西南大學(xué)附屬中學(xué)高2026屆高三10月月考數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．試卷由整理排版.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每題給出的四個選項，只有一項符合題目要求．1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】因為集合，所以.故選：B2.是的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為(

)A. B. C. D.【答案】C【詳解】由題意，，虛部為．故選：C.3.已知向量，，若，則實數(shù)λ=（）A. B.3 C.5 D.【答案】D【詳解】向量，，則，由，得，所以.故選：D4.已知平面上四個點A，B，C，D，其中任意三個點不共線.若則直線BD一定經(jīng)過三角形ABC的（）A.垂心 B.內(nèi)心C.重心 D.外心【答案】A【詳解】，，，，，是三角形的高線，直線BD一定經(jīng)過三角形ABC的垂心.故選：A.5.記為等比數(shù)列前n項和．若則（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，，，，解得，，，，，故選：D．6.已知為銳角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】令，則，則，故，得，因為為銳角，則，則.故選：A7.定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，不等式恒成立，則函數(shù)的零點的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【詳解】令且定義域為R，則，所以為偶函數(shù)，在上，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性知，其在上單調(diào)遞增，由，則，且，則，由的零點個數(shù)等價于與的交點個數(shù)，函數(shù)大致圖象如下，其中，且該函數(shù)關(guān)于對稱，在、上分別單調(diào)遞減、單調(diào)遞增，顯然時，在上單調(diào)遞增，則時恒成立，在上單調(diào)遞減，且，所以使，綜上，與的交點橫坐標(biāo)有，即有3個零點.故選：D8.已知數(shù)列{an}滿足數(shù)列的前n項和，則（）A. B.C. D.【答案】A【詳解】因為，所以，又，則，所以是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列.于是，因為，所以，又，所以，故選：A二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，其中圖象最高點、最低點的橫坐標(biāo)分別為、，圖象在軸上的截距為則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為 B.的最大值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增 D.為偶函數(shù)【答案】BC【詳解】由題意，，因，故得，故的最小正周期為，故A錯誤；因圖象在軸上的截距為，故①，又函數(shù)圖象過點，故②，由②可得，因，則，代入①，可得，此時，，故B正確；對于C，由可得，因在上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，記，因而，故D錯誤.故選：BC.10.若正數(shù)a，b，滿足，則（）A.B.C.D.若，則【答案】ABD【詳解】對于A，正數(shù)a，b，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時，等號成立，故，A正確；對于B，正數(shù)a，b，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，B正確；對于C，表示的幾何意義為點到點和的距離之和，正數(shù)a，b，滿足，設(shè)，點和在直線的同側(cè)，則的最小值問題即為在線段上找一點到點和的距離之和最短；設(shè)點和，設(shè)關(guān)于的對稱點為，則，解得，故，則的最小值即為的長，為1，C錯誤；對于D，因為正數(shù)a，b，滿足，若，則，設(shè)，則令，，則，故在上單調(diào)遞增，故，即得，即，D正確，故選：ABD11.在平面內(nèi)，若有，則（）A.在上的投影向量為B.C.的最小值D.若，則的取值范圍【答案】ACD【詳解】對于A，由，可得，得在上的投影向量為，A正確；對于B，不妨設(shè)，以O(shè)為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于，可得，設(shè)，則，由，得，即，即，即的終點位于以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)D，則,故，即，B錯誤；對于C，由可知，即，而，故的最小值為，C正確；對于D，由，得，故，可得，而在圓上，設(shè)，則，當(dāng)即時，取到最小值，當(dāng)即時，取到最大值，故取值范圍，D正確.故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為等差數(shù)列的前項和，，，則與的等比中項為_____.【答案】【詳解】因為為等差數(shù)列的前項和，且，，所以可得，解得，所以，，設(shè)與的等比中項為，則，則，所以與的等比中項為.故答案為：13.已知函數(shù)，若的值域為R，則實數(shù)k的取值范圍是_____.【答案】【詳解】由函數(shù)的值域為R，得的值域包含，當(dāng)時，不滿足題意；則函數(shù)二次函數(shù)，其圖象開口向上，且與軸有公共點，于是，解得，所以實數(shù)k的取值范圍是.故答案為：14.已知函數(shù)，，若恒成立，則的最大值為_____.【答案】【詳解】由恒成立，則恒成立，當(dāng)時，恒成立，則需恒成立，不符和題意；當(dāng)時，此時與同號或其中至少一個為零，令得，令得，當(dāng)時，，則需，即；當(dāng)時，，則需，即；綜上可得，故，令，則，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即的最大值為.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，點在曲線上且（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，記，求Sn【答案】（1）證明見解析；（2）.【小問1詳解】因為點在曲線上，所以且，所以，結(jié)合題設(shè)，故數(shù)列是首項、公差均為1的等差數(shù)列．【小問2詳解】由（1）及，知，則．因為，所以，則，故．16.某“雙一流”大學(xué)的專業(yè)獎學(xué)金是以所學(xué)專業(yè)各科考試成績作為評選依據(jù)，分為專業(yè)一等獎學(xué)金（資金3000元）、專業(yè)二等獎學(xué)金（獎金1500元）和專業(yè)三等獎學(xué)金（獎金600元），且專業(yè)獎學(xué)金每個學(xué)生一年最多只能獲得一次.圖1是該校2022年500名學(xué)生每周課外平均學(xué)習(xí)時間的頻率分布直方圖，圖2是這500名學(xué)生在2022年每周課外平均學(xué)習(xí)時間段專業(yè)獎學(xué)金的頻率柱狀圖.

（1）求這500名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù).（2）若將每周課外平均學(xué)習(xí)時間超過35h的學(xué)生稱為“努力型”學(xué)生，否則稱為“非努力型”學(xué)生，畫出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與努力有關(guān)？（3）若以頻率作為概率，從該校任選1名學(xué)生，記該學(xué)生2022年獲得的專業(yè)獎學(xué)金的金額為隨機變量，求隨機變量的分布列和期望.附表：0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828觀測值計算公式：.【答案】（1）人（2）列聯(lián)表見解析，能；（3）分布列見解析，期望為元.【小問1詳解】由題圖，專業(yè)三等獎學(xué)金頻率為，所以500名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù)人；【小問2詳解】非努力型學(xué)生人數(shù)為人，其中獲一、二等獎學(xué)金的人數(shù)為人，所以努力型學(xué)生人數(shù)為人，其中獲一、二等獎學(xué)金的人數(shù)為人，綜上，列聯(lián)表如下：非努力型努力型專業(yè)一、二等獎學(xué)金9236128非專業(yè)一、二等獎學(xué)金3482437244060500，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與努力有關(guān).【小問3詳解】由題設(shè)，該學(xué)生2022年獲得的專業(yè)獎學(xué)金的金額為，，，，，分布列如下：0600150030000.4240.320.1980.058元.17.已知點,都在雙曲線上．（1）求雙曲線E的方程；（2）過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于C，D兩點，點Q在直線上，直線，，的斜率分別為，證明：成等差數(shù)列．【答案】（1）（2）證明見解析【小問1詳解】點,在雙曲線上，，雙曲線方程：小問2詳解】雙曲線方程：,，，，則，過雙曲線右焦點F的直線與雙曲線相交于C，D兩點，點Q在直線上，①當(dāng)過雙曲線右焦點F的直線斜率存在時，令斜率為，則直線方程為，設(shè)，示意圖如下：聯(lián)立雙曲線方程和直線方程得：，整理得：，，，，，令，代入化簡得，令，代入并化簡，則，再代入可得：，，故成等差數(shù)列；②當(dāng)過點的直線垂直于軸（斜率不存在）時，示意圖如下：則過點的直線方程為，聯(lián)立，解得，，設(shè)點，則，，，，故成等差數(shù)列，綜上可得，成等差數(shù)列．18.如圖所示，在四棱柱中，菱形與菱形的邊長均為，且平面平面，,，為棱上的動點.（1）若平面平面，求證：；（2）在棱上是否存在點，使得平面與平面所成的角的正切值為?若存在，請找出點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，且點在靠近的三等分點上【小問1詳解】在四棱柱中，平面平面，由平面平面，平面平面，則；【小問2詳解】存在，且點在靠近的三等分點上，理由如下：取中點，連接、，由，，，由余弦定理得，則，所以，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，故，由，則，有，則，故、、兩兩垂直，則可以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、，則，，，設(shè)，，則，則，由軸平面，則平面的法向量可為，設(shè)平面的法向量為，則有，取，則，，故平面的法向量可為，設(shè)平面與平面所成的角為，則，則，則，化簡得，解得或，又，則，故點在靠近的三等分點上.19.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的極值;（2）當(dāng)時，試比較與的大小，并說明理由；（3）證明:【答案】（1）極小值為，無極大值；（2