第1頁/共1頁高二九月月考數(shù)學(xué)試卷考試時間：2025年9月23日下午14:30—16:30試卷滿分：150分注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號等在答題卷上填寫清楚．2．選擇題答案用2B鉛筆在答題卷上把對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，非選擇題用0.5mm的黑色簽字筆在每題對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)做答，答在試題卷上無效．第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（福建省福州2018屆高三質(zhì)檢）規(guī)定：投擲飛鏢3次為一輪，若3次中至少兩次投中8環(huán)以上為優(yōu)秀.根據(jù)以往經(jīng)驗，某選手投擲一次命中8環(huán)以上的概率為.現(xiàn)采用計算機(jī)做模擬實驗來估計該選手獲得優(yōu)秀的概率：用計算機(jī)產(chǎn)生0到9之間的隨機(jī)整數(shù)，用0,1表示該次投擲未在8環(huán)以上，用2,3,4,5,6,7,8,9表示該次投擲在8環(huán)以上，經(jīng)隨機(jī)模擬試驗產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683031257393527556488730113537989據(jù)此估計，該選手投擲1輪，可以拿到優(yōu)秀的概率為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知，組數(shù)據(jù)中有組191，031，113不是優(yōu)秀，其余組是優(yōu)秀，所以可以拿到優(yōu)秀的概率為，故選D．2.設(shè)、，向量，，且，，則（）A. B. C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】利用向量共線、垂直的坐標(biāo)表示求出，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出模.【詳解】由，得，解得，即，由，得，解得，即，因此，所以.故選：D3.某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，已知兩個系統(tǒng)至少有一個能正常運(yùn)作，小區(qū)就處于安全防范狀態(tài).若要求小區(qū)在任意時刻均處于安全防范狀態(tài)的概率不低于，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方法一：根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和互斥事件加法公式求解即可；方法二：根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式和對立事件概率公式求解.【詳解】設(shè)系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的事件分別為M和N.方法一：小區(qū)處于安全防范狀態(tài)的概率為，解得，故的最大值為.故選：A.方法二：小區(qū)在任意時刻均處于安全防范狀態(tài)的概率為，解得，故的最大值為.故選：A.4.已知，，，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)寫出對應(yīng)向量坐標(biāo)，再應(yīng)用投影向量的定義求在方向上的投影向量即可.【詳解】由題設(shè)，，，在方向上的投影向量為.故選：D5.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量共面定理逐項進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為構(gòu)成空間的一個基底，所以不共面，對于A，因為，所以共面，故A錯誤；對于B，因為，所以共面，故B錯誤；對于C，設(shè)，則，方程組無解，所以不共面，故C正確；對于D，因為，所以共面，故D錯誤；故選：C.6.已知向量是平面內(nèi)兩個不相等的非零向量，非零向量在直線上，則“，且”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由線面垂直的定義和判定定理，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可得到答案.【詳解】若，且，則，，由于向量所在的直線不一定相交，非零向量所在的直線為，所以不一定能得到；若，非零向量所在的直線為，向量是平面內(nèi)兩個不相等的非零向量，則，，可得，.綜上所述，“，且”是“”的必要不充分條件.故選：B.7.在棱長為1的正方體中，若點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是底面ABCD內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，則線段AM的長的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由可得點(diǎn)的軌跡方程，從而由平面知識即可求出線段AM的長的最小值．【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，所以，由可得，即，所以線段AM的長的最小值為．故選：B．8.空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面方程為，經(jīng)過點(diǎn)且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)給出的材料可得平面的法向量和直線的方向向量，利用公式可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】因為平面的方程為，故其法向量為，因為直線的方程為，故其方向向量為，故直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和2），2個白色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球．設(shè)事件“兩個球顏色不同”，“兩個球標(biāo)號的和為奇數(shù)”，“兩個球標(biāo)號都不小于2”，則（）A.A與B互斥 B.A與C相互獨(dú)立C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由互斥事件的定義分析A，由相互獨(dú)立事件的定義分析B，由古典概型的計算公式分析C、D，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球，則，，，所以有，，對于A，，事件A、B可以同時發(fā)生，則A、B不互斥，A錯誤；對于B，，A、C相互獨(dú)立，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤．故選：BC．10.下列說法正確的是（）A.若直線l的方向向量為平面α的法向量為則l∥αB.對空間任意一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A，B，C，若則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面D.已知若與的夾角為鈍角，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的有關(guān)定義及其結(jié)論，可判斷BCD項；根據(jù)已知得出，即可判斷A項.【詳解】對于A：由已知可得，所以或，故A錯誤；對于B：因為，所以四點(diǎn)共面，B正確；對于C：根據(jù)空間向量基底的概念，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，可知C正確；對于D：因為，因為與的夾角為鈍角，則

，所以，當(dāng)時，，不合題意，故D正確.故選：BCD.11.如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】A項利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理可證；B項利用線面平行的判定定理，得出平面，再根據(jù)三棱錐的體積公式求解即可；CD項，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)法表示線線角與線面角，建立函數(shù)關(guān)系求解范圍與最值即可進(jìn)行判斷.【詳解】A項，如圖，連接.，，，且平面，平面，平面，，同理，，，且平面，直線平面，故A正確；B項，，且，四邊形是平行四邊形.，平面，平面，平面，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離，其為定值，又面積是定值，三棱錐的體積為定值.不妨設(shè)正方體的棱長為1，則，即三棱錐的體積為定值，故B正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，則可設(shè)，則.C項，，．所以，，因為，則，，，因為異面直線與所成角為銳角或直角，故與所成角的取值范圍為，故C錯誤；D項，，．由A選項正確，可知是平面一個法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為，∴當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一張方桌有四個座位，先坐在如圖所示的座位上，，，三人隨機(jī)坐到其他三個位置上，則與相鄰的概率為___________.【答案】【解析】【分析】先計算，，三人隨機(jī)坐到其他三個位置上的所有情況，再計算“與不相鄰”的情況，利用古典概型的概率公式，即得解【詳解】，，三人隨機(jī)坐到其他三個位置上，共有種等可能情況，要使與不相鄰，則必坐在的對面，此時與的坐法共有2種情況，所以根據(jù)古典概型求概率公式可知與相鄰的概率為.故答案為：13.已知事件與相互獨(dú)立，，，則______．【答案】0.88【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式求出，從而利用求出答案.【詳解】因為事件與相互獨(dú)立，所以，所以．故答案為：0.8814.如圖，正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分別是AC，BF上的動點(diǎn)，且，則MN的最小值是__________【答案】##0.5【解析】【分析】利用二面角的定義證得就是二面角的平面角，即為，再利用空間向量將的長轉(zhuǎn)化為的模求解，利用空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積、一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【詳解】連接，如下圖，由題意，，，正方形中，正方形中，平面，平面，平面平面，∴就是二面角的平面角，則，∴向量與向量夾角為，且，，設(shè)，，，則，且由題意，∴，，∴，令，，圖象開口向上，且對稱軸為，∴當(dāng)時，取得最小值，即最小值為，∴的最小值是.故答案為：.第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.某校對高一年級800名學(xué)生進(jìn)行食堂滿意度調(diào)查，分性別得到的調(diào)查結(jié)果如下：男同學(xué)女同學(xué)滿意400350不滿意2030（1）從這800名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，求該學(xué)生是女同學(xué)且對食堂滿意的概率；（2）該校準(zhǔn)備在本次調(diào)查對食堂不滿意的學(xué)生中，用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法按性別抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，了解對食堂不滿意的原因，并在這5人中隨機(jī)選出2人發(fā)一份小禮品，求這2人恰好是一男一女的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式計算出所求概率.【小問1詳解】依題意，從這800名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，該學(xué)生是女同學(xué)且對食堂滿意的概率為.【小問2詳解】不滿意的男女生比例為，用等比例分層隨機(jī)抽樣的方法按性別抽取5人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，則男生抽取人，女生抽取人，男生記為，女生記為，在這5人中隨機(jī)選出2人，基本事件為，，共個，其中一男一女的為：，，共個，所以在這5人中隨機(jī)選出2人發(fā)一份小禮品，這2人恰好是一男一女的概率為.16.如圖，平行六面體中，底面是邊長為的正方形，，設(shè)，，（1）試用，，表示向量、；（2）若，求向量與所成的角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由空間向量的加法、減法運(yùn)算即可求解；（2）由（1），結(jié)合向量的夾角公式與數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【小問1詳解】，.【小問2詳解】因為，，，，所以，即向量與所成的角的余弦值為.17.如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是菱形，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證得，即可根據(jù)線面平行判定證得結(jié)論；（2）方法一：證得平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點(diǎn)面距離；方法二：證得平面，由，根據(jù)等體積法求線面距離．【小問1詳解】解：證明：在四棱錐中，連接交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接．為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面．【小問2詳解】方法一：四邊形是菱形，且，為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，，則，平面平面，平面平面，平面．是正三角形，．以為原點(diǎn)，分別以，，所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．又，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為．方法二：四邊形是菱形，且，為正三角形，取的中點(diǎn)，連接，，則，又平面平面，平面平面，平面．，是正三角形，，易得，，連接，．由，．取的中點(diǎn)，連接．，，，可得．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由，得，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．18.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某校開展了“冬奧”相關(guān)知識趣味競賽活動.現(xiàn)有甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，共有兩道題目，一次回答一道題目.規(guī)則如下：①拋一次質(zhì)地均勻的硬幣，若正面朝上，則由甲回答一個問題，若反面朝上，則由乙回答一個問題.②回答正確者得10分，另一人得0分；回答錯誤者得0分，另一人得5分.③若兩道題目全部回答完，則比賽結(jié)束，計算兩人的最終得分.已知甲答對每道題目的概率為，乙答對每道題目的概率為，且兩人每道題目是否回答正確相互獨(dú)立.（1）求乙同學(xué)最終得10分的概率；（2）記為甲同學(xué)的最終得分，求的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）按乙同學(xué)最終得10分的所有可能分類計算再相加即可；（2）甲同學(xué)的最終得分的可能結(jié)果有得10、15、20分，分別計算概率再相加即可.【小問1詳解】設(shè)乙同學(xué)最終得10分為事件，則可能情況為甲回答兩題且錯兩題，甲、乙各答一題且各對一題，乙回答兩題且對一題錯一題，則，即乙同學(xué)最終得10分的概率是.【小問2詳解】設(shè)“”為事件，，，.故.19.如圖，在三棱柱中，平面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值