高一上學(xué)期創(chuàng)意革命與數(shù)學(xué)再思考試題一、函數(shù)概念的多維度解構(gòu)（一）動(dòng)態(tài)情境中的函數(shù)建模問(wèn)題1：某創(chuàng)意工作室設(shè)計(jì)了一款智能花盆，其水分傳感器記錄的數(shù)據(jù)顯示，花盆土壤濕度y（百分比）與時(shí)間x（小時(shí)）的關(guān)系滿足分段函數(shù)：[y=\begin{cases}-0.5x+60&(0\leqx<40)\20&(40\leqx\leq60)\\frac{1}{3}x-\frac{40}{3}&(x>60)\end{cases}]（1）在平面直角坐標(biāo)系中繪制該函數(shù)圖像，標(biāo)注關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若工作室計(jì)劃通過(guò)加濕器在濕度低于30%時(shí)自動(dòng)補(bǔ)水，求單次補(bǔ)水的持續(xù)時(shí)長(zhǎng)；（3）結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義，分析函數(shù)在x=40處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。思維拓展：請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)包含三角函數(shù)的濕度變化模型，使其能反映晝夜溫差對(duì)土壤水分蒸發(fā)的周期性影響，并說(shuō)明模型中參數(shù)的實(shí)際意義。（二）抽象函數(shù)的邏輯推理問(wèn)題2：定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)滿足：①對(duì)任意x,y≠0，均有f(xy)=f(x)+f(y)；②當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0；③f(2)=-1。（1）求證：f(x)為偶函數(shù)；（2）解不等式f(x)+f(x-3)≥-2；（3）若在創(chuàng)意設(shè)計(jì)中，某參數(shù)k滿足f(k2-1)=2，試判斷曲線y=x3+kx2+1在x=1處的切線是否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。二、幾何變換與空間想象（一）立體幾何的創(chuàng)意構(gòu)造問(wèn)題3：某3D打印公司接到訂單，需制作底面為正三角形的直三棱柱模型，要求：側(cè)棱長(zhǎng)為10cm；所有頂點(diǎn)均在表面積為100πcm2的球面上。（1）求該三棱柱體積的最大值；（2）若在模型內(nèi)部挖去一個(gè)以側(cè)棱為軸的圓柱，當(dāng)圓柱體積最大時(shí)，求圓柱表面積與原三棱柱表面積之比。動(dòng)手實(shí)踐：使用斜二測(cè)畫法繪制該三棱柱的直觀圖，要求體現(xiàn)出球體與三棱柱的位置關(guān)系（可附簡(jiǎn)要作圖步驟）。（二）解析幾何的動(dòng)態(tài)探究問(wèn)題4：在平面直角坐標(biāo)系中，創(chuàng)意團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)的Logo由兩部分構(gòu)成：曲線C?：x2=4y（拋物線）；曲線C?：(x-2)2+(y-1)2=4（圓）。（1）求C?與C?的交點(diǎn)坐標(biāo)，判斷兩曲線的位置關(guān)系；（2）過(guò)點(diǎn)P(0,t)作C?的切線l，若l與C?交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2√3，求t的值；（3）在C?上是否存在點(diǎn)Q，使得Q關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)Q'在C?上？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。三、數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析（一）統(tǒng)計(jì)案例的深度挖掘問(wèn)題5：為評(píng)估創(chuàng)意課程對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的影響，某學(xué)校隨機(jī)抽取200名高一學(xué)生進(jìn)行對(duì)照實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下表：組別參與創(chuàng)意課程未參與創(chuàng)意課程總計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)提升6545110成績(jī)無(wú)明顯變化256590總計(jì)90110200（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為“成績(jī)提升與參與創(chuàng)意課程有關(guān)”；（2）從成績(jī)提升的學(xué)生中按分層抽樣抽取11人，再?gòu)倪@11人中隨機(jī)選3人進(jìn)行訪談，求至少有2人參與過(guò)創(chuàng)意課程的概率；（3）若用頻率估計(jì)概率，從全校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，記參與創(chuàng)意課程且成績(jī)提升的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望與方差。臨界值表：|P(K2≥k?)|0.05|0.01|0.001||----------|-------|-------|-------||k?|3.841|6.635|10.828|（二）優(yōu)化問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)問(wèn)題6：某創(chuàng)意市集采用無(wú)人售賣模式，商品成本為每件10元，售價(jià)x（元）與每日銷量y（件）的關(guān)系經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析為y=-2x+100（15≤x≤45）。（1）求每日利潤(rùn)L(x)的函數(shù)表達(dá)式，并求最大利潤(rùn)；（2）為回饋顧客，市集決定每日拿出利潤(rùn)的10%進(jìn)行隨機(jī)紅包發(fā)放，紅包金額為1元、2元、5元三種，且數(shù)量比為5:3:2。若某顧客購(gòu)買了3件商品，求其獲得紅包總金額的分布列與期望；（3）結(jié)合導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，設(shè)計(jì)一個(gè)尋找利潤(rùn)最大化售價(jià)的算法流程圖，要求包含條件分支結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)。四、數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新應(yīng)用（一）數(shù)學(xué)史的創(chuàng)意再現(xiàn)問(wèn)題7：古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《論螺線》中研究了如下曲線：當(dāng)射線繞端點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)時(shí)，射線上的點(diǎn)同時(shí)勻速沿射線運(yùn)動(dòng)，所形成的軌跡稱為“阿基米德螺線”。在極坐標(biāo)系中，其方程可表示為ρ=θ（θ≥0）。（1）將該螺線方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）求螺線ρ=θ與射線θ=π/2（ρ≥0）的交點(diǎn)到極點(diǎn)的距離；（3）若在現(xiàn)代工業(yè)設(shè)計(jì)中，某零件截面輪廓由阿基米德螺線ρ=θ（0≤θ≤2π）與直線θ=2π圍成，求該截面的面積。（二）跨學(xué)科綜合實(shí)踐問(wèn)題8：某科技公司開(kāi)發(fā)的創(chuàng)意機(jī)器人沿直線行走，其位移s（米）與時(shí)間t（秒）的關(guān)系滿足s(t)=t3-6t2+9t+1（t≥0）。（1）求機(jī)器人在t=2秒時(shí)的瞬時(shí)速度與加速度；（2）分析機(jī)器人在[0,4]時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（靜止、前進(jìn)、后退）；（3）若機(jī)器人配備的避障雷達(dá)有效探測(cè)半徑為2米，在同一平面直角坐標(biāo)系中，有一靜止障礙物位于點(diǎn)(5,0)，試判斷機(jī)器人行走過(guò)程中是否會(huì)進(jìn)入障礙物的探測(cè)范圍。五、開(kāi)放探究題問(wèn)題9：“分形幾何”是創(chuàng)意設(shè)計(jì)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其中科赫雪花曲線的構(gòu)造規(guī)則如下：初始圖形（第0代）為邊長(zhǎng)為1的正三角形；第n代圖形是在第n-1代圖形的每條邊上，向外作邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)1/3的正三角形，再去掉該邊，得到新的圖形。（1）記第n代圖形的邊長(zhǎng)為a?，周長(zhǎng)為L(zhǎng)?，面積為S?，寫出a?、L?的遞推公式，并求lim?→∞L?；（2）若用第3代科赫雪花曲線作為創(chuàng)意地毯的邊緣紋樣，現(xiàn)有長(zhǎng)4米、寬2米的矩形地毯，最多能完整鋪設(shè)多少個(gè)這樣的邊緣紋樣？（3）