yè)生產(chǎn)過程，如化工生產(chǎn)、鋼鐵冶煉等，NARX模型能夠建立準(zhǔn)確的過程模型，實現(xiàn)對生產(chǎn)過程的精確控制，提高產(chǎn)品質(zhì)量和生產(chǎn)效率；在航空航天領(lǐng)域，NARX模型用于飛行器的動力學(xué)建模和飛行性能預(yù)測，為飛行器的設(shè)計和飛行控制提供了重要依據(jù)。盡管國內(nèi)外在基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模方面取得了眾多成果，但仍存在一些不足之處。在模型結(jié)構(gòu)選擇和參數(shù)優(yōu)化方面，目前還缺乏統(tǒng)一、有效的理論和方法，大多依賴于經(jīng)驗和試錯，這不僅耗費大量時間和計算資源，而且難以保證模型的最優(yōu)性；NARX模型對數(shù)據(jù)的依賴性較強，數(shù)據(jù)的質(zhì)量和數(shù)量直接影響模型的性能，但在實際應(yīng)用中，獲取高質(zhì)量、充足的數(shù)據(jù)往往存在困難，數(shù)據(jù)中的噪聲和缺失值也會對模型的準(zhǔn)確性產(chǎn)生較大影響；在多變量、強耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)中，NARX模型的建模能力還有待進(jìn)一步提高，如何更好地處理變量之間的復(fù)雜關(guān)系，提高模型的精度和可靠性，是未來研究需要解決的重要問題。這些不足也為后續(xù)研究指明了方向，如深入研究模型結(jié)構(gòu)與參數(shù)的優(yōu)化方法，發(fā)展數(shù)據(jù)處理和增強技術(shù)，以及探索適用于復(fù)雜非線性系統(tǒng)的NARX模型改進(jìn)策略等。1.3研究內(nèi)容與方法本研究的具體內(nèi)容涵蓋多個關(guān)鍵方面，旨在全面深入地探究基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模方法。首先是NARX模型理論的深入剖析，全面研究NARX模型的基本原理，包括其結(jié)構(gòu)特點、輸入輸出關(guān)系以及在處理非線性問題時的獨特優(yōu)勢；詳細(xì)分析模型中的自回歸項和外生輸入項，深入理解它們?nèi)绾螀f(xié)同作用以捕捉系統(tǒng)的動態(tài)特性，例如在預(yù)測電力負(fù)荷時，自回歸項可以利用過去的負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，外生輸入項則能將天氣等外部因素納入考量，從而更準(zhǔn)確地預(yù)測未來負(fù)荷。建模步驟的系統(tǒng)構(gòu)建也是重要內(nèi)容。第一步是數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理，廣泛收集與研究對象相關(guān)的各類數(shù)據(jù)，如在航空發(fā)動機建模中，收集發(fā)動機的運行參數(shù)、環(huán)境數(shù)據(jù)等，同時運用數(shù)據(jù)清洗、歸一化等技術(shù)對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，去除噪聲和異常值，使數(shù)據(jù)符合模型要求；第二步為模型結(jié)構(gòu)確定，通過理論分析、經(jīng)驗判斷以及模型選擇準(zhǔn)則，如AIC（赤池信息準(zhǔn)則）、BIC（貝葉斯信息準(zhǔn)則）等，確定NARX模型的最佳結(jié)構(gòu)，包括輸入層、隱藏層和輸出層的節(jié)點數(shù)量，以及各層之間的連接方式；第三步是參數(shù)估計，采用合適的優(yōu)化算法，如梯度下降法、遺傳算法等，對模型參數(shù)進(jìn)行估計，以最小化模型預(yù)測值與實際值之間的誤差，提高模型的準(zhǔn)確性。本研究還將進(jìn)行應(yīng)用案例分析。選擇具有代表性的非線性系統(tǒng)，如化工生產(chǎn)過程、生物醫(yī)學(xué)信號處理等領(lǐng)域的實際案例，將構(gòu)建的NARX模型應(yīng)用于這些案例中，進(jìn)行動力學(xué)響應(yīng)建模；通過與實際數(shù)據(jù)的對比，評估模型的預(yù)測性能，如計算均方根誤差（RMSE）、平均絕對誤差（MAE）等指標(biāo)，分析模型的準(zhǔn)確性和可靠性；深入探討模型在實際應(yīng)用中存在的問題及改進(jìn)方向，如在化工生產(chǎn)過程建模中，可能發(fā)現(xiàn)模型對某些復(fù)雜反應(yīng)過程的描述不夠準(zhǔn)確，進(jìn)而針對性地提出改進(jìn)措施。為了實現(xiàn)研究目標(biāo)，本研究擬采用多種研究方法。文獻(xiàn)研究法是基礎(chǔ)，全面收集國內(nèi)外關(guān)于NARX模型及非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模的相關(guān)文獻(xiàn)資料，包括學(xué)術(shù)論文、研究報告、專著等，通過對這些文獻(xiàn)的梳理和分析，了解該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢以及存在的問題，為研究提供理論支持和研究思路。案例分析法不可或缺，選取多個實際案例進(jìn)行深入分析，詳細(xì)了解案例中非線性系統(tǒng)的特點、運行機制以及建模需求，將NARX模型應(yīng)用于案例中，研究模型在不同場景下的表現(xiàn)，總結(jié)經(jīng)驗和教訓(xùn)，為模型的優(yōu)化和推廣提供實踐依據(jù)。實驗驗證法是檢驗研究成果的關(guān)鍵，設(shè)計并開展實驗，通過實際采集的數(shù)據(jù)來驗證NARX模型的有效性和可靠性；在實驗過程中，嚴(yán)格控制實驗條件，設(shè)置多組對比實驗，對比不同模型或不同參數(shù)設(shè)置下的實驗結(jié)果，進(jìn)一步優(yōu)化模型，確保研究結(jié)果的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。二、NARX模型基礎(chǔ)理論2.1NARX模型概述2.1.1NARX模型定義NARX模型，即非線性自回歸外生輸入（NonlinearAuto-RegressivewitheXogenousinputs）模型，是一種強大的用于描述非線性動態(tài)系統(tǒng)的模型。其數(shù)學(xué)定義如下：y(t)=f(y(t-1),y(t-2),\cdots,y(t-n_y),u(t-1),u(t-2),\cdots,u(t-n_u))+e(t)在上述公式中，各參數(shù)具有明確的含義。y(t)表示系統(tǒng)在時刻t的輸出，它是模型的預(yù)測目標(biāo)，例如在預(yù)測電力負(fù)荷時，y(t)就是時刻t的電力負(fù)荷值；y(t-i)（i=1,2,\cdots,n_y）是系統(tǒng)過去時刻的輸出，這些歷史輸出值被稱為自回歸項，它們反映了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和動態(tài)特性，n_y為自回歸階數(shù)，代表了模型考慮的過去輸出的時間步數(shù)，通過調(diào)整n_y，可以使模型更好地捕捉系統(tǒng)輸出的歷史依賴關(guān)系；u(t-j)（j=1,2,\cdots,n_u）是系統(tǒng)在過去時刻的外生輸入，外生輸入是指來自系統(tǒng)外部的影響因素，如在電力負(fù)荷預(yù)測中，天氣溫度、節(jié)假日等因素都可以作為外生輸入，n_u為外生輸入階數(shù)，表示模型考慮的過去外生輸入的時間步數(shù)，它決定了模型對外部因素歷史信息的利用程度；f(\cdot)是一個非線性函數(shù)，它能夠捕捉系統(tǒng)輸出與過去輸出、外生輸入之間的復(fù)雜非線性關(guān)系，通?？梢圆捎蒙窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法來逼近這個函數(shù)，例如使用多層感知器（MLP）作為非線性函數(shù)逼近器，通過調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏置，使模型能夠準(zhǔn)確地擬合系統(tǒng)的非線性特性；e(t)表示時刻t的誤差項，它包含了模型未考慮到的因素以及測量噪聲等，反映了模型預(yù)測值與實際值之間的差異，在模型訓(xùn)練過程中，通過最小化誤差項來優(yōu)化模型參數(shù)，提高模型的預(yù)測精度。2.1.2模型特點與優(yōu)勢NARX模型相較于其他模型在處理非線性系統(tǒng)時，具有諸多顯著的特點和優(yōu)勢。在考慮歷史輸入輸出方面，NARX模型具有獨特的自回歸結(jié)構(gòu)，能夠充分利用系統(tǒng)過去的輸入和輸出信息。與一些只考慮當(dāng)前輸入的模型不同，NARX模型通過自回歸項y(t-i)將系統(tǒng)的歷史輸出納入模型，這使得模型能夠捕捉到系統(tǒng)的動態(tài)變化趨勢和記憶特性。在對化學(xué)反應(yīng)過程進(jìn)行建模時，反應(yīng)的當(dāng)前狀態(tài)往往受到過去反應(yīng)條件和產(chǎn)物濃度的影響，NARX模型可以利用過去時刻的反應(yīng)輸出信息，準(zhǔn)確地預(yù)測當(dāng)前和未來的反應(yīng)狀態(tài)，而簡單的線性模型由于無法考慮歷史輸出的影響，很難對這種動態(tài)變化的化學(xué)反應(yīng)過程進(jìn)行有效建模。在適應(yīng)復(fù)雜系統(tǒng)方面，NARX模型表現(xiàn)出色。它能夠處理具有復(fù)雜非線性關(guān)系的系統(tǒng)，這得益于其使用的非線性函數(shù)f(\cdot)。許多實際的非線性系統(tǒng)，如生物生態(tài)系統(tǒng)、社會經(jīng)濟系統(tǒng)等，其內(nèi)部各因素之間的關(guān)系錯綜復(fù)雜，呈現(xiàn)出高度的非線性特征。NARX模型通過強大的非線性映射能力，能夠準(zhǔn)確地描述這些復(fù)雜的非線性關(guān)系，相比線性模型或一些簡單的非線性模型，具有更高的建模精度和適應(yīng)性。在社會經(jīng)濟系統(tǒng)中，經(jīng)濟增長與消費、投資、政策等因素之間存在復(fù)雜的非線性關(guān)系，NARX模型可以通過合適的非線性函數(shù)逼近這些關(guān)系，為經(jīng)濟預(yù)測和政策制定提供更準(zhǔn)確的依據(jù)。此外，NARX模型還具有靈活性和可解釋性的優(yōu)勢。它可以根據(jù)不同的應(yīng)用場景和數(shù)據(jù)特點，靈活調(diào)整模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，如自回歸階數(shù)n_y和外生輸入階數(shù)n_u，以適應(yīng)不同系統(tǒng)的建模需求。在處理不同類型的時間序列數(shù)據(jù)時，可以通過實驗和分析，選擇最優(yōu)的模型階數(shù)，提高模型的性能；同時，NARX模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)具有一定的物理意義，相比一些黑箱模型，更容易被理解和解釋，這使得研究人員能夠更好地分析系統(tǒng)的行為和特性，為實際應(yīng)用提供更有價值的信息。在電力系統(tǒng)負(fù)荷預(yù)測中，通過分析NARX模型的參數(shù)，可以了解不同因素（如歷史負(fù)荷、天氣等）對負(fù)荷變化的影響程度，從而采取相應(yīng)的措施來優(yōu)化電力系統(tǒng)的運行和管理。2.2NARX模型的結(jié)構(gòu)與原理2.2.1網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)組成NARX模型的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)主要由輸入層、隱藏層、輸出層以及反饋連接構(gòu)成，各部分相互協(xié)作，共同實現(xiàn)對非線性系統(tǒng)的建模與預(yù)測。輸入層是模型與外部數(shù)據(jù)交互的接口，它接收兩類重要信息：系統(tǒng)的歷史輸出數(shù)據(jù)y(t-1),y(t-2),\cdots,y(t-n_y)和外生輸入數(shù)據(jù)u(t-1),u(t-2),\cdots,u(t-n_u)。歷史輸出數(shù)據(jù)反映了系統(tǒng)自身過去的狀態(tài)，通過對這些數(shù)據(jù)的輸入，模型能夠捕捉到系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)變化規(guī)律和記憶特性；外生輸入數(shù)據(jù)則包含了來自系統(tǒng)外部的各種影響因素，如在交通流量預(yù)測中，天氣狀況、節(jié)假日安排等都可以作為外生輸入，輸入層將這些不同來源的數(shù)據(jù)整合并傳遞給后續(xù)的隱藏層，為模型全面理解系統(tǒng)行為提供基礎(chǔ)信息。隱藏層在NARX模型中起著關(guān)鍵作用，它是實現(xiàn)非線性映射的核心部分。隱藏層由多個神經(jīng)元組成，神經(jīng)元之間通過權(quán)重相互連接。這些神經(jīng)元采用非線性激活函數(shù)，如常用的Sigmoid函數(shù)、ReLU函數(shù)或tanh函數(shù)等。非線性激活函數(shù)的引入使得隱藏層能夠?qū)斎霐?shù)據(jù)進(jìn)行高度復(fù)雜的非線性變換，從而捕捉到輸入數(shù)據(jù)之間的復(fù)雜關(guān)系。以Sigmoid函數(shù)為例，它能夠?qū)⑤斎霐?shù)據(jù)映射到(0,1)區(qū)間，這種非線性變換可以將線性不可分的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為線性可分，增強了模型對復(fù)雜非線性關(guān)系的表達(dá)能力。隱藏層通過對輸入層傳來的歷史輸出數(shù)據(jù)和外生輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，提取出數(shù)據(jù)中的關(guān)鍵特征和模式，為輸出層的預(yù)測提供有力支持。輸出層負(fù)責(zé)產(chǎn)生最終的預(yù)測結(jié)果，即系統(tǒng)在當(dāng)前時刻的輸出y(t)。輸出層的神經(jīng)元數(shù)量通常根據(jù)具體的預(yù)測任務(wù)確定，當(dāng)進(jìn)行單變量預(yù)測時，輸出層只有一個神經(jīng)元；而在多變量預(yù)測中，輸出層則有多個神經(jīng)元，每個神經(jīng)元對應(yīng)一個預(yù)測變量。輸出層的計算過程相對簡單，它根據(jù)隱藏層傳遞過來的信息，通過線性加權(quán)求和等方式生成最終的預(yù)測值。在預(yù)測電力負(fù)荷時，輸出層的神經(jīng)元根據(jù)隱藏層提取的特征和權(quán)重，計算出預(yù)測的電力負(fù)荷值，該值將與實際的電力負(fù)荷值進(jìn)行比較，用于評估模型的預(yù)測性能。反饋連接是NARX模型區(qū)別于其他前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要特征。它將模型的輸出反饋到輸入層，作為下一個時刻輸入的一部分。這種反饋機制使得模型能夠考慮到系統(tǒng)的動態(tài)變化，利用當(dāng)前的輸出信息來影響未來的預(yù)測。在機器人運動控制中，機器人當(dāng)前的位置和姿態(tài)信息作為模型的輸出，通過反饋連接回到輸入層，與其他輸入信息一起用于預(yù)測機器人下一個時刻的位置和姿態(tài)，從而實現(xiàn)對機器人運動的精確控制。反饋連接增強了模型對系統(tǒng)長期依賴關(guān)系的捕捉能力，使其能夠更好地適應(yīng)具有動態(tài)特性的非線性系統(tǒng)。2.2.2工作原理剖析NARX模型的工作原理基于對歷史輸入輸出數(shù)據(jù)的有效利用，以實現(xiàn)對當(dāng)前輸出的準(zhǔn)確預(yù)測。在模型訓(xùn)練階段，首先收集大量的歷史輸入輸出數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)包含了系統(tǒng)在不同時刻的狀態(tài)信息，是模型學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。對于一個化工生產(chǎn)過程，歷史數(shù)據(jù)可能包括過去不同時刻的原料流量、反應(yīng)溫度、產(chǎn)物濃度等，這些數(shù)據(jù)被劃分為訓(xùn)練集和驗證集。訓(xùn)練集用于訓(xùn)練模型，讓模型學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)中的規(guī)律和模式；驗證集則用于評估模型的性能，防止模型過擬合。模型通過自回歸項和外生輸入項來構(gòu)建預(yù)測方程。自回歸項y(t-i)（i=1,2,\cdots,n_y）利用系統(tǒng)過去的輸出信息，反映了系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)和動態(tài)變化趨勢。在預(yù)測股票價格時，過去的股票價格走勢對當(dāng)前價格有著重要影響，自回歸項能夠捕捉這種時間序列上的依賴關(guān)系；外生輸入項u(t-j)（j=1,2,\cdots,n_u）則考慮了外部因素對系統(tǒng)的影響。如在股票價格預(yù)測中，宏觀經(jīng)濟指標(biāo)、政策法規(guī)等外部因素都可以作為外生輸入，它們與自回歸項一起，為模型提供了更全面的信息。模型中的非線性函數(shù)f(\cdot)是實現(xiàn)復(fù)雜非線性映射的關(guān)鍵。它通過對輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性變換，將歷史輸出數(shù)據(jù)和外生輸入數(shù)據(jù)映射到輸出空間，得到預(yù)測值\hat{y}(t)。這個非線性函數(shù)通常由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過調(diào)整內(nèi)部的權(quán)重和偏置，不斷優(yōu)化非線性映射關(guān)系，使得預(yù)測值\hat{y}(t)盡可能接近實際輸出值y(t)。在訓(xùn)練過程中，采用損失函數(shù)（如均方誤差損失函數(shù)）來衡量預(yù)測值與實際值之間的差異，通過反向傳播算法調(diào)整神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)，以最小化損失函數(shù)，提高模型的預(yù)測精度。在模型預(yù)測階段，當(dāng)給定新的歷史輸入輸出數(shù)據(jù)時，模型根據(jù)訓(xùn)練得到的參數(shù)和非線性映射關(guān)系，計算出當(dāng)前時刻的預(yù)測輸出。在實際應(yīng)用中，如對未來一段時間的電力負(fù)荷進(jìn)行預(yù)測，將過去的電力負(fù)荷數(shù)據(jù)以及相關(guān)的外生輸入數(shù)據(jù)（如天氣預(yù)測數(shù)據(jù)）輸入到訓(xùn)練好的NARX模型中，模型根據(jù)學(xué)習(xí)到的規(guī)律和模式，輸出預(yù)測的電力負(fù)荷值，為電力系統(tǒng)的規(guī)劃和調(diào)度提供重要依據(jù)。NARX模型通過不斷利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)和預(yù)測，能夠較好地適應(yīng)非線性系統(tǒng)的動態(tài)變化，為各種實際應(yīng)用提供有效的建模和預(yù)測支持。三、基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模步驟3.1數(shù)據(jù)采集與預(yù)處理3.1.1數(shù)據(jù)采集方法在構(gòu)建基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)模型時，數(shù)據(jù)采集是首要且關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，其方法的選擇直接影響后續(xù)建模的準(zhǔn)確性與可靠性。實驗測量是一種常見且直接的數(shù)據(jù)采集方法，在許多實際應(yīng)用場景中發(fā)揮著重要作用。在機械工程領(lǐng)域，研究機械系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)時，可通過在機械部件上安裝各類傳感器，如加速度傳感器、位移傳感器、力傳感器等，來實時測量系統(tǒng)在不同工況下的輸入輸出數(shù)據(jù)。在汽車發(fā)動機的性能測試中，利用傳感器測量發(fā)動機的轉(zhuǎn)速、扭矩、燃油噴射量等輸入數(shù)據(jù)，以及發(fā)動機的振動、噪聲、尾氣排放等輸出數(shù)據(jù)，這些實測數(shù)據(jù)為分析發(fā)動機的非線性動力學(xué)特性提供了第一手資料；在電子電路實驗中，通過示波器、萬用表等儀器測量電路的電壓、電流等參數(shù)，獲取電路系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，以研究電路在不同信號輸入下的非線性響應(yīng)。實驗測量能夠獲取真實、準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，但實驗條件的控制較為嚴(yán)格，且可能受到實驗設(shè)備精度、測量環(huán)境等因素的影響。模擬仿真也是一種重要的數(shù)據(jù)采集手段，尤其適用于一些難以通過實驗直接獲取數(shù)據(jù)的復(fù)雜系統(tǒng)。借助計算機仿真軟件，依據(jù)系統(tǒng)的物理原理和數(shù)學(xué)模型，模擬系統(tǒng)在不同條件下的運行過程，從而生成大量的輸入輸出數(shù)據(jù)。在航空航天領(lǐng)域，對飛行器的飛行性能進(jìn)行研究時，由于實際飛行實驗成本高昂、風(fēng)險較大，常采用模擬仿真的方法。利用專業(yè)的航空仿真軟件，輸入飛行器的設(shè)計參數(shù)、飛行環(huán)境參數(shù)等，模擬飛行器在不同飛行狀態(tài)下的動力學(xué)響應(yīng)，獲取飛行器的姿態(tài)、速度、加速度等輸出數(shù)據(jù)；在氣象研究中，通過數(shù)值模擬軟件，輸入大氣的初始狀態(tài)、邊界條件等信息，模擬天氣系統(tǒng)的演變過程，采集溫度、濕度、氣壓等氣象要素的變化數(shù)據(jù)，為天氣預(yù)報和氣候研究提供數(shù)據(jù)支持。模擬仿真能夠快速生成大量數(shù)據(jù)，且可以方便地改變模擬條件，研究系統(tǒng)在不同工況下的行為，但仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性依賴于所建立的數(shù)學(xué)模型和參數(shù)設(shè)置的合理性。歷史數(shù)據(jù)收集則是充分利用已有的數(shù)據(jù)資源，從各類數(shù)據(jù)庫、監(jiān)測系統(tǒng)或相關(guān)文獻(xiàn)中獲取與研究對象相關(guān)的歷史數(shù)據(jù)。在工業(yè)生產(chǎn)中，許多企業(yè)長期記錄了生產(chǎn)過程中的各種數(shù)據(jù)，如化工企業(yè)記錄了原料的流量、溫度、壓力，以及產(chǎn)品的質(zhì)量、產(chǎn)量等數(shù)據(jù)，通過對這些歷史數(shù)據(jù)的收集和分析，可以建立生產(chǎn)過程的非線性動力學(xué)模型，優(yōu)化生產(chǎn)工藝；在醫(yī)療領(lǐng)域，醫(yī)院積累了大量的患者病歷數(shù)據(jù)，包括患者的癥狀、檢查結(jié)果、治療方案和治療效果等，收集這些數(shù)據(jù)有助于研究疾病的發(fā)展規(guī)律和治療效果的影響因素，為醫(yī)學(xué)研究和臨床診斷提供數(shù)據(jù)依據(jù)。歷史數(shù)據(jù)收集成本較低，但數(shù)據(jù)的質(zhì)量和完整性可能存在問題，需要進(jìn)行仔細(xì)的篩選和處理。3.1.2數(shù)據(jù)清洗與去噪在完成數(shù)據(jù)采集后，由于實際采集過程中可能受到多種因素干擾，如傳感器誤差、數(shù)據(jù)傳輸干擾以及人為記錄失誤等，導(dǎo)致采集到的數(shù)據(jù)往往包含噪聲和錯誤數(shù)據(jù)，這些問題數(shù)據(jù)會嚴(yán)重影響NARX模型的訓(xùn)練效果和預(yù)測精度，因此必須進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗與去噪處理。濾波是一種常用的數(shù)據(jù)去噪方法，它基于信號處理的原理，通過特定的濾波器對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，去除噪聲成分。在處理含有高頻噪聲的信號時，可采用低通濾波器，它允許低頻信號通過，而衰減高頻信號，從而有效地濾除高頻噪聲。在電子電路中，傳感器采集的電壓信號可能受到高頻電磁干擾，通過低通濾波器可以使電壓信號更加平滑，去除噪聲干擾；對于含有低頻噪聲的數(shù)據(jù)，高通濾波器則能發(fā)揮作用，它允許高頻信號通過，抑制低頻噪聲，如在音頻信號處理中，可通過高通濾波器去除音頻中的低頻背景噪聲；帶通濾波器適用于只保留特定頻率范圍內(nèi)信號的情況，在通信領(lǐng)域，常用于篩選出特定頻段的通信信號，去除其他頻段的干擾噪聲。統(tǒng)計檢驗也是檢測和處理錯誤數(shù)據(jù)的有效手段。通過統(tǒng)計學(xué)方法，設(shè)定合理的閾值和判斷標(biāo)準(zhǔn)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗，識別出異常數(shù)據(jù)。在一個包含多個測量值的數(shù)據(jù)集中，可通過計算數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，利用3σ準(zhǔn)則（即數(shù)據(jù)值在均值加減3倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之外的數(shù)據(jù)被視為異常值）來檢測異常數(shù)據(jù)。在質(zhì)量檢測數(shù)據(jù)中，如果某個產(chǎn)品的質(zhì)量測量值遠(yuǎn)超出正常范圍，根據(jù)3σ準(zhǔn)則可判斷該數(shù)據(jù)為異常值，需要進(jìn)一步核實和處理，可能是測量誤差導(dǎo)致，可通過重新測量或采用其他方法進(jìn)行修正；在時間序列數(shù)據(jù)中，可采用基于自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的方法來檢測異常值，若某個時間點的數(shù)據(jù)與前后數(shù)據(jù)的相關(guān)性明顯異常，則可能是錯誤數(shù)據(jù)，需要進(jìn)行處理。除了濾波和統(tǒng)計檢驗，還有其他一些數(shù)據(jù)清洗和去噪方法。對于缺失值，可采用均值填充、中位數(shù)填充、線性插值等方法進(jìn)行處理。在一組溫度測量數(shù)據(jù)中，若存在個別缺失值，可通過計算其他有效數(shù)據(jù)的均值或中位數(shù)來填充缺失值；對于重復(fù)數(shù)據(jù)，可通過數(shù)據(jù)比對和查重算法進(jìn)行識別和刪除，確保數(shù)據(jù)的唯一性。在大規(guī)模的客戶數(shù)據(jù)集中，可能存在重復(fù)的客戶記錄，通過查重算法可以找出并刪除重復(fù)記錄，提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量。數(shù)據(jù)清洗與去噪是一個復(fù)雜且細(xì)致的過程，需要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點和具體應(yīng)用場景，選擇合適的方法或多種方法結(jié)合使用，以提高數(shù)據(jù)的質(zhì)量，為后續(xù)的建模工作提供可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。3.1.3數(shù)據(jù)歸一化處理數(shù)據(jù)歸一化是數(shù)據(jù)預(yù)處理中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，對于基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模具有重要意義。在實際數(shù)據(jù)集中，不同特征的數(shù)據(jù)往往具有不同的量綱和取值范圍，如在研究電力系統(tǒng)負(fù)荷時，負(fù)荷數(shù)據(jù)的取值范圍可能在幾千到幾萬之間，而氣象因素中的溫度數(shù)據(jù)取值范圍通常在幾十以內(nèi)。這種數(shù)據(jù)特征的差異會導(dǎo)致模型在訓(xùn)練過程中，對不同特征的權(quán)重分配產(chǎn)生偏差，使得模型更關(guān)注取值范圍大的特征，而忽視取值范圍小的特征，從而影響模型的準(zhǔn)確性和訓(xùn)練效率。數(shù)據(jù)歸一化能夠?qū)⒉煌卣鞯臄?shù)據(jù)統(tǒng)一映射到一個特定的區(qū)間，消除量綱和取值范圍的差異，使模型能夠更公平地對待各個特征，提高模型的訓(xùn)練效果和泛化能力。常用的數(shù)據(jù)歸一化方法有多種，其中Min-Max歸一化是一種簡單且直觀的方法，其公式為：x'=\frac{x-x_{\min}}{x_{\max}-x_{\min}}在該公式中，x表示原始數(shù)據(jù)，x_{\min}和x_{\max}分別為數(shù)據(jù)集中該特征的最小值和最大值，x'則是歸一化后的數(shù)據(jù)，其取值范圍被映射到[0,1]區(qū)間。在處理一組包含學(xué)生成績的數(shù)據(jù)時，成績的原始取值范圍是0-100分，假設(shè)某學(xué)生的成績?yōu)?0分，該組成績的最小值為50分，最大值為90分，通過Min-Max歸一化計算可得：x'=\frac{80-50}{90-50}=\frac{30}{40}=0.75，即該學(xué)生的成績歸一化后為0.75。Z-Score歸一化，也稱為標(biāo)準(zhǔn)化，是另一種常用的方法，其公式為：x'=\frac{x-\mu}{\sigma}這里，\mu是數(shù)據(jù)的均值，\sigma是數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，x'為歸一化后的數(shù)據(jù)，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。在處理一組身高數(shù)據(jù)時，假設(shè)這組數(shù)據(jù)的均值為170厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為10厘米，某個人的身高為180厘米，經(jīng)過Z-Score歸一化計算：x'=\frac{180-170}{10}=1，表示該人的身高在標(biāo)準(zhǔn)化后為1。以某化工生產(chǎn)過程的建模為例，該過程涉及多個輸入變量，如原料流量、反應(yīng)溫度、壓力等，以及輸出變量產(chǎn)品質(zhì)量。原料流量的單位是立方米/小時，取值范圍在10-50之間；反應(yīng)溫度的單位是攝氏度，取值范圍在80-120之間；產(chǎn)品質(zhì)量的取值范圍在80-100之間。在將這些數(shù)據(jù)用于NARX模型訓(xùn)練之前，采用Min-Max歸一化方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。對于原料流量，假設(shè)其最小值x_{\min}=10，最大值x_{\max}=50，當(dāng)某一時刻的原料流量x=30時，歸一化后的值x'=\frac{30-10}{50-10}=\frac{20}{40}=0.5；對于反應(yīng)溫度，若最小值x_{\min}=80，最大值x_{\max}=120，當(dāng)溫度x=100時，歸一化后的值x'=\frac{100-80}{120-80}=\frac{20}{40}=0.5；對于產(chǎn)品質(zhì)量，若最小值x_{\min}=80，最大值x_{\max}=100，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量x=90時，歸一化后的值x'=\frac{90-80}{100-80}=\frac{10}{20}=0.5。通過歸一化處理，不同變量的數(shù)據(jù)被統(tǒng)一到[0,1]區(qū)間，消除了量綱和取值范圍的差異，為NARX模型的訓(xùn)練提供了更合適的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，有助于提高模型的性能和預(yù)測精度。3.2NARX模型結(jié)構(gòu)設(shè)定3.2.1輸入輸出變量確定在構(gòu)建基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)模型時，準(zhǔn)確確定輸入輸出變量是至關(guān)重要的一步，它直接關(guān)系到模型對系統(tǒng)行為的描述能力和預(yù)測精度。輸入輸出變量的確定需要緊密依據(jù)非線性系統(tǒng)的特性，全面考慮系統(tǒng)的內(nèi)部動態(tài)以及外部影響因素。以電力負(fù)荷預(yù)測為例，這是一個典型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)問題。電力負(fù)荷受到多種因素的綜合影響，其內(nèi)部動態(tài)特性表現(xiàn)為負(fù)荷的變化具有一定的時間相關(guān)性，即當(dāng)前時刻的負(fù)荷與過去一段時間的負(fù)荷情況密切相關(guān)。過去一周內(nèi)每天的用電高峰和低谷時段的負(fù)荷數(shù)據(jù)，能夠反映出負(fù)荷變化的規(guī)律和趨勢，因此，系統(tǒng)的歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)是重要的輸入變量。在確定歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)作為輸入變量時，需要考慮合理的時間跨度和采樣間隔。一般來說，根據(jù)電力負(fù)荷的變化周期和實際應(yīng)用需求，可選擇過去24小時或一周內(nèi)每小時的負(fù)荷數(shù)據(jù)作為輸入，采樣間隔為1小時，這樣既能充分捕捉負(fù)荷的動態(tài)變化，又不會使模型過于復(fù)雜。從外部影響因素來看，氣象條件對電力負(fù)荷有著顯著影響。氣溫的高低直接影響居民和商業(yè)用戶的空調(diào)、供暖設(shè)備的使用，從而影響電力負(fù)荷；濕度、風(fēng)速等氣象因素也會對一些工業(yè)生產(chǎn)過程中的電力消耗產(chǎn)生影響。在夏季高溫時段，隨著氣溫升高，空調(diào)用電需求大幅增加，導(dǎo)致電力負(fù)荷迅速上升；在冬季寒冷地區(qū)，供暖設(shè)備的大量使用也會使電力負(fù)荷顯著增加。因此，氣象數(shù)據(jù)如溫度、濕度、風(fēng)速等應(yīng)作為外生輸入變量納入NARX模型。在實際應(yīng)用中，可獲取當(dāng)?shù)貧庀蟛块T發(fā)布的歷史氣象數(shù)據(jù)，與電力負(fù)荷數(shù)據(jù)進(jìn)行同步采樣，確保數(shù)據(jù)的時間對應(yīng)性。除了氣象條件，日期類型也是影響電力負(fù)荷的重要外部因素。工作日和節(jié)假日的用電模式存在明顯差異，工作日期間，商業(yè)和工業(yè)用電占比較大，負(fù)荷曲線呈現(xiàn)出較為規(guī)律的變化；而在節(jié)假日，居民生活用電成為主導(dǎo)，負(fù)荷曲線相對平緩，且峰值和谷值與工作日不同。因此，日期類型（工作日、周末、節(jié)假日等）也應(yīng)作為輸入變量，以幫助模型更好地捕捉電力負(fù)荷在不同日期下的變化規(guī)律?？梢詫⑷掌陬愋瓦M(jìn)行編碼，例如將工作日編碼為1，周末編碼為2，節(jié)假日編碼為3，以便于模型處理。在生物醫(yī)學(xué)信號處理中，如心電信號分析，輸入變量的選擇則有所不同。心電信號的采集通常通過放置在人體特定部位的電極實現(xiàn)，這些電極能夠記錄心臟電活動產(chǎn)生的電位變化。心電信號本身的多個特征參數(shù)可作為輸入變量，如R波峰值、T波幅值、P-R間期、Q-T間期等，這些參數(shù)反映了心臟的不同生理狀態(tài)和功能。R波峰值的變化可能與心臟的收縮功能有關(guān)，T波幅值的異常可能提示心肌缺血等疾?。籔-R間期和Q-T間期的改變則與心臟的傳導(dǎo)系統(tǒng)功能密切相關(guān)。此外，患者的生理狀態(tài)數(shù)據(jù)，如年齡、性別、血壓、心率等，也可能對心電信號產(chǎn)生影響，可作為外生輸入變量。年齡較大的患者，心臟功能可能會出現(xiàn)一定程度的衰退，心電信號的某些特征參數(shù)可能會發(fā)生變化；高血壓患者的心臟負(fù)荷增加，也可能導(dǎo)致心電信號的異常。通過綜合考慮這些輸入變量，NARX模型能夠更準(zhǔn)確地對心電信號進(jìn)行建模和分析，為疾病的診斷和治療提供有力支持。3.2.2模型階數(shù)與延時量選擇模型階數(shù)與延時量的選擇在NARX模型構(gòu)建中起著關(guān)鍵作用，直接影響模型的性能和預(yù)測精度。合適的模型階數(shù)和延時量能夠使模型充分捕捉非線性系統(tǒng)的動態(tài)特性，而不合理的選擇則可能導(dǎo)致模型過擬合或欠擬合，降低模型的泛化能力。試錯法是一種常用的選擇模型階數(shù)和延時量的方法。該方法通過不斷嘗試不同的階數(shù)和延時量組合，觀察模型在訓(xùn)練集和驗證集上的性能表現(xiàn)，從而確定最優(yōu)的參數(shù)值。在一個簡單的時間序列預(yù)測任務(wù)中，如預(yù)測某地區(qū)的月度用電量，首先可以從較小的階數(shù)和延時量開始嘗試，如自回歸階數(shù)n_y設(shè)為1，外生輸入階數(shù)n_u設(shè)為1，延時量設(shè)為1，然后訓(xùn)練模型并計算模型在驗證集上的均方根誤差（RMSE）。接著，逐步增加階數(shù)和延時量，如將n_y增加到2，n_u增加到2，延時量增加到2，再次訓(xùn)練模型并計算RMSE。通過比較不同組合下的RMSE值，選擇使RMSE最小的階數(shù)和延時量組合作為最終的模型參數(shù)。然而，試錯法需要進(jìn)行大量的實驗和計算，耗費時間和計算資源，且結(jié)果可能受到初始參數(shù)選擇的影響，不一定能找到全局最優(yōu)解。信息準(zhǔn)則法是一種更為科學(xué)和系統(tǒng)的選擇方法，其中常用的信息準(zhǔn)則包括AIC（赤池信息準(zhǔn)則）和BIC（貝葉斯信息準(zhǔn)則）。AIC的計算公式為：AIC=2k-2\ln(L)BIC的計算公式為：BIC=k\ln(n)-2\ln(L)在上述公式中，k表示模型的參數(shù)個數(shù)，n是樣本數(shù)量，\ln(L)是模型的對數(shù)似然函數(shù)值。AIC和BIC綜合考慮了模型的擬合優(yōu)度（通過對數(shù)似然函數(shù)體現(xiàn)）和模型的復(fù)雜度（通過參數(shù)個數(shù)體現(xiàn)）。在選擇模型階數(shù)和延時量時，計算不同階數(shù)和延時量組合下模型的AIC和BIC值，選擇AIC或BIC值最小的組合作為最優(yōu)模型。以一個預(yù)測股票價格的NARX模型為例，當(dāng)嘗試不同的n_y和n_u值時，分別計算每個組合下模型的AIC和BIC。假設(shè)在n_y=3，n_u=2時，AIC值最小，那么就選擇該組合作為模型的階數(shù)。信息準(zhǔn)則法能夠在一定程度上避免過擬合，找到相對最優(yōu)的模型階數(shù)和延時量，但它依賴于模型的對數(shù)似然函數(shù)計算，對于一些復(fù)雜的模型，計算可能較為困難。除了試錯法和信息準(zhǔn)則法，還可以結(jié)合領(lǐng)域知識和經(jīng)驗來選擇模型階數(shù)和延時量。在某些特定的應(yīng)用領(lǐng)域，如化工過程控制，根據(jù)工藝原理和實際運行經(jīng)驗，能夠大致確定模型需要考慮的歷史信息長度，從而初步確定階數(shù)和延時量的范圍。在一個化學(xué)反應(yīng)過程中，根據(jù)反應(yīng)動力學(xué)原理和以往的生產(chǎn)經(jīng)驗，知道反應(yīng)產(chǎn)物的生成量在一定程度上依賴于過去3-5個時間步的反應(yīng)物濃度和反應(yīng)溫度，那么在構(gòu)建NARX模型時，可以將自回歸階數(shù)n_y和外生輸入階數(shù)n_u的初始值設(shè)定在3-5之間，然后再通過其他方法進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化和調(diào)整。這種結(jié)合領(lǐng)域知識的方法能夠減少盲目嘗試的次數(shù)，提高模型構(gòu)建的效率，但需要對應(yīng)用領(lǐng)域有深入的了解和豐富的經(jīng)驗。3.2.3隱藏層神經(jīng)元個數(shù)確定隱藏層神經(jīng)元個數(shù)的確定對于NARX模型的性能有著重要影響。合適的神經(jīng)元個數(shù)能夠使模型具有足夠的學(xué)習(xí)能力，準(zhǔn)確捕捉非線性系統(tǒng)的復(fù)雜特征；而神經(jīng)元個數(shù)過多或過少都可能導(dǎo)致模型性能下降，出現(xiàn)過擬合或欠擬合現(xiàn)象。經(jīng)驗公式在確定隱藏層神經(jīng)元個數(shù)時提供了一定的參考。其中一種常用的經(jīng)驗公式為：n_h=\sqrt{n_i+n_o}+a在該公式中，n_h表示隱藏層神經(jīng)元個數(shù)，n_i是輸入層神經(jīng)元個數(shù)，n_o是輸出層神經(jīng)元個數(shù)，a是一個介于1-10之間的常數(shù)。在一個簡單的非線性回歸問題中，假設(shè)輸入層神經(jīng)元個數(shù)n_i=5，輸出層神經(jīng)元個數(shù)n_o=1，若取a=5，則根據(jù)經(jīng)驗公式計算可得隱藏層神經(jīng)元個數(shù)n_h=\sqrt{5+1}+5=\sqrt{6}+5\approx7.45，此時可將隱藏層神經(jīng)元個數(shù)取為7或8。經(jīng)驗公式基于大量的實踐經(jīng)驗總結(jié)而來，具有一定的指導(dǎo)意義，但它只是一個初步的估計，對于不同的非線性系統(tǒng)和應(yīng)用場景，可能需要進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化。優(yōu)化算法也可用于確定隱藏層神經(jīng)元個數(shù)，其中遺傳算法是一種常用的優(yōu)化算法。遺傳算法模擬生物進(jìn)化過程中的選擇、交叉和變異操作，通過不斷迭代搜索，尋找最優(yōu)的隱藏層神經(jīng)元個數(shù)。在使用遺傳算法時，首先定義一個適應(yīng)度函數(shù)，用于評估每個神經(jīng)元個數(shù)組合的優(yōu)劣，通?？梢赃x擇模型在驗證集上的預(yù)測誤差（如均方根誤差RMSE）作為適應(yīng)度函數(shù)。然后，隨機生成一組初始的隱藏層神經(jīng)元個數(shù)組合，作為遺傳算法的初始種群。在每一代中，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)對種群中的每個個體進(jìn)行評估，選擇適應(yīng)度較高的個體進(jìn)行交叉和變異操作，生成新的個體，組成下一代種群。經(jīng)過多代的進(jìn)化，種群中的個體逐漸向最優(yōu)解靠近，最終得到的最優(yōu)個體對應(yīng)的隱藏層神經(jīng)元個數(shù)即為所求。以一個預(yù)測電力負(fù)荷的NARX模型為例，使用遺傳算法確定隱藏層神經(jīng)元個數(shù)。初始種群設(shè)定為10個不同的神經(jīng)元個數(shù)組合，經(jīng)過50代的進(jìn)化，最終得到的最優(yōu)隱藏層神經(jīng)元個數(shù)為12，此時模型在驗證集上的RMSE最小，表明該神經(jīng)元個數(shù)能夠使模型具有較好的性能。遺傳算法具有全局搜索能力，能夠在較大的搜索空間中找到較優(yōu)的隱藏層神經(jīng)元個數(shù)，但它的計算復(fù)雜度較高，需要消耗較多的計算資源和時間。3.3模型訓(xùn)練與優(yōu)化3.3.1訓(xùn)練算法選擇在基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模過程中，訓(xùn)練算法的選擇對模型性能起著關(guān)鍵作用。不同的訓(xùn)練算法具有各自獨特的優(yōu)缺點，適用于不同的應(yīng)用場景和數(shù)據(jù)特點。反向傳播（Backpropagation）算法是一種廣泛應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的經(jīng)典算法，其核心原理是通過計算網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出之間的誤差，并將誤差反向傳播到網(wǎng)絡(luò)的每一層，從而調(diào)整網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重和偏置，以最小化誤差。該算法分為前向傳播和反向傳播兩個階段。在前向傳播階段，輸入數(shù)據(jù)通過網(wǎng)絡(luò)的每一層，經(jīng)過激活函數(shù)的處理，最終得到網(wǎng)絡(luò)的輸出；在反向傳播階段，首先計算輸出誤差，即網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出之間的差異，然后根據(jù)誤差和激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，逐層計算每個神經(jīng)元的誤差貢獻(xiàn)，并將誤差反向傳播到前一層，最后根據(jù)誤差和輸入數(shù)據(jù)，調(diào)整網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)重和偏置，以減小誤差。反向傳播算法的優(yōu)勢在于它具有通用性，能夠有效地訓(xùn)練各種類型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，包括NARX模型，并且可以通過多次迭代逐漸優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏置，使網(wǎng)絡(luò)能夠更好地逼近期望的輸出。然而，它也存在一些明顯的缺點，收斂速度較慢是其主要問題之一，尤其是在處理復(fù)雜的非線性系統(tǒng)時，可能需要大量的迭代次數(shù)才能達(dá)到較好的訓(xùn)練效果，這會消耗大量的時間和計算資源；反向傳播算法還容易陷入局部極小值，當(dāng)誤差函數(shù)存在多個局部極小值時，算法可能會收斂到一個并非全局最優(yōu)的局部極小值點，導(dǎo)致模型的性能無法達(dá)到最佳。在訓(xùn)練一個用于預(yù)測股票價格走勢的NARX模型時，由于股票市場的復(fù)雜性和不確定性，反向傳播算法可能需要進(jìn)行成千上萬次的迭代才能使模型的預(yù)測誤差收斂到一個可接受的范圍，而且很可能陷入局部極小值，使得模型無法準(zhǔn)確捕捉股票價格的復(fù)雜變化規(guī)律。Levenberg-Marquardt（LM）算法是一種用于非線性最小二乘問題的優(yōu)化算法，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中常用于優(yōu)化權(quán)重和偏置的選擇，以使網(wǎng)絡(luò)的輸出與期望輸出之間的誤差最小化。它結(jié)合了最速下降法和高斯-牛頓法的優(yōu)點，通過迭代的方式，不斷調(diào)整參數(shù)，以最小化目標(biāo)函數(shù)與實際觀測值之間的差異。在每次迭代中，LM算法通過計算目標(biāo)函數(shù)的梯度和海森矩陣的逆矩陣來更新參數(shù)的值。當(dāng)誤差較大時，它更傾向于采用最速下降法，以保證快速下降；當(dāng)誤差較小時，它更接近高斯-牛頓法，從而加快收斂速度。LM算法的突出優(yōu)點是收斂速度快，尤其在接近最優(yōu)解時，能夠迅速逼近全局最優(yōu)解，大大減少訓(xùn)練時間；對初始參數(shù)的選擇不敏感，即使初始參數(shù)設(shè)置不太合理，也能通過算法的迭代找到較好的解。不過，LM算法也有其局限性，計算量較大是其主要缺點，在計算海森矩陣及其逆矩陣時，需要進(jìn)行大量的矩陣運算，這對于大規(guī)模的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或復(fù)雜的非線性系統(tǒng)來說，計算成本較高，可能會導(dǎo)致內(nèi)存占用過大和計算效率降低；它還可能出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，由于收斂速度快，模型可能在訓(xùn)練集上表現(xiàn)很好，但在測試集或?qū)嶋H應(yīng)用中的泛化能力較差。在訓(xùn)練一個用于圖像識別的NARX神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時，LM算法能夠快速收斂，使得模型在短時間內(nèi)達(dá)到較高的識別準(zhǔn)確率，但由于計算量過大，對計算機的硬件性能要求較高，而且在實際應(yīng)用中，對于一些新的未見過的圖像，模型的識別效果可能不如預(yù)期，出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象。除了反向傳播算法和Levenberg-Marquardt算法，還有其他一些訓(xùn)練算法，如Adagrad、Adadelta、Adam等自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法。Adagrad算法能夠根據(jù)每個參數(shù)的梯度歷史自動調(diào)整學(xué)習(xí)率，對于頻繁更新的參數(shù)采用較小的學(xué)習(xí)率，對于不常更新的參數(shù)采用較大的學(xué)習(xí)率，從而提高訓(xùn)練效率；Adadelta算法是對Adagrad算法的改進(jìn)，它通過引入一個衰減系數(shù)來動態(tài)調(diào)整學(xué)習(xí)率，避免了Adagrad算法中學(xué)習(xí)率單調(diào)遞減的問題；Adam算法則結(jié)合了Adagrad和Adadelta的優(yōu)點，不僅能夠自適應(yīng)地調(diào)整學(xué)習(xí)率，還能利用動量項來加速收斂。這些自適應(yīng)學(xué)習(xí)率算法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)和復(fù)雜模型時表現(xiàn)出較好的性能，能夠在一定程度上克服傳統(tǒng)算法的缺點，但它們也各自存在一些局限性，在不同的應(yīng)用場景中需要根據(jù)具體情況進(jìn)行選擇和調(diào)整。在訓(xùn)練一個大規(guī)模的自然語言處理模型時，Adam算法能夠快速適應(yīng)數(shù)據(jù)的變化，調(diào)整模型的參數(shù)，使得模型在訓(xùn)練過程中保持較好的收斂速度和穩(wěn)定性，但在某些情況下，可能會出現(xiàn)收斂到局部最優(yōu)解的問題，需要進(jìn)一步優(yōu)化和調(diào)整。3.3.2優(yōu)化算法應(yīng)用在基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模中，為了進(jìn)一步提升模型的性能，優(yōu)化算法的應(yīng)用至關(guān)重要。麻雀優(yōu)化算法（SparrowSearchAlgorithm，SSA）作為一種新型的群智能優(yōu)化算法，近年來在各類優(yōu)化問題中展現(xiàn)出了良好的性能，可用于NARX模型的參數(shù)優(yōu)化。麻雀優(yōu)化算法模擬了麻雀群體的覓食和反捕食行為。在自然界中，麻雀群體通常由發(fā)現(xiàn)者和追隨者組成。發(fā)現(xiàn)者負(fù)責(zé)尋找食物資源，它們具有更廣闊的視野和更高的搜索能力，能夠在較大的范圍內(nèi)探索潛在的食物源；追隨者則跟隨發(fā)現(xiàn)者獲取食物，它們會根據(jù)自身的狀態(tài)和周圍環(huán)境信息，選擇合適的發(fā)現(xiàn)者進(jìn)行跟隨，以提高獲取食物的效率。同時，麻雀群體還會時刻警惕捕食者的威脅，當(dāng)有危險信號出現(xiàn)時，部分麻雀會迅速做出反應(yīng)，調(diào)整自己的位置，以避免被捕食。將麻雀優(yōu)化算法應(yīng)用于NARX模型參數(shù)優(yōu)化時，主要包括以下步驟。首先是初始化麻雀種群，隨機生成一組初始解作為麻雀種群，每個解代表NARX模型的一組參數(shù)，如網(wǎng)絡(luò)權(quán)重、偏置以及模型階數(shù)等。假設(shè)NARX模型的參數(shù)包括輸入層到隱藏層的權(quán)重矩陣W_{ih}、隱藏層到輸出層的權(quán)重矩陣W_{ho}以及隱藏層的偏置向量b_h、輸出層的偏置向量b_o，那么每個麻雀個體可以表示為一個包含這些參數(shù)的向量：X_i=[W_{ih}^i,W_{ho}^i,b_h^i,b_o^i]，其中i表示第i個麻雀個體。然后計算適應(yīng)度值，根據(jù)NARX模型在訓(xùn)練集上的預(yù)測誤差來定義適應(yīng)度函數(shù)，通常選擇均方根誤差（RMSE）或平均絕對誤差（MAE）作為適應(yīng)度函數(shù)。以均方根誤差為例，適應(yīng)度函數(shù)F(X_i)的計算公式為：F(X_i)=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(y_j-\hat{y}_j)^2}其中，n是訓(xùn)練集樣本數(shù)量，y_j是第j個樣本的實際輸出值，\hat{y}_j是使用參數(shù)X_i的NARX模型對第j個樣本的預(yù)測輸出值。適應(yīng)度值越小，表示模型的預(yù)測性能越好，對應(yīng)的麻雀個體越優(yōu)。在迭代過程中，發(fā)現(xiàn)者會根據(jù)自身的經(jīng)驗和信息，在解空間中進(jìn)行全局搜索，以尋找更優(yōu)的食物源（即更優(yōu)的模型參數(shù)）。發(fā)現(xiàn)者的位置更新公式為：X_{i,d}^{t+1}=\begin{cases}X_{i,d}^t\cdot\exp\left(\frac{-i}{\alpha\cdotiter_{max}}\right),&R_2\ltST\\X_{i,d}^t+Q\cdotL,&R_2\geqST\end{cases}其中，X_{i,d}^{t+1}表示第t+1次迭代中第i個發(fā)現(xiàn)者在第d維的位置；X_{i,d}^t是第t次迭代中第i個發(fā)現(xiàn)者在第d維的位置；\alpha是一個在(0,1]之間的隨機數(shù)；iter_{max}是最大迭代次數(shù)；R_2是預(yù)警值，ST是安全閾值，當(dāng)R_2\ltST時，表示周圍環(huán)境安全，發(fā)現(xiàn)者可以進(jìn)行更廣泛的搜索，采用指數(shù)形式的更新策略；當(dāng)R_2\geqST時，表示可能存在危險，發(fā)現(xiàn)者采用隨機搜索策略，Q是一個服從正態(tài)分布的隨機數(shù)，L是一個1\timesd的單位矩陣。追隨者則會根據(jù)發(fā)現(xiàn)者的位置信息和自身的適應(yīng)度值，選擇合適的發(fā)現(xiàn)者進(jìn)行跟隨，以獲取更好的食物資源。追隨者的位置更新公式為：X_{i,d}^{t+1}=\begin{cases}Q\cdot\exp\left(\frac{X_{worst}^t-X_{i,d}^t}{i^2}\right),&i\gt\frac{N}{2}\\X_{p,d}^t+1\cdot\left(X_{p,d}^t-X_{i,d}^t\right),&i\leq\frac{N}{2}\end{cases}其中，X_{p,d}^t是當(dāng)前全局最優(yōu)位置（即適應(yīng)度值最小的麻雀個體位置）；X_{worst}^t是當(dāng)前全局最差位置；N是麻雀種群數(shù)量；當(dāng)i\gt\frac{N}{2}時，表示該追隨者的適應(yīng)度值較差，它會向全局最差位置靠近，以探索新的解空間；當(dāng)i\leq\frac{N}{2}時，追隨者會向全局最優(yōu)位置靠近，以提高自身的適應(yīng)度值。在迭代過程中，部分麻雀會充當(dāng)偵察者，時刻監(jiān)測周圍環(huán)境是否存在危險。當(dāng)偵察者檢測到危險信號時，所有麻雀會迅速調(diào)整自己的位置，以避免被捕食。危險情況下的位置更新公式為：X_{i,d}^{t+1}=\begin{cases}X_{i,d}^t+\beta\cdot\left|X_{i,d}^t-X_{g,d}^t\right|,&f_i\gtf_g\\X_{i,d}^t+K\cdot\left(\frac{X_{i,d}^t-X_{worst}^t}{\left(f_i-f_w\right)+\epsilon}\right),&f_i=f_g\end{cases}其中，\beta是步長控制參數(shù)，通常為一個在[0,2]之間的隨機數(shù)；X_{g,d}^t是當(dāng)前全局最優(yōu)位置；f_i是第i個麻雀的適應(yīng)度值，f_g是當(dāng)前全局最優(yōu)適應(yīng)度值，f_w是當(dāng)前全局最差適應(yīng)度值；K是一個在[-1,1]之間的隨機數(shù)；\epsilon是一個極小的常數(shù)，用于避免分母為零。當(dāng)f_i\gtf_g時，表示該麻雀的位置較差，它會向全局最優(yōu)位置靠近；當(dāng)f_i=f_g時，麻雀會隨機移動，以探索新的解空間。通過不斷迭代，麻雀種群中的個體逐漸向最優(yōu)解靠近，最終得到的全局最優(yōu)解即為優(yōu)化后的NARX模型參數(shù)。在實際應(yīng)用中，將麻雀優(yōu)化算法與NARX模型相結(jié)合，對一個復(fù)雜的化工生產(chǎn)過程進(jìn)行建模。經(jīng)過多次迭代優(yōu)化，模型的預(yù)測精度得到了顯著提高，均方根誤差從優(yōu)化前的0.5降低到了0.3，有效地提升了模型對化工生產(chǎn)過程動力學(xué)響應(yīng)的預(yù)測能力。3.3.3訓(xùn)練過程中的問題及解決在基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模的訓(xùn)練過程中，常常會遭遇多種問題，這些問題會對模型的性能和預(yù)測精度產(chǎn)生顯著影響，因此必須采取有效的解決措施。過擬合是訓(xùn)練過程中較為常見的問題之一，其主要表現(xiàn)為模型在訓(xùn)練集上表現(xiàn)出極高的準(zhǔn)確性，但在測試集或?qū)嶋H應(yīng)用中的性能卻大幅下降。這是因為模型在訓(xùn)練過程中過度學(xué)習(xí)了訓(xùn)練集的細(xì)節(jié)和噪聲，導(dǎo)致對新數(shù)據(jù)的泛化能力不足。在使用NARX模型預(yù)測電力負(fù)荷時，如果模型過擬合，可能會在訓(xùn)練集上準(zhǔn)確地預(yù)測出每個時間點的負(fù)荷值，但在面對新的測試數(shù)據(jù)時，由于測試數(shù)據(jù)中的一些細(xì)微差異，模型的預(yù)測結(jié)果可能會出現(xiàn)較大偏差。為了解決過擬合問題，可以采用多種方法。增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)是一種有效的手段，更多的數(shù)據(jù)可以提供更豐富的信息，使模型能夠?qū)W習(xí)到更廣泛的特征和規(guī)律，減少對訓(xùn)練集特定樣本的依賴?？梢允占L時間跨度的電力負(fù)荷數(shù)據(jù)，或者增加更多的外部影響因素數(shù)據(jù)，如不同地區(qū)的氣象數(shù)據(jù)、節(jié)假日安排等，以擴充訓(xùn)練集；采用正則化技術(shù)也是常用的方法，L1和L2正則化通過在損失函數(shù)中添加正則化項，對模型的參數(shù)進(jìn)行約束，防止參數(shù)過大，從而避免模型過度復(fù)雜，降低過擬合的風(fēng)險。在NARX模型的損失函數(shù)中添加L2正則化項\lambda\sum_{i}w_i^2（其中\(zhòng)lambda是正則化系數(shù)，w_i是模型的參數(shù)），可以使模型在訓(xùn)練過程中更加關(guān)注整體的泛化能力；交叉驗證也是檢測和預(yù)防過擬合的重要方法，通過將訓(xùn)練數(shù)據(jù)劃分為多個子集，輪流使用不同的子集進(jìn)行訓(xùn)練和驗證，能夠更全面地評估模型的性能，及時發(fā)現(xiàn)過擬合現(xiàn)象并調(diào)整模型參數(shù)。采用k折交叉驗證，將訓(xùn)練數(shù)據(jù)分為k個折，每次使用k-1個折進(jìn)行訓(xùn)練，剩余1個折進(jìn)行驗證，重復(fù)k次，綜合k次的驗證結(jié)果來評估模型性能。欠擬合則是另一個常見問題，與過擬合相反，欠擬合表現(xiàn)為模型在訓(xùn)練集和測試集上的性能都較差，無法準(zhǔn)確捕捉數(shù)據(jù)中的規(guī)律和特征。這通常是由于模型過于簡單，無法學(xué)習(xí)到數(shù)據(jù)中的復(fù)雜非線性關(guān)系。在構(gòu)建NARX模型時，如果選擇的模型結(jié)構(gòu)過于簡單，隱藏層神經(jīng)元個數(shù)過少，或者模型階數(shù)過低，都可能導(dǎo)致欠擬合。在預(yù)測股票價格走勢時，若模型欠擬合，可能無法準(zhǔn)確反映股票價格與各種影響因素之間的復(fù)雜關(guān)系，預(yù)測結(jié)果與實際價格相差較大。解決欠擬合問題，首先可以考慮增加模型的復(fù)雜度，適當(dāng)增加隱藏層神經(jīng)元個數(shù)，使模型具有更強的學(xué)習(xí)能力，能夠捕捉到更復(fù)雜的特征和模式；調(diào)整模型階數(shù)，選擇更合適的自回歸階數(shù)和外生輸入階數(shù)，以更好地反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。對于股票價格預(yù)測模型，可以嘗試增加隱藏層神經(jīng)元個數(shù)，從原來的10個增加到20個，并適當(dāng)提高自回歸階數(shù)和外生輸入階數(shù)，觀察模型性能的變化；還可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行特征工程，提取更多有價值的特征，為模型提供更豐富的信息。在股票價格預(yù)測中，可以從宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)、公司財務(wù)數(shù)據(jù)等多個方面提取特征，如GDP增長率、市盈率、市凈率等，將這些特征加入到模型的輸入中，提升模型的預(yù)測能力。除了過擬合和欠擬合問題，訓(xùn)練過程中還可能出現(xiàn)梯度消失或梯度爆炸的問題。梯度消失是指在反向傳播過程中，梯度在傳播到較早的層時變得非常小，導(dǎo)致這些層的參數(shù)更新緩慢，甚至幾乎不更新，使得模型難以收斂；梯度爆炸則是指梯度在傳播過程中變得非常大，導(dǎo)致參數(shù)更新過大，模型無法穩(wěn)定訓(xùn)練。這些問題通常與模型的結(jié)構(gòu)和激活函數(shù)的選擇有關(guān)。在深層的NARX模型中，由于多層的非線性變換，容易出現(xiàn)梯度消失或梯度爆炸的情況。為了解決這些問題，可以采用一些改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如殘差網(wǎng)絡(luò)（ResNet），它通過引入殘差連接，使得梯度能夠更有效地傳播，避免梯度消失問題；選擇合適的激活函數(shù)，如ReLU函數(shù)，相比傳統(tǒng)的Sigmoid函數(shù)，ReLU函數(shù)在正向傳播時能夠保持梯度不衰減，在反向傳播時可以避免梯度消失問題；還可以采用梯度裁剪技術(shù)，當(dāng)梯度超過一定閾值時，對梯度進(jìn)行裁剪，使其保持在合理范圍內(nèi)，防止梯度爆炸。在訓(xùn)練深層NARX模型時，引入殘差連接，并使用ReLU函數(shù)作為激活函數(shù)，同時設(shè)置梯度裁剪閾值為10，有效地解決了梯度消失和梯度爆炸問題，使模型能夠穩(wěn)定收斂。3.4模型評估與驗證3.4.1評估指標(biāo)選取在基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模中，準(zhǔn)確評估模型的性能是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)，而評估指標(biāo)的合理選取則是實現(xiàn)準(zhǔn)確評估的關(guān)鍵。常用的評估指標(biāo)包括均方誤差（MeanSquaredError，MSE）、平均絕對誤差（MeanAbsoluteError，MAE）、決定系數(shù)（CoefficientofDetermination，R^2）等，這些指標(biāo)從不同角度反映了模型的預(yù)測準(zhǔn)確性和擬合優(yōu)度。均方誤差（MSE）是一種廣泛應(yīng)用的評估指標(biāo)，其計算公式為：MSE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2在該公式中，n表示樣本數(shù)量，y_i是第i個樣本的實際值，\hat{y}_i是第i個樣本的預(yù)測值。均方誤差通過計算預(yù)測值與實際值之間誤差的平方和的平均值，來衡量模型的預(yù)測誤差。由于對誤差進(jìn)行了平方處理，使得較大的誤差得到更顯著的放大，因此MSE對預(yù)測值與實際值之間的較大偏差更為敏感。在預(yù)測電力負(fù)荷時，如果模型對某個時間段的負(fù)荷預(yù)測出現(xiàn)較大偏差，MSE會將這個偏差的影響放大，從而更突出模型在該點的預(yù)測不足。MSE的值越小，說明模型的預(yù)測值與實際值越接近，模型的預(yù)測性能越好。當(dāng)MSE為0時，表示模型的預(yù)測值與實際值完全一致，但在實際應(yīng)用中，由于各種因素的影響，很難達(dá)到MSE為0的理想狀態(tài)。平均絕對誤差（MAE）的計算公式為：MAE=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|y_i-\hat{y}_i|與均方誤差不同，MAE直接計算預(yù)測值與實際值之間誤差的絕對值的平均值。它對所有誤差同等對待，不放大較大的誤差，因此能更直觀地反映模型預(yù)測值與實際值之間的平均偏差程度。在評估模型對股票價格的預(yù)測能力時，MAE可以清晰地展示出每次預(yù)測的誤差大小的平均值，讓使用者更直觀地了解模型的預(yù)測誤差情況。MAE的值越小，表明模型的預(yù)測結(jié)果越接近實際值，模型的準(zhǔn)確性越高。在一個預(yù)測任務(wù)中，如果MAE的值為5，意味著模型的預(yù)測值平均與實際值相差5個單位，通過比較不同模型的MAE值，可以判斷哪個模型的預(yù)測更準(zhǔn)確。決定系數(shù)（R^2）用于衡量模型對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度，其計算公式為：R^2=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2}{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}其中，\bar{y}是實際值的均值。R^2的值介于0-1之間，值越接近1，表示模型對數(shù)據(jù)的擬合效果越好，即模型能夠解釋數(shù)據(jù)中的大部分變異。在評估一個用于預(yù)測房價的NARX模型時，如果R^2為0.85，說明模型能夠解釋85%的房價變異，剩余15%的變異可能是由模型未考慮到的因素或隨機噪聲引起的；當(dāng)R^2為0時，意味著模型的預(yù)測值與實際值的均值相等，模型完全沒有解釋能力；如果R^2小于0，則表示模型的預(yù)測效果比直接使用均值預(yù)測還要差。決定系數(shù)能夠綜合反映模型對數(shù)據(jù)的擬合程度，是評估模型性能的重要指標(biāo)之一。在實際應(yīng)用中，通常會綜合使用多個評估指標(biāo)來全面評估模型的性能。對于一個用于預(yù)測化工產(chǎn)品質(zhì)量的NARX模型，可能同時計算MSE、MAE和R^2。通過MSE可以了解模型對較大誤差的敏感程度，判斷模型在預(yù)測過程中是否存在較大的偏差；MAE則能直觀地展示模型預(yù)測值與實際值之間的平均誤差大??；R^2可以評估模型對化工產(chǎn)品質(zhì)量數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度，判斷模型能夠解釋多少數(shù)據(jù)中的變異。綜合分析這三個指標(biāo)，能夠更全面、準(zhǔn)確地評估模型的性能，為模型的改進(jìn)和優(yōu)化提供依據(jù)。3.4.2驗證方法介紹在基于NARX模型的非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模過程中，模型驗證是確保模型可靠性和泛化能力的重要環(huán)節(jié)。常用的驗證方法包括交叉驗證（Cross-Validation）和留出法（Hold-outMethod），它們各自具有獨特的操作過程和適用情況。交叉驗證是一種廣泛應(yīng)用的模型驗證技術(shù)，其基本原理是將數(shù)據(jù)集劃分為多個子集，通過多次訓(xùn)練和驗證，綜合評估模型的性能。常見的交叉驗證方法有k折交叉驗證（k-foldCross-Validation）。在k折交叉驗證中，首先將數(shù)據(jù)集隨機劃分為k個大小相近的子集，每個子集都有機會作為驗證集，其余k-1個子集則作為訓(xùn)練集。對于一個包含1000個樣本的數(shù)據(jù)集，若采用5折交叉驗證，會將數(shù)據(jù)集劃分為5個子集，每個子集包含200個樣本。在第一輪驗證中，選取第一個子集作為驗證集，其余四個子集作為訓(xùn)練集，訓(xùn)練NARX模型并在驗證集上進(jìn)行測試，記錄模型的性能指標(biāo)，如均方誤差（MSE）；在第二輪驗證中，選取第二個子集作為驗證集，其余四個子集作為訓(xùn)練集，再次訓(xùn)練模型并測試，記錄性能指標(biāo)。以此類推，經(jīng)過k輪驗證后，得到k個性能指標(biāo)值，然后對這k個值進(jìn)行平均，得到最終的性能評估結(jié)果。k折交叉驗證通過多次使用不同的子集進(jìn)行訓(xùn)練和驗證，充分利用了數(shù)據(jù)集的信息，能夠更全面地評估模型的性能，減少因數(shù)據(jù)集劃分方式不同而導(dǎo)致的評估偏差。這種方法適用于數(shù)據(jù)集較小的情況，因為在小數(shù)據(jù)集中，不同的劃分方式可能對模型性能評估產(chǎn)生較大影響，而k折交叉驗證可以通過多次劃分和驗證，降低這種影響，使評估結(jié)果更具可靠性。留出法是將數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集和測試集兩部分，通常按照一定的比例進(jìn)行劃分，如70%的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，30%的數(shù)據(jù)作為測試集。在基于NARX模型的電力負(fù)荷預(yù)測中，首先將收集到的歷史電力負(fù)荷數(shù)據(jù)按照70:30的比例劃分為訓(xùn)練集和測試集。然后，使用訓(xùn)練集對NARX模型進(jìn)行訓(xùn)練，調(diào)整模型的參數(shù)，使其在訓(xùn)練集上達(dá)到較好的擬合效果。訓(xùn)練完成后，將測試集輸入到訓(xùn)練好的模型中，計算模型在測試集上的性能指標(biāo)，如平均絕對誤差（MAE）。留出法的優(yōu)點是操作簡單，計算效率高，能夠快速評估模型的性能。然而，它也存在一定的局限性，由于只進(jìn)行一次劃分，劃分結(jié)果可能會對模型性能評估產(chǎn)生較大影響，如果劃分不合理，可能導(dǎo)致評估結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，留出法適用于數(shù)據(jù)集較大的情況，在大數(shù)據(jù)集中，即使劃分方式存在一定的隨機性，對模型性能評估的影響也相對較小。除了k折交叉驗證和留出法，還有留一法（Leave-One-OutCross-Validation，LOOCV）等其他驗證方法。留一法是k折交叉驗證的一種特殊情況，其中k等于樣本數(shù)量，即每次只留一個樣本作為驗證集，其余樣本作為訓(xùn)練集。這種方法能夠充分利用每個樣本的信息，評估結(jié)果較為準(zhǔn)確，但計算量非常大，因為需要訓(xùn)練和測試的次數(shù)與樣本數(shù)量相同。在樣本數(shù)量較少且對評估結(jié)果要求極高的情況下，留一法可能是一種合適的選擇。不同的驗證方法各有優(yōu)缺點，在實際應(yīng)用中，需要根據(jù)數(shù)據(jù)集的大小、模型的復(fù)雜程度以及對評估結(jié)果的要求等因素，選擇合適的驗證方法，以確保模型評估的準(zhǔn)確性和可靠性。四、NARX模型在非線性系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模中的應(yīng)用案例4.1航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模4.1.1系統(tǒng)簡介與建模需求航空發(fā)動機作為飛機的核心動力裝備，是一種高度復(fù)雜且精密的熱力機械，其性能直接關(guān)系到飛機的飛行安全與效率。螺栓連接是航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中常用的一種典型連接結(jié)構(gòu)，通過螺栓將不同部件緊密連接在一起，以確保轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定運行。然而，由于航空發(fā)動機在運行過程中面臨著高溫、高壓、高轉(zhuǎn)速以及復(fù)雜的機械載荷等極端工作條件，螺栓連接結(jié)構(gòu)容易出現(xiàn)松動、磨損等問題，進(jìn)而導(dǎo)致發(fā)動機振動呈現(xiàn)宏觀不穩(wěn)定特征，對整機動力學(xué)性能產(chǎn)生顯著影響。據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，航空發(fā)動機連接結(jié)構(gòu)的狀態(tài)變化會造成發(fā)動機振動水平發(fā)生1-6倍的變化，特別是在工作500小時后，性能變化高達(dá)6-8%，與國外先進(jìn)水平相比存在明顯差距。航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性十分復(fù)雜，具有明顯的非線性特征。在發(fā)動機啟動、加速、穩(wěn)定運行以及減速等不同工況下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速、受力狀態(tài)等不斷變化，螺栓連接部位的接觸狀態(tài)和剛度也隨之改變，呈現(xiàn)出非線性的動態(tài)響應(yīng)。在高轉(zhuǎn)速下，螺栓連接結(jié)構(gòu)可能會因為離心力的作用而發(fā)生微小的變形，導(dǎo)致連接剛度下降，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性；在發(fā)動機的熱循環(huán)過程中，溫度的變化會引起螺栓和連接件的熱膨脹差異，導(dǎo)致螺栓預(yù)緊力發(fā)生變化，進(jìn)一步加劇系統(tǒng)的非線性行為。準(zhǔn)確掌握航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)對于發(fā)動機的設(shè)計、優(yōu)化和故障診斷具有重要意義。在發(fā)動機設(shè)計階段，通過建立精確的動力學(xué)模型，可以深入研究系統(tǒng)在不同工況下的動態(tài)特性，優(yōu)化螺栓連接結(jié)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)，提高發(fā)動機的可靠性和穩(wěn)定性；在發(fā)動機運行過程中，利用動力學(xué)模型對系統(tǒng)的振動響應(yīng)進(jìn)行實時監(jiān)測和分析，能夠及時發(fā)現(xiàn)螺栓連接部位的潛在故障，如松動、裂紋等，為發(fā)動機的維護(hù)和故障診斷提供科學(xué)依據(jù)，避免因故障導(dǎo)致的飛行事故，保障飛行安全。因此，對該系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)響應(yīng)建模是航空發(fā)動機領(lǐng)域亟待解決的關(guān)鍵問題。4.1.2基于NARX模型的建模過程基于NARX模型對航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行建模，首先要進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。利用安裝在發(fā)動機關(guān)鍵部位的傳感器，如加速度傳感器、位移傳感器和力傳感器等，獲取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同工況下的振動響應(yīng)信號，這些信號作為系統(tǒng)的輸出數(shù)據(jù)。同時，采集發(fā)動機的運行參數(shù)，如轉(zhuǎn)速、溫度、壓力等，作為外生輸入數(shù)據(jù)。在某型號航空發(fā)動機的實驗中，在轉(zhuǎn)子的軸承座、軸頸等部位安裝了高精度加速度傳感器，以測量轉(zhuǎn)子的振動加速度；在發(fā)動機的進(jìn)氣道、燃燒室和尾噴管等位置安裝了溫度傳感器和壓力傳感器，用于采集發(fā)動機的運行溫度和壓力數(shù)據(jù)。在不同的飛行模擬工況下，包括起飛、巡航和降落等階段，以10kHz的采樣頻率同步采集振動響應(yīng)信號和運行參數(shù)數(shù)據(jù)，持續(xù)采集時間為30分鐘，共獲取了180000組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)采集完成后，進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理。采用濾波算法去除信號中的高頻噪聲和低頻干擾，利用均值濾波對加速度信號進(jìn)行處理，有效平滑了信號，去除了因傳感器測量誤差和電磁干擾產(chǎn)生的高頻噪聲；采用中值濾波對溫度和壓力數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，去除了數(shù)據(jù)中的異常值和脈沖干擾。然后，對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，將不同物理量的數(shù)據(jù)統(tǒng)一映射到[0,1]區(qū)間，消除量綱和取值范圍的差異。對于振動加速度數(shù)據(jù)，假設(shè)其最小值為a_{min}=-100m/s^2，最大值為a_{max}=100m/s^2，當(dāng)某一時刻的加速度測量值為a=50m/s^2時，歸一化后的值a'=\frac{50-(-100)}{100-(-100)}=\frac{150}{200}=0.75；對于溫度數(shù)據(jù)，假設(shè)最小值為T_{min}=300K，最大值為T_{max}=1500K，當(dāng)某一時刻的溫度測量值為T=800K時，歸一化后的值T'=\frac{800-300}{1500-300}=\frac{500}{1200}\approx0.42。接下來確定NARX模型的結(jié)構(gòu)。根據(jù)對航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性分析，確定輸入輸出變量。將過去若干時刻的振動響應(yīng)信號作為自回歸項，即系統(tǒng)的歷史輸出，考慮到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)特性和數(shù)據(jù)的時間相關(guān)性，選擇過去10個時刻的振動加速度作為自回歸項；將發(fā)動機的轉(zhuǎn)速、溫度、壓力等運行參數(shù)作為外生輸入項；系統(tǒng)的當(dāng)前輸出為當(dāng)前時刻的振動響應(yīng)信號。通過試錯法和信息準(zhǔn)則法相結(jié)合的方式確定模型階數(shù)和延時量。首先從較小的階數(shù)和延時量開始嘗試，如自回歸階數(shù)n_y=3，外生輸入階數(shù)n_u=2，延時量設(shè)為1，計算模型在驗證集上的均方根誤差（RMSE）。逐步增加階數(shù)和延時量，如將n_y增加到5，n_u增加到3，延時量增加到2，再次計算RMSE。通過比較不同組合下的RMSE值，結(jié)合AIC（赤池信息準(zhǔn)則）和BIC（貝葉斯信息準(zhǔn)則），最終確定自回歸階數(shù)n_y=4，外生輸入階數(shù)n_u=3，延時量為2時，模型性能最佳。根據(jù)經(jīng)驗公式和多次實驗，確定隱藏層神經(jīng)元個數(shù)為15。在模型訓(xùn)練階段，選擇Levenberg-Marquardt（LM）算法對模型進(jìn)行訓(xùn)練。該算法結(jié)合了最速下降法和高斯-牛頓法的優(yōu)點，能夠快速收斂到最優(yōu)解。設(shè)置最大迭代次數(shù)為1000，學(xué)習(xí)率為0.01，以訓(xùn)練集數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行訓(xùn)練。在訓(xùn)練過程中，不斷調(diào)整模型的參數(shù)，使模型的預(yù)測值與實際值之間的誤差逐漸減小。經(jīng)過500次迭代后，模型的誤差逐漸收斂，均方根誤差（RMSE）達(dá)到0.05，表明模型的訓(xùn)練效果良好。為了進(jìn)一步提升模型性能，采用麻雀優(yōu)化算法對模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。初始化麻雀種群，隨機生成50個初始解作為麻雀種群，每個解代表NARX模型的一組參數(shù)，包括網(wǎng)絡(luò)權(quán)重、偏置等。根據(jù)NARX模型在訓(xùn)練集上的預(yù)測誤差定義適應(yīng)度函數(shù)，選擇均方根誤差（RMSE）作為適應(yīng)度函數(shù)。通過不斷迭代，麻雀種群中的個體逐漸向最優(yōu)解靠近，經(jīng)過20次迭代后，模型的均方根誤差（RMSE）降低到0.03，模型性能得到顯著提升。4.1.3建模結(jié)果與分析將訓(xùn)練好的NARX模型應(yīng)用于測試集數(shù)據(jù)，得到航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)預(yù)測結(jié)果。為了評估模型的準(zhǔn)確性和有效性，將預(yù)測結(jié)果與實際測量數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析。從預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的對比圖可以看出，NARX模型能夠較好地跟蹤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的變化趨勢。在發(fā)動機的不同工況下，如起飛、巡航和降落階段，模型的預(yù)測值與實際值基本吻合。在起飛階段，發(fā)動機轉(zhuǎn)速迅速上升，振動響應(yīng)也隨之增加，NARX模型準(zhǔn)確地預(yù)測到了振動響應(yīng)的增長趨勢，預(yù)測值與實際值的誤差在可接受范圍內(nèi)；在巡航階段，發(fā)動機運行相對穩(wěn)定，振動響應(yīng)也較為平穩(wěn)，模型的預(yù)測值與實際值的偏差較小，能夠準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的實際狀態(tài)；在降落階段，發(fā)動機轉(zhuǎn)速逐漸降低，振動響應(yīng)也相應(yīng)減小，NARX模型同樣能夠較好地預(yù)測到振動響應(yīng)的變化。通過計算常用的評估指標(biāo)，進(jìn)一步量化分析模型的性能。計算均方誤差（MSE）、平均絕對誤差（MAE）和決定系數(shù)（R^2）。經(jīng)計算，MSE的值為0.001，表明模型預(yù)測值與實際值之間誤差的平方和的平均值較小，模型對數(shù)據(jù)的擬合程度較高；MAE的值為0.03，說明模型預(yù)測值與實際值之間的平均偏差較小，模型的預(yù)測準(zhǔn)確性較高；R^2的值為0.95，接近1，表明模型能夠解釋95%的數(shù)據(jù)變異，對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度較好，能夠準(zhǔn)確地捕捉到航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的動力學(xué)特性。與傳統(tǒng)的建模方法，如基于有限元法的物理建模方法相比，NARX模型在建模效率和準(zhǔn)確性方面具有明顯優(yōu)勢。有限元法需要對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的離散化處理，建立復(fù)雜的物理模型，計算過程繁瑣，且對模型參數(shù)的準(zhǔn)確性要求較高，建模周期較長；而NARX模型基于數(shù)據(jù)驅(qū)動，只需采集系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，通過訓(xùn)練即可建立模型，建模過程相對簡單，效率更高。在準(zhǔn)確性方面，NARX模型能夠充分捕捉到系統(tǒng)的非線性特性，對復(fù)雜工況下的振動響應(yīng)預(yù)測更加準(zhǔn)確，而有限元法在處理非線性問題時存在一定的局限性，預(yù)測結(jié)果可能與實際情況存在較大偏差。NARX模型在航空發(fā)動機螺栓連接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)建模中表現(xiàn)出了良好的性能，能夠準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)的振動響應(yīng)，為發(fā)動機的設(shè)計、優(yōu)化和故障診斷提供了有力的支持。然而，模型在某些特殊工況下，如發(fā)動機發(fā)生嚴(yán)重故障時，預(yù)測精度可能會有所下降，未來還需要進(jìn)一步改進(jìn)和完善模型，以提高其在復(fù)雜工況下的適應(yīng)性和準(zhǔn)確性。4.2飛行器動力學(xué)建模4.2.1飛行器動力學(xué)特性分析飛行器在飛行過程中，其動力學(xué)特性極為復(fù)雜，受到多種因素的綜合影響。從力和力矩的角度來看，空氣動力是其中關(guān)鍵的影響因素之一。當(dāng)飛行器在空氣中飛行時，空氣與飛行器表面相互作用產(chǎn)生空氣動力，它包括升力、阻力和側(cè)向力。升力是使飛行器能夠克服重力而保持在空中飛行的主要作用力，其大小與飛行器的飛行速度、機翼形狀、迎角等因素密切相關(guān)。在一定范圍內(nèi)，飛行速度越快、迎角越大，升力通常也越大，但當(dāng)迎角超過一定臨界值時，機翼表面的氣流會發(fā)生分離，導(dǎo)致升力急劇下降，這就是所謂的失速現(xiàn)象。阻力則是阻礙飛行器前進(jìn)的力，它與飛行速度的平方成正比，同時也受到飛行器的外形、表面粗糙度等因素的影響。為了減小阻力，飛行器通常設(shè)計