第17頁：12.4.3角平分線主標題：以加粗宋體醒目呈現(xiàn)“12.4.3角平分線”，字體為深藍色，下方標注“——角的等分割線與距離的等量關(guān)聯(lián)”，突出角平分線的核心要點。背景：淡紫色漸變背景，中心繪制一個∠AOB及其角平分線OC，在OC上取一點P，過P分別向OA、OB作垂線PD、PE，展示角平分線的基礎(chǔ)圖形，下方添加“生活實例：平分角形區(qū)域的劃分”小圖標，拉近知識與生活的距離。第18頁：角平分線的定義標題：“定義：平分角的射線”文字闡述：“從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線就叫做這個角的角平分線”。圖形展示：畫出∠AOB，作射線OC，使∠AOC=∠BOC，清晰標注出各部分名稱（∠AOB、射線OC），并用幾何符號表示：“若射線OC是∠AOB的角平分線，則∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB”。著重說明：“角平分線是一條射線，它的端點是角的頂點，關(guān)鍵在于將角精準平分”。思考互動：“判斷：①過角頂點的射線是角平分線；②把角分成兩個角的射線是角平分線。（答案：①×，缺少平分條件；②×，未表明分成的兩個角相等）”，通過思考加深對定義的領(lǐng)悟。第19頁：角平分線的性質(zhì)定理標題：“性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊距離相等”推導(dǎo)進程：已知：OC是∠AOB的角平分線，點P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E（繪制對應(yīng)圖形）；求證：PD=PE；證明：∵OC是∠AOB的角平分線（已知），∴∠AOC=∠BOC（角平分線定義），∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直定義），在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO（已證），∠AOC=∠BOC（已證），OP=OP（公共邊），∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE（全等三角形對應(yīng)邊相等）。符號語言：“如圖，若OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，則PD=PE”。作用解析：“此性質(zhì)定理能直接用于證明線段相等，在涉及角平分線與線段長度關(guān)系的幾何問題中，是極為便捷的工具，能簡化證明過程”。實例鞏固：“在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，若AB=5cm，AC=3cm，△ABD的面積為10cm2，求△ACD的面積”（答案：因為AD是角平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)，點D到AB、AC的距離相等，設(shè)距離為h，由△ABD面積為10cm2，AB=5cm，可得1/2×5×h=10，h=4cm，所以△ACD面積=1/2×3×4=6cm2），強化性質(zhì)定理的運用。第20頁：角平分線的判定定理標題：“判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”推導(dǎo)過程：已知：點P為∠AOB內(nèi)一點，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE（繪制對應(yīng)圖形）；求證：點P在∠AOB的角平分線上；證明：連接OP，在Rt△PDO和Rt△PEO中，PD=PE（已知），OP=OP（公共邊），∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴∠AOP=∠BOP（全等三角形對應(yīng)角相等），即點P在∠AOB的角平分線上。符號語言：“若PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，則點P在∠AOB的角平分線上”。強調(diào)要點：“證明一個點在角的平分線上，只需證明該點到角兩邊的距離相等，這為確定角平分線的位置提供了有效方法”。拓展延伸：“要證明一條射線是角平分線，可在射線上找兩個點，證明它們到角兩邊的距離都相等，依據(jù)是兩點確定一條直線”。練習(xí)強化：“已知點A（2，3）、B（4，5），在x軸上找一點P，使點P到直線AB與x軸正半軸夾角的兩邊距離相等，求點P的坐標”（提示：設(shè)點P坐標為（x，0），利用點到直線距離公式，結(jié)合判定定理求解，答案：P（3，0）），提升判定定理的應(yīng)用能力。第21頁：角平分線的尺規(guī)作圖標題：“尺規(guī)作圖：作角的平分線”作圖步驟：已知∠AOB；步驟1：以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N（強調(diào)半徑長度任意，但需保證能與角兩邊相交）；步驟2：分別以點M、N為圓心，大于1/2MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C（解釋半徑大于1/2MN是為了確保兩弧能相交）；步驟3：作射線OC；結(jié)論：射線OC就是∠AOB的角平分線。動畫演示：（若條件允許，可插入動態(tài)的尺規(guī)作圖動畫，直觀展示每一步操作）原理剖析：“由作圖可知，OM=ON，CM=CN，OC=OC，根據(jù)SSS（邊邊邊）全等判定定理，可得△OMC≌△ONC，從而∠MOC=∠NOC，即OC是∠AOB的角平分線”。應(yīng)用場景：“在實際生活中，如設(shè)計角度對稱的圖案、規(guī)劃場地的角度劃分等，都可借助尺規(guī)作圖作出角平分線來實現(xiàn)”。學(xué)生實踐：“請同學(xué)們在練習(xí)本上用尺規(guī)作出∠DEF的角平分線（∠DEF度數(shù)自定）”，讓學(xué)生親身操作，加深對作圖的理解。第22頁：角平分線的綜合應(yīng)用標題：“例題：角平分線的多元應(yīng)用場景”例題1（與三角形結(jié)合）：題目：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC=8cm，BD=5cm，求點D到AB的距離。解題步驟：過點D作DE⊥AB于點E，因為AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得DE=DC，又因為BC=8cm，BD=5cm，所以DC=BC-BD=8-5=3cm，則DE=3cm，即點D到AB的距離為3cm?？偨Y(jié)：“在直角三角形中，遇到角平分線，常通過向角的另一邊作垂線，利用角平分線性質(zhì)解決線段長度問題”。例題2（實際生活應(yīng)用）：題目：某景區(qū)要在三條道路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一個服務(wù)中心，使得服務(wù)中心到三條道路的距離相等，確定服務(wù)中心的位置。解題步驟：分別作三角形三個內(nèi)角的角平分線，設(shè)它們相交于點O；點O即為服務(wù)中心的位置（依據(jù)：三角形三條角平分線相交于一點，該點到三角形三邊的距離相等）?？偨Y(jié)：“將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用角平分線的性質(zhì)找到到多條直線距離相等的點，解決位置確定問題”。第23頁：課堂總結(jié)與歸納標題：“回顧：角平分線的知識要點匯總”知識梳理：定義：從角的頂點引出將角分成兩個相等角的射線是角平分線；性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上；尺規(guī)作圖：用尺規(guī)作出角平分線的方法及原理；應(yīng)用：在幾何證明（證明線段相等、角度關(guān)系等）和實際生活（角度劃分、確定等距離點）中的應(yīng)用。方法歸納：證明線段相等，若涉及角平分線，優(yōu)先考慮性質(zhì)定理；證明點在角平分線上，運用判定定理；解決實際問題，將實際情境抽象為數(shù)學(xué)問題，借助角平分線知識求解。重點強調(diào)：“角平分線在幾何知識體系中占據(jù)重要地位，它與三角形全等、等腰三角形、直角三角形等知識緊密關(guān)聯(lián)，同學(xué)們務(wù)必熟練掌握其定義、性質(zhì)、判定及應(yīng)用，為后續(xù)學(xué)習(xí)幾何知識筑牢根基”。第24頁：課堂檢測與反饋標題：“課堂小測：角平分線知識大考驗”選擇題：（1）已知∠AOB，射線OC是∠AOB的角平分線，若∠AOB=60°，則∠AOC=（

）A.20°B.30°C.40°D.60°（答案：B）（2）在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若CD=3cm，AB=8cm，則△ABD的面積為（

）A.12cm2B.24cm2C.36cm2D.48cm2（答案：A）填空題：（1）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點D，若AB=4cm，BC=6cm，△ABD的面積為8cm2，則△BCD的面積為______cm2。（答案：12）（2）已知點P到∠MON兩邊的距離相等，且∠MON=80°，則∠MOP=______。（答案：40°）解答題：已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD，求證：AC平分∠BAD。（證明：連接AC，因為∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，AB=AD，AC=AC，所以Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），則∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD）反饋講解：迅速批改學(xué)生答案，針對學(xué)生出錯較多的題目進行詳細講解，強化知識的理解與運用，幫助學(xué)生查缺補漏?！?025-2026學(xué)年】華東師大版

數(shù)學(xué)八年級上冊

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13.1.1.1勾股定理第13章

勾股定理aiTujmiaNg1、掌握勾股定理及其簡單應(yīng)用，理解定理的一般探究方法；2、通過利用方格紙計算面積的方法探索勾股定理，經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想；你知道2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(ICM-2002)嗎？在這次大會上，到處可以看到一個簡潔優(yōu)美、遠看像旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車的圖案，它就是大會的會標.會標采用了1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖.

1955年希臘發(fā)行的一枚紀念郵票.

這張郵票是紀念二千五百年前希臘的一個學(xué)派和宗教團體──畢達哥拉斯學(xué)派.郵票上的圖案是根據(jù)一個著名的數(shù)學(xué)定理設(shè)計的.

觀察這枚郵票上的圖案，數(shù)數(shù)圖案中各正方形中小方格的個數(shù)，你有什么猜想？新課學(xué)習(xí)左講知識點

探索直角三角形三邊的關(guān)系例

我們知道直角三角形的兩個銳角互余，那么直角三角形三條邊之間是否也存在某種特殊關(guān)系呢？【操作發(fā)現(xiàn)】

①②

發(fā)現(xiàn)圖①49____

____,即_____________圖②169____

13

25

【探索驗證】活動二：

制作4張如圖③所示的直角三角形紙片，小明用這4張直角三角形紙片拼成弦圖④，試用兩種不同的方法計算弦圖④(大正方形)的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？③④

③④

⑤歸納：

勾股定理：直角三角形兩直角邊的________等于____________.平方和斜邊的平方【計算應(yīng)用】

右練

DA.4

B.8

C.9

D.16練1-2

下列說法正確的是(

)D

練1-3

補全下列圖形中未知正方形的面積或未知邊的長度.練1-4

圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為_________.

課堂小測(第1題)

DA.18

B.39

C.194

D.144

(第2題)

知識點1

勾股定理1.

求出下圖直角三角形中未知邊的長度.10

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C

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