中國(guó)精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）模擬試題及答案(2025年江蘇常州市)一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.設(shè)事件A和B滿足$P(AB)=0$，則（）A.A和B互不相容B.AB是不可能事件C.$P(A)=0$或$P(B)=0$D.以上都不對(duì)答案：D解析：若$P(AB)=0$，不能直接得出A和B互不相容（互不相容要求$AB=\varnothing$，而概率為0的事件不一定是不可能事件），也不能得出$P(A)=0$或$P(B)=0$，所以選D。2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為$f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}$，則$P\{X\leq0.5\}$的值為（）A.0.25B.0.5C.0.75D.1答案：A解析：$P\{X\leq0.5\}=\int_{0}^{0.5}2xdx=x^{2}\big|_{0}^{0.5}=0.25$。3.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，且$P\{X=1\}=P\{X=2\}$，則$\lambda$的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，其概率分布為$P\{X=k\}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$。因?yàn)?P\{X=1\}=P\{X=2\}$，所以$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，化簡(jiǎn)得$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，解得$\lambda=0$（舍去）或$\lambda=2$。4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布$N(0,1)$，則$Z=X+Y$服從（）A.$N(0,1)$B.$N(0,2)$C.$N(1,1)$D.$N(1,2)$答案：B解析：若$X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})$，且X和Y相互獨(dú)立，則$Z=X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})$。已知$X\simN(0,1)$，$Y\simN(0,1)$，所以$Z=X+Y\simN(0+0,1+1)=N(0,2)$。5.設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望$E(X)=\mu$，方差$D(X)=\sigma^{2}$，則由切比雪夫不等式有$P\{|X-\mu|\geq3\sigma\}$（）A.$\leq\frac{1}{9}$B.$\geq\frac{1}{9}$C.$\leq\frac{8}{9}$D.$\geq\frac{8}{9}$答案：A解析：切比雪夫不等式為$P\{|X-E(X)|\geq\varepsilon\}\leq\frac{D(X)}{\varepsilon^{2}}$，已知$E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^{2}$，$\varepsilon=3\sigma$，則$P\{|X-\mu|\geq3\sigma\}\leq\frac{\sigma^{2}}{(3\sigma)^{2}}=\frac{1}{9}$。6.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$為樣本均值，則$\overline{X}$服從（）A.$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$B.$N(\mu,\sigma^{2})$C.$N(0,1)$D.$N(n\mu,n\sigma^{2})$答案：A解析：若總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，則樣本均值$\overline{X}\simN(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。7.設(shè)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，要檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu=\mu_0$，$H_1:\mu\neq\mu_0$，則應(yīng)選用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為（）A.$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$B.$T=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$C.$\chi^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$D.$F=\frac{S_1^{2}}{S_2^{2}}$答案：A解析：當(dāng)總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知時(shí)，檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu=\mu_0$，$H_1:\mu\neq\mu_0$，應(yīng)選用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，該統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布$N(0,1)$。8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為$F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\x^{2},&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}$，則$P\{0.5\ltX\leq0.8\}$的值為（）A.0.39B.0.49C.0.59D.0.69答案：A解析：$P\{0.5\ltX\leq0.8\}=F(0.8)-F(0.5)=0.8^{2}-0.5^{2}=0.64-0.25=0.39$。9.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.5，$E(X)=E(Y)=0$，$E(X^{2})=E(Y^{2})=2$，則$E[(X+Y)^{2}]$的值為（）A.4B.6C.8D.10答案：B解析：首先，根據(jù)期望的性質(zhì)$E[(X+Y)^{2}]=E(X^{2}+2XY+Y^{2})=E(X^{2})+2E(XY)+E(Y^{2})$。已知$E(X)=E(Y)=0$，$E(X^{2})=E(Y^{2})=2$，相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=0.5$，且$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=2$，$D(Y)=E(Y^{2})-[E(Y)]^{2}=2$，$Cov(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=0.5\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}=1$，又因?yàn)?Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，所以$E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)=1$。則$E[(X+Y)^{2}]=2+2\times1+2=6$。10.設(shè)總體X的概率密度為$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0\ltx\lt\theta\\0,&其他\end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，$\theta$的矩估計(jì)量為（）A.$\overline{X}$B.$2\overline{X}$C.$\frac{1}{\overline{X}}$D.$\frac{2}{\overline{X}}$答案：B解析：首先求總體X的一階矩$E(X)=\int_{0}^{\theta}x\cdot\frac{1}{\theta}dx=\frac{1}{\theta}\cdot\frac{x^{2}}{2}\big|_{0}^{\theta}=\frac{\theta}{2}$。令$E(X)=\overline{X}$，即$\frac{\theta}{2}=\overline{X}$，解得$\theta=2\overline{X}$，所以$\theta$的矩估計(jì)量為$2\overline{X}$。11.設(shè)隨機(jī)變量X服從區(qū)間$[a,b]$上的均勻分布，則$D(X)$的值為（）A.$\frac{(b-a)^{2}}{12}$B.$\frac{(b-a)^{2}}{6}$C.$\frac{(b-a)^{2}}{3}$D.$\frac{(b-a)^{2}}{2}$答案：A解析：若隨機(jī)變量X服從區(qū)間$[a,b]$上的均勻分布，其概率密度為$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\leqx\leqb\\0,&其他\end{cases}$，則$E(X)=\frac{a+b}{2}$，$E(X^{2})=\int_{a}^x^{2}\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{x^{3}}{3}\big|_{a}^=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$，$D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}-(\frac{a+b}{2})^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{12}$。12.設(shè)總體X服從參數(shù)為$\lambda$的指數(shù)分布，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，則樣本均值$\overline{X}$的數(shù)學(xué)期望$E(\overline{X})$為（）A.$\lambda$B.$\frac{1}{\lambda}$C.$n\lambda$D.$\frac{n}{\lambda}$答案：B解析：已知總體X服從參數(shù)為$\lambda$的指數(shù)分布，其數(shù)學(xué)期望$E(X)=\frac{1}{\lambda}$。因?yàn)闃颖揪?\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，且$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)$，又因?yàn)?X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，所以$E(X_i)=E(X)=\frac{1}{\lambda}$，則$E(\overline{X})=\frac{1}{n}\cdotn\cdot\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{\lambda}$。13.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，則$D(2X+1)$的值為（）A.$4np(1-p)$B.$2np(1-p)$C.$4np$D.$2np$答案：A解析：已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布$B(n,p)$，則$D(X)=np(1-p)$。根據(jù)方差的性質(zhì)$D(aX+b)=a^{2}D(X)$，對(duì)于$Y=2X+1$，$a=2$，$b=1$，所以$D(2X+1)=2^{2}D(X)=4np(1-p)$。14.設(shè)總體X服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}$為樣本方差，則$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$服從（）A.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布B.t分布C.$\chi^{2}$分布D.F分布答案：C解析：若總體$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，樣本方差為$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}$，則$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}$服從自由度為$n-1$的$\chi^{2}$分布，即$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}(n-1)$。15.設(shè)隨機(jī)變量X和Y滿足$D(X+Y)=D(X-Y)$，則必有（）A.X和Y相互獨(dú)立B.X和Y不相關(guān)C.$D(Y)=0$D.$D(X)=0$答案：B解析：已知$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$。因?yàn)?D(X+Y)=D(X-Y)$，所以$D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$，化簡(jiǎn)得$Cov(X,Y)=0$。相關(guān)系數(shù)$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，當(dāng)$Cov(X,Y)=0$時(shí)，$\rho_{XY}=0$，即X和Y不相關(guān)。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)事件A和B滿足$P(A)\gt0$，$P(B)\gt0$，則下列命題正確的有（）A.若A和B互不相容，則A和B一定不獨(dú)立B.若A和B獨(dú)立，則A和B一定不互不相容C.若A和B互不相容，則$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$D.若A和B獨(dú)立，則$P(AB)=P(A)P(B)$答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：若A和B互不相容，則$AB=\varnothing$，$P(AB)=0$，而$P(A)\gt0$，$P(B)\gt0$，$P(A)P(B)\gt0$，$P(AB)\neqP(A)P(B)$，所以A和B一定不獨(dú)立，A正確。-選項(xiàng)B：若A和B獨(dú)立，則$P(AB)=P(A)P(B)\gt0$，所以$AB\neq\varnothing$，即A和B一定不互不相容，B正確。-選項(xiàng)C：根據(jù)概率的加法公式，若A和B互不相容，即$AB=\varnothing$，則$P(A\cupB)=P(A)+P(B)$，C正確。-選項(xiàng)D：這是事件A和B獨(dú)立的定義，若A和B獨(dú)立，則$P(AB)=P(A)P(B)$，D正確。2.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^{2})$，則下列說法正確的有（）A.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是關(guān)于$x=\mu$對(duì)稱的B.當(dāng)$\mu$固定時(shí)，$\sigma$越大，正態(tài)分布的曲線越“矮胖”C.當(dāng)$\sigma$固定時(shí)，$\mu$越大，正態(tài)分布的曲線越向右平移D.若$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，則$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)$答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^{2})$的概率密度函數(shù)為$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，顯然$f(\mu+x)=f(\mu-x)$，所以是關(guān)于$x=\mu$對(duì)稱的，A正確。-選項(xiàng)B：當(dāng)$\mu$固定時(shí)，$\sigma$越大，曲線越分散，越“矮胖”；$\sigma$越小，曲線越集中，越“瘦高”，B正確。-選項(xiàng)C：當(dāng)$\sigma$固定時(shí)，$\mu$決定了曲線的位置，$\mu$越大，曲線越向右平移，C正確。-選項(xiàng)D：若$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，則$Z\simN(0,1)$，D正確。3.設(shè)總體X的分布未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2}$，則下列說法正確的有（）A.$\overline{X}$是總體均值$\mu$的無偏估計(jì)量B.$S^{2}$是總體方差$\sigma^{2}$的無偏估計(jì)量C.當(dāng)$n$充分大時(shí)，$\overline{X}$近似服從正態(tài)分布D.當(dāng)$n$充分大時(shí)，$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdotn\cdot\mu=\mu$，所以$\overline{X}$是總體均值$\mu$的無偏估計(jì)量，A正確。-選項(xiàng)B：$E(S^{2})=E(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^{2})=\sigma^{2}$，所以$S^{2}$是總體方差$\sigma^{2}$的無偏估計(jì)量，B正確。-選項(xiàng)C：根據(jù)中心極限定理，當(dāng)$n$充分大時(shí)，無論總體X服從什么分布，樣本均值$\overline{X}$近似服從正態(tài)分布$N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$，C正確。-選項(xiàng)D：當(dāng)$n$充分大時(shí)，由中心極限定理和統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布$N(0,1)$，D正確。4.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度為$f(x,y)=\begin{cases}2e^{-(x+2y)},&x\gt0,y\gt0\\0,&其他\end{cases}$，則下列說法正確的有（）A.X和Y相互獨(dú)立B.X服從指數(shù)分布C.Y服從指數(shù)分布D.$E(X+Y)=\frac{3}{2}$答案：ABCD解析：-先求X的邊緣概率密度$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$，當(dāng)$x\gt0$時(shí)，$f_X(x)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(x+2y)}dy=2e^{-x}\int_{0}^{+\infty}e^{-2y}dy=e^{-x}$，當(dāng)$x\leq0$時(shí)，$f_X(x)=0$，所以$X\simE(1)$，服從指數(shù)分布。-再求Y的邊緣概率密度$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$，當(dāng)$y\gt0$時(shí)，$f_Y(y)=\int_{0}^{+\infty}2e^{-(x+2y)}dx=2e^{-2y}\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx=2e^{-2y}$，當(dāng)$y\leq0$時(shí)，$f_Y(y)=0$，所以$Y\simE(2)$，服從指數(shù)分布。-因?yàn)?f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，所以X和Y相互獨(dú)立。-已知$X\simE(1)$，則$E(X)=1$；$Y\simE(2)$，則$E(Y)=\frac{1}{2}$，所以$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。5.設(shè)總體X服從兩點(diǎn)分布$B(1,p)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，則下列說法正確的有（）A.樣本均值$\overline{X}$是$p$的無偏估計(jì)量B.樣本方差$S^{2}$是$p(1-p)$的無偏估計(jì)量C.當(dāng)$n$充分大時(shí)，$\overline{X}$近似服從正態(tài)分布D.可以用最大似然估計(jì)法求$p$的估計(jì)量答案：ABCD解析：-選項(xiàng)A：總體$X\simB(1,p)$，$E(X)=p$，$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdotn\cdotp=p$，所以$\overline{X}$是$p$的無偏估計(jì)量，A正確。-選項(xiàng)B：$D(X)=p(1-p)$，$E(S^{2})=D(X)=p(1-p)$，所以樣本方差$S^{2}$是$p(1-p)$的無偏估計(jì)量，B正確。-選項(xiàng)C：根據(jù)中心極限定理，當(dāng)$n$充分大時(shí)，樣本均值$\overline{X}$近似服從正態(tài)分布$N(p,\frac{p(1-p)}{n})$，C正確。-選項(xiàng)D：可以通過構(gòu)造似然函數(shù)$L(p)=\prod_{i=1}^{n}p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}$，然后求其最大值點(diǎn)來得到$p$的最大似然估計(jì)量，D正確。三、解答題（每題10分，共40分）1.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為$f(x)=\begin{cases}Ax^{2},&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}$，求：-（1）常數(shù)A的值；-（2）$P\{0.5\ltX\lt0.8\}$；-（3）X的分布函數(shù)$F(x)$。解：-（1）根據(jù)概率密度函數(shù)的性質(zhì)$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$，可得$\int_{0}^{1}Ax^{2}dx=1$。計(jì)算積分$\int_{0}^{1}Ax^{2}dx=A\cdot\frac{x^{3}}{3}\big|_{0}^{1}=\frac{A}{3}$，則$\frac{A}{3}=1$，解得$A=3$。-（2）$P\{0.5\ltX\lt0.8\}=\int_{0.5}^{0.8}3x^{2}dx=x^{3}\big|_{0.5}^{0.8}=0.8^{3}-0.5^{3}=0.512-0.125=0.387$。-（3）當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=0$；當(dāng)$0\leqx\lt1$時(shí)，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}3t^{2}dt=t^{3}\big|_{0}^{x}=x^{3}$；當(dāng)$x\geq1$時(shí)，$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{1}3t^{2}dt=1$。所以$F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\x^{3},&0\leqx\lt1\\1,&x\geq1\end{cases}$。2.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為||Y=0|Y=1||---|---|---||X=0|0.1|0.2||X=1|0.3|0.4|求：-（1）X和Y的邊緣概率分布；-（2）$P\{X+Y\leq1\}$；-（3）判斷X和Y是否獨(dú)立。解：-（1）X的邊緣概率分布：$P\{X=0\}=P\{X=0,Y=0\}+P\{X=0,Y=1\}=0.1+0.2=0.3$；$P\{X=1\}=P\{X=1,Y=0\}+P\{X=1,Y=1\}=0.3+0.4=0.7$。所以X的邊緣概率分布為$P\{X=0\}=0.3$，$P\{X=1\}=0.7$。Y的邊緣概率分布：$P\{Y=0\}=P\{X=0,Y=0\}+P\{X=1,Y=0\}=0.1+0.3=0.4$；$P\{Y=1\}=P\{X=0,Y=1\}+P\{X=1,Y=1\}=0.2+0.4=0.6$。所以Y的邊緣概率分布為$P\{Y=0\}=0.4$，$P\{Y=1\}=0.6$。-（2）$P\{X+Y\leq1\}=P\{X=0,Y=0\}+P\{X=0,Y=1\}+P\{X=1,Y=0\}=0.1+0.2+0.3=0.6$。-（3）因?yàn)?P\{X=0,Y=0\}=0.1$，$P\{X=0\}P\{Y=0\}=0.3\times0.4=0.12$，$P\{X=0,Y=0\}\neqP\{X=0\}P\{Y=0\}$，所以X和Y不獨(dú)立。3.設(shè)總體X的概率密度為$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{2x}{\theta^{2}},&0\ltx\lt\theta\\0,&其他\end{cases}$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是來自總體X的樣本，求：-（1）$\theta$的矩估計(jì)量；-（2）$\theta$的最大似然估計(jì)量。解：-（1）先求總體X的一階矩$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdotf(x;\theta)dx=\int_{0}^{\theta}x\cdot\frac{2x}{\theta^{2}}dx=\frac{2}{\theta^{2}}\int_{0}^{\theta}x^{2}dx=\frac{2}{\theta^{2}}\cdot\frac{x^{3}}{3}\big|_{0}^{\theta}=\frac{2}{3}\theta$。令$E(X)=\overline{X}$，即$\frac{2}{3}\theta=\overline{X}$，解得$\theta=\frac{3}{2}\overline{X}$，所以$\theta$的矩估計(jì)量為$\hat{\theta}=\frac{3}{2}\overline{X}$。-（2）似然函數(shù)$L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(X_i;\theta)=\begin{cases}\frac{2^{n}}{\theta^{2n}}\prod_{i=1}^{n}X_i,&0\ltX_{(1)}\leqX_{(n)}\lt\theta\\0,&其他\end{cases}$，其中$X_{(1)}=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$，$X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$。因?yàn)?L(\theta)$是關(guān)于$\theta$的單調(diào)遞減函數(shù)，要使$L(\theta)$最大，則$\theta$要取最小，又因?yàn)?\theta\gtX_{(n)}$，所以$\theta$的最大似然估計(jì)量為$\hat{\theta}=X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$。4.設(shè)總體$X\simN(\mu,4)$，$X_1,X_2,\cdots,X_{16}$是來自總體X的樣本，樣本均值$\overline{X}=5$，在顯著性水平$\alpha=0.05$下，檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu=4$，$H_1:\mu\neq4$。解：-本題是總體方差$\sigma^{2}=4$已知，對(duì)總體均值$\mu$進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)。-（1）提出假設(shè)$H_0:\mu=4$，$H_1:\mu\neq4$。-（2）選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，這里$\mu_0=4$，$\sigma=2$，$n=16$，則$Z=\frac{\overline{X}-4}{\frac{2}{\sqrt{16}}}=2(\overline{X}-4)$。-（3）對(duì)于顯著性水平$\alpha=0.05$，雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?|Z|\gtz_{\frac{\alpha}{2}}$，$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96$。-（4）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值，已知$\overline{X}=5$，則$Z