2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)學(xué)與決策理論綜合試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述統(tǒng)計(jì)在數(shù)據(jù)分析中的作用，并列舉三種常用的集中趨勢指標(biāo)和三種常用的離散趨勢指標(biāo)。二、已知一組樣本數(shù)據(jù)如下：5,8,12,15,18,20,22。請(qǐng)計(jì)算該樣本的樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。三、設(shè)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ未知，σ2已知。現(xiàn)從中抽取一個(gè)樣本，樣本量為n，樣本均值為x?。假設(shè)檢驗(yàn)的原假設(shè)H?:μ=μ?，備擇假設(shè)H?:μ≠μ?。請(qǐng)寫出該假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域（顯著性水平為α）。四、某公司想要分析廣告投入與銷售額之間的關(guān)系。他們收集了過去10年的數(shù)據(jù)，廣告投入（萬元）和銷售額（萬元）如下：廣告投入：10,15,20,25,30,35,40,45,50,55銷售額：100,120,140,160,180,200,220,240,260,280請(qǐng)用最小二乘法建立銷售額關(guān)于廣告投入的線性回歸方程。五、某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品合格的標(biāo)準(zhǔn)是重量在100克±5克之間?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，測得重量如下（克）：95,102,105,98,99,104,100,97,103,96。請(qǐng)檢驗(yàn)這批產(chǎn)品的重量是否符合合格標(biāo)準(zhǔn)（顯著性水平為0.05）。六、某公司有兩個(gè)銷售部門，想要比較兩個(gè)部門的銷售業(yè)績是否存在顯著差異。他們隨機(jī)抽取了兩個(gè)部門的銷售數(shù)據(jù)，如下：部門A：銷售金額（萬元）：20,22,24,26,28部門B：銷售金額（萬元）：18,20,22,24,26請(qǐng)使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)兩個(gè)部門的銷售業(yè)績是否存在顯著差異（顯著性水平為0.05）。七、假設(shè)一個(gè)決策問題有以下收益矩陣（單位：萬元）：||狀態(tài)1|狀態(tài)2||:-------|:----|:----||行動(dòng)1|10|20||行動(dòng)2|30|5|如果決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，請(qǐng)分別使用樂觀主義法、悲觀主義法和等可能性法選擇最優(yōu)行動(dòng)。八、某公司需要決定是否投資一個(gè)新項(xiàng)目。如果投資成功，公司將獲得100萬元的收益；如果投資失敗，公司將損失50萬元。根據(jù)市場分析，投資成功的概率為0.6。公司決策者認(rèn)為，如果使用期望值法進(jìn)行決策，應(yīng)該選擇投資。請(qǐng)計(jì)算該項(xiàng)目的期望值，并說明決策者的選擇是否合理。九、假設(shè)一個(gè)決策問題有以下收益矩陣和先驗(yàn)概率：||狀態(tài)1|狀態(tài)2||:-------|:----|:----||行動(dòng)1|10|20||行動(dòng)2|30|5||先驗(yàn)概率|0.7|0.3|如果進(jìn)行一項(xiàng)調(diào)查，調(diào)查結(jié)果為狀態(tài)1發(fā)生的概率為0.8。請(qǐng)計(jì)算后驗(yàn)概率，并使用貝葉斯決策方法選擇最優(yōu)行動(dòng)。十、請(qǐng)解釋什么是決策樹分析，并說明其在風(fēng)險(xiǎn)型決策中的應(yīng)用步驟。試卷答案一、描述統(tǒng)計(jì)通過圖表和數(shù)值方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和展示，揭示數(shù)據(jù)的分布特征、趨勢和模式，為后續(xù)的統(tǒng)計(jì)推斷提供基礎(chǔ)。常用的集中趨勢指標(biāo)有：樣本均值、中位數(shù)、眾數(shù)。常用的離散趨勢指標(biāo)有：樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、極差。二、樣本均值：x?=(5+8+12+15+18+20+22)/7=14樣本方差：s2=[(5-14)2+(8-14)2+(12-14)2+(15-14)2+(18-14)2+(20-14)2+(22-14)2]/(7-1)s2=[81+36+4+1+16+36+64]/6s2=238/6≈39.67樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s=√39.67≈6.3三、拒絕域：|z|>z_(α/2)其中，z=(x?-μ?)/(σ/√n)是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，z_(α/2)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α/2分位點(diǎn)。四、計(jì)算橫標(biāo)與縱標(biāo)的乘積之和以及橫標(biāo)和縱標(biāo)的平方和：Σ(xi*yi)=10*100+15*120+...+55*280=18100Σ(xi)=10+15+...+55=275Σ(yi)=100+120+...+280=1150Σ(xi2)=102+152+...+552=10125計(jì)算回歸系數(shù)：b=[nΣ(xi*yi)-Σ(xi)Σ(yi)]/[nΣ(xi2)-(Σ(xi))2]b=[10*18100-275*1150]/[10*10125-2752]b≈6.6a=(Σ(yi)/n)-b(Σ(xi)/n)a=1150/10-6.6*275/10a≈80.5線性回歸方程為：y=80.5+6.6x五、假設(shè)檢驗(yàn)：H?:μ=100H?:μ≠100檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(x?-μ?)/(s/√n)x?=(95+...+96)/10=100s≈√[(95-100)2+...+(96-100)2]/(10-1)≈4.12t=(100-100)/(4.12/√10)=0拒絕域：|t|>t_(0.025,9)(自由度為9,顯著性水平為0.05的雙尾檢驗(yàn)臨界值)t_(0.025,9)≈2.262由于|t|=0<2.262，不能拒絕原假設(shè)。即沒有足夠證據(jù)表明這批產(chǎn)品的重量不符合合格標(biāo)準(zhǔn)。六、使用兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)：H?:μ_A=μ_BH?:μ_A≠μ_B計(jì)算兩組樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差：x?_A=24,s_A≈3.16x?_B=22,s_B≈3.16計(jì)算合并方差估計(jì)：s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)s_p2=[(5-1)3.162+(5-1)3.162]/(5+5-2)s_p2=25.06s_p≈5.01計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(x?_A-x?_B)/(s_p√(1/n_A+1/n_B))t=(24-22)/(5.01√(1/5+1/5))t≈0.8拒絕域：|t|>t_(0.025,8)(自由度為8,顯著性水平為0.05的雙尾檢驗(yàn)臨界值)t_(0.025,8)≈2.306由于|t|=0.8<2.306，不能拒絕原假設(shè)。即沒有足夠證據(jù)表明兩個(gè)部門的銷售業(yè)績存在顯著差異。七、樂觀主義法（大中取大法）：比較每個(gè)行動(dòng)在不同狀態(tài)下的最大收益，選擇最大收益對(duì)應(yīng)的行動(dòng)。行動(dòng)1的最大收益為20，行動(dòng)2的最大收益為30，選擇行動(dòng)2。悲觀主義法（小中取大法）：比較每個(gè)行動(dòng)在不同狀態(tài)下的最小收益，選擇最小收益對(duì)應(yīng)的行動(dòng)。行動(dòng)1的最小收益為10，行動(dòng)2的最小收益為5，選擇行動(dòng)1。等可能性法（期望值法）：計(jì)算每個(gè)行動(dòng)在不同狀態(tài)下的期望收益，選擇期望收益最大的行動(dòng)。期望值(行動(dòng)1)=0.7*10+0.3*20=14期望值(行動(dòng)2)=0.7*30+0.3*5=22.5選擇行動(dòng)2。八、期望值=0.6*100+0.4*(-50)=60-20=40由于期望值為正，說明投資預(yù)期的平均收益為正，因此使用期望值法進(jìn)行決策選擇投資是合理的。九、計(jì)算條件概率（后驗(yàn)概率）：P(狀態(tài)1|調(diào)查結(jié)果)=[P(調(diào)查結(jié)果|狀態(tài)1)P(狀態(tài)1)]/P(調(diào)查結(jié)果)P(調(diào)查結(jié)果)=P(調(diào)查結(jié)果|狀態(tài)1)P(狀態(tài)1)+P(調(diào)查結(jié)果|狀態(tài)2)P(狀態(tài)2)P(調(diào)查結(jié)果)=0.8*0.7+0.2*0.3=0.6+0.06=0.66P(狀態(tài)1|調(diào)查結(jié)果)=(0.8*0.7)/0.66≈0.848P(狀態(tài)2|調(diào)查結(jié)果)=(0.2*0.3)/0.66≈0.152使用貝葉斯決策方法選擇最優(yōu)行動(dòng)：期望收益(行動(dòng)1|調(diào)查結(jié)果)=0.848*10+0.152*20=8.48+3.04=11.52期望收益(行動(dòng)2|調(diào)查結(jié)果)=0.848*30+0.152*5=25.44+0.76=26.20選擇行動(dòng)2。十、決策樹分析是一種將決策過程可視化的決策方法，通過繪制樹狀圖表示各種決策方案、自然狀態(tài)及其結(jié)果，并進(jìn)行逐步分析，最終選擇最優(yōu)方案。