第五節(jié)一、平面點法式方程二、平面普通方程三、兩平面夾角機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束平面及其方程第七章第1頁①一、平面點法式方程設(shè)一平面經(jīng)過已知點且垂直于非零向稱①式為平面

點法式方程,求該平面

方程.法向量.量則有故機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁例1.求過三點即解:

取該平面

法向量為平面

方程.利用點法式得平面

方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁此平面三點式方程也可寫成普通情況:過三點平面方程為說明:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁尤其,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸交點分別為此式稱為平面截距式方程.時,平面方程為分析:利用三點式按第一行展開得即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁二、平面普通方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面點法式方程此方程稱為平面普通任取一組滿足上述方程數(shù)則顯然方程②與此點法式方程等價,

②平面,所以方程②圖形是法向量為方程.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁特殊情形?

當(dāng)

D=0時,Ax+By+Cz=0表示

經(jīng)過原點平面;?當(dāng)

A=0時,By+Cz+D=0法向量平面平行于x軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸平面;平行于

z

軸平面;平行于xoy面平面;平行于yoz面平面；平行于zox面平面.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁例2.

求經(jīng)過x軸和點(4,–3,–1)平面方程.例3.用平面普通式方程導(dǎo)出平面截距式方程.解:因平面經(jīng)過

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點得化簡,得所求平面方程(P327例4,自己練習(xí))機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁三、兩平面夾角設(shè)平面∏1法向量為

平面∏2法向量為則兩平面夾角

余弦為即兩平面法向量夾角(常為銳角)稱為兩平面夾角.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁尤其有以下結(jié)論：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁例4.求兩平面解:應(yīng)用公式有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束夾角.所以第11頁所以有例5.

一平面經(jīng)過兩點垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面法向量為即法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁外一點,求例6.

設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點是平面到平面距離d.,則P0

到平面距離為(點到平面距離公式)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁例7.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個坐標(biāo)面所組成則它位于第一卦限,且所以所求球面方程為四面體球面方程.從而機(jī)動目錄上頁