高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市高中五校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，則，解得，故.故選：D.2.在的展開式中，的系數(shù)是（）A.40 B.64 C.20 D.【答案】A【解析】根據(jù)二項式定理，展開式的通項公式為：令，則，解得.當(dāng)時，的系數(shù)為.根據(jù)組合數(shù)公式，可得，所以的系數(shù)為.故選：A.3.長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學(xué)生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】某學(xué)校學(xué)生中，大約有的學(xué)生每天玩手機超過，則有的學(xué)生每天玩手機不超過，超過近視率約為，不超過近視率約為，所以從該校任意調(diào)查一名學(xué)生，他近視的概率大約是．故選：C．4.為參加校園文化節(jié)，某班推薦2名男生3名女生參加文藝技能培訓(xùn)，培訓(xùn)項目及人數(shù)分別為：樂器1人，舞蹈2人，演唱2人．若每人只參加1個項目，并且舞蹈和演唱項目必須有女生參加，則不同推薦方案的種數(shù)為（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】由題意可知不同的推薦方案的種數(shù)分為以下兩種：一種方案是：有兩名女生參加舞蹈與演唱項目中的一個，剩下的一名女生參加另一個，再從2名男生中選一名參加另一個項目，剩下的男生參加樂器項目，共有種，即12種；另一種方案是：有兩名女生分別參加舞蹈、演唱項目中的一個，兩名男生也分別參加舞蹈、演唱項目中的一個，剩下的一名女生參加樂器項目，共有種，即12種.綜上可知：滿足條件的不同的推薦方案的種數(shù)=12+12=24.故選：B.5.生態(tài)環(huán)境部2024年7月21日發(fā)布了《全國碳市場發(fā)展報告（2024）》，系統(tǒng)總結(jié)了全國碳排放權(quán)交易市場和全國溫室氣體自愿減排交易市場的最新建設(shè)進(jìn)展，全方位展示了市場建設(shè)運行工作成效．為了解某地碳市場建設(shè)情況，相關(guān)部門對當(dāng)?shù)?000家企業(yè)的碳排放情況進(jìn)行了綜合評估，得到各企業(yè)的綜合得分近似服從正態(tài)分布，則得分在區(qū)間內(nèi)的企業(yè)大約有（參考數(shù)據(jù)：若，則，）（）A.108家 B.116家 C.124家 D.136家【答案】D【解析】由題得，，則，故得分在區(qū)間內(nèi)的企業(yè)大約有家．故選：D.6.已知點，動點滿足，設(shè)點的軌跡為曲線，直線與交于兩點，則弦長（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】設(shè)，因為，則，整理可得，可知曲線是以為圓心，半徑，則圓心到直線的距離，所以弦長.故選：B.7.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點，連接，，因為，所以．又平面平面，平面平面，平面，所以平面．又，所以，可得，，兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，所以，，所以，又異面直線所成角的取值范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：C.8.已知甲、乙去北京旅游的概率分別為，，甲、乙兩人中至少有一人去北京旅游的概率為，且甲是否去北京旅游對乙去北京旅游有一定影響，則在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】記事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游，則，，，因為，即，解得，又因為，即，解得，因為，所以，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9.下列選項正確的是（）A.若隨機變量X服從兩點分布，也稱分布，且，則B.若隨機變量X滿足，則C.若隨機變量，則D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，若，則此人最有可能7次擊中目標(biāo)【答案】BCD【解析】若隨機變量X服從兩點分布，且，則，，則，故A錯；若隨機變量X滿足，則，故B正確；若隨機變量，，則，故C正確；某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，若，則，由得，即，即，解得，所以，即最大，此人最有可能7次擊中目標(biāo)，故D正確；故選：BCD.10.一個質(zhì)地均勻的正四面體4個表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件為“第一次向下的數(shù)字為1或2”，事件為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.事件發(fā)生的概率為B.事件與事件不互斥C.事件與事件相互獨立D.事件發(fā)生的概率為【答案】ABC【解析】由題意可得，故A正確；當(dāng)兩次拋擲的點數(shù)為時，事件與事件同時發(fā)生，所以事件與事件不互斥，故B正確；事件與事件同時發(fā)生的情況有共4種，所以，又，所以，故事件與事件相互獨立，故C正確；，故D錯誤.

故選：ABC.11.以下四個命題表述正確的是（）A.若點到直線的距離相等，則a的值為1或.B.設(shè)為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，則C.若圓與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍為D.點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】對于A選項，根據(jù)點到直線距離公式，對于點到直線距離，點到直線的距離.因為，即，也就是.當(dāng)時，解得；當(dāng)時，解得.所以A選項正確.對于B選項，對于拋物線，其焦點坐標(biāo)為.直線過焦點，將焦點坐標(biāo)代入直線方程可得，解得，則拋物線方程為.聯(lián)立直線與拋物線方程，將代入得.設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理.由拋物線弦長公式，所以B選項錯誤.對于C選項，兩圓的圓心分別為，，半徑分別為，.兩圓有公共點，則.，.對于，解得或（因為，舍去）.對于，解得.綜合得，所以C選項正確.對于D選項，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為.則中點在直線上，且，由得①.又②.聯(lián)立①②求解，由①得.將代入②解得.將代入得.所以D選項正確.故選：ACD.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.若隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則______．【答案】【解析】因為隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，所以.13.在平行六面體中，若，則__________.【答案】【解析】如下圖所示，有.=又因為,所以解得所以=.14.已知雙曲線的左?右焦點分別為，直線與雙曲線的一個交點為點，與雙曲線的一條漸近線交于點為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】如圖，因為，所以，即，所以，P，Q三點共線，將代入雙曲線中，，雙曲線漸近線為，把代入漸近線中，，故，，故，解得：，因為，解得：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知在的展開式中滿足，且常數(shù)項為，求：（1）的值；（2）展開式中的系數(shù)；（3）含的整數(shù)次冪的項共有多少項.解：（1）由已知得二項展開式的通項因為常數(shù)項，令，解得，此時，結(jié)合，可解得.（2）由（1）知，令，得，所以的系數(shù)為.（3）要使為整數(shù)，只需為偶數(shù)，由于，，故，因此含的整數(shù)次冪的項共有項，分別為展開式的第項.16.某地舉行“慶元旦”抽獎活動，獎池中只有“幸運獎”和“安慰獎”兩種獎項，已知每次抽獎抽中“幸運獎”得獎金30元，抽中“安慰獎”得獎金10元，累計獎金不少于50元時，停止抽獎，設(shè)甲每次抽中“幸運獎”的概率為，抽中“安慰獎”的概率為，且每次抽獎結(jié)果相互獨立．（1）記甲抽獎2次所得的累計獎金為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲恰好抽獎3次后停止抽獎的概率．解：（1）的所有可能取值為．且，所以X的分布列為X204060P故.（2）設(shè)“甲恰好抽獎3次后停止抽獎”事件，甲恰好抽獎3次后停止抽獎，則甲累計獎金為50元或70元.①若甲累計獎金為50元，則甲抽中“幸運獎”1次，抽中“安慰獎”2次，其概率為.②若甲累計獎金為70元，則甲抽中“幸運獎”2次，抽中“安慰獎”1次，且第3次抽中“幸運獎”，其概率為.所以.17.為積極響應(yīng)“反詐”宣傳教育活動的要求，提高市民“反詐”意識，某市進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)“反詐”知識競賽，共有10000名市民參與了知識競賽，現(xiàn)從參加知識競賽的市民中隨機地抽取100人，得分統(tǒng)計如下：成績（分）頻數(shù)61218341686（1）現(xiàn)從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績，求這兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；（2）若該市所有參賽市民的成績近似服從正態(tài)分布，試估計參賽市民中成績超過79分的市民數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；（3）為了進(jìn)一步增強市民“反詐”意識，得分不低于80分的市民可繼續(xù)參與第二輪答題贈話費活動，規(guī)則如下：①參加答題的市民的初始分都設(shè)置為100分；②參加答題的市民可在答題前自己決定答題數(shù)量，每一題都需要用一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格（即用分?jǐn)?shù)來買答題資格），規(guī)定答第k題時所需的分?jǐn)?shù)為；③每答對一題得2分，答錯得0分；④答完題后參加答題市民的最終分?jǐn)?shù)即為獲得的話費數(shù)（單位：元）．已知市民甲答對每道題的概率均為，且每題答對與否都相互獨立，則當(dāng)他的答題數(shù)量為多少時，他獲得的平均話費最多？參考數(shù)據(jù)：若，則，，解：（1）從該樣本中隨機抽取兩名市民的競賽成績，基本事件總數(shù)為，設(shè)“抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分”為事件A，則事件包含的基本事件的個數(shù)為，因為每個基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，所以，即抽取的兩名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率為；（2）因為，所以，故參賽市民中成績超過79分的市民數(shù)約為；（3）以隨機變量表示甲答對的題數(shù)，則且，記甲答完題所加的分?jǐn)?shù)為隨機變量，則，所以，依題意為了獲取答道題的資格，甲需要的分?jǐn)?shù)為：，設(shè)甲答完題后的最終得分為，則.由于，所以當(dāng)或時，取最大值.即當(dāng)他的答題數(shù)量為或時，他獲得的平均話費最多.18.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，平面平面.（1）求證：平面平面；（2）點是棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離.（1）證明：在中，，由余弦定理，得，所以，即.因為平面平面，平面平面平面，所以平面又平面，所以平面平面.（2）解：設(shè)的中點分別為，連接，因為為的中點，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以.因為分別為的中點，所以，又，所以，即兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，則，，則，設(shè)是平面的一個法向量，則，即，令，則.設(shè)直線與平面所成角為，又，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：由（2）知，平面的