2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)與決策理論應(yīng)用真題模擬解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.在參數(shù)估計(jì)中，當(dāng)總體分布未知或不滿足正態(tài)性時(shí)，對(duì)于大樣本情況下未知均值μ的估計(jì)，通常采用的方法是（）。A.極大似然估計(jì)B.矩估計(jì)C.t分布置信區(qū)間D.中心極限定理下的樣本均值2.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤α是指（）。A.接受H?，但H?為假B.拒絕H?，但H?為真C.接受H?，且H?為真D.拒絕H?，且H?為假3.在簡(jiǎn)單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，若要檢驗(yàn)回歸系數(shù)β?是否顯著不為零，應(yīng)使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.t統(tǒng)計(jì)量B.F統(tǒng)計(jì)量C.χ2統(tǒng)計(jì)量D.Z統(tǒng)計(jì)量4.若對(duì)一個(gè)二元分類變量進(jìn)行建模，且因變量Y服從伯努利分布，自變量X是連續(xù)的，則較為合適的回歸模型是（）。A.線性回歸模型B.對(duì)數(shù)線性模型C.邏輯回歸模型D.多項(xiàng)式回歸模型5.單因素方差分析（ANOVA）的基本假設(shè)包括（）。A.各組方差相等B.各組均值相等C.數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布D.以上都是6.在不確定型決策中，采用“最大最大收益法”的決策者屬于（）。A.保守型B.冒險(xiǎn)型C.折衷型D.理性型7.抽樣調(diào)查中，為了使樣本結(jié)構(gòu)更接近總體結(jié)構(gòu)，常采用的抽樣方法是（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣8.已知一批產(chǎn)品的次品率p未知，欲檢驗(yàn)H?:p≤0.05vsH?:p>0.05，應(yīng)選擇的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是（）。A.Z檢驗(yàn)B.t檢驗(yàn)C.χ2檢驗(yàn)D.F檢驗(yàn)9.在多元線性回歸分析中，R2表示（）。A.模型中自變量個(gè)數(shù)B.回歸平方和占總平方和的比例C.模型對(duì)因變量方差的解釋程度D.模型預(yù)測(cè)的誤差平方和10.決策樹(shù)分析中，位于樹(shù)梢末端的節(jié)點(diǎn)稱為（）。A.分支點(diǎn)B.節(jié)點(diǎn)C.葉節(jié)點(diǎn)D.根節(jié)點(diǎn)二、填空題1.若總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中σ2已知，欲構(gòu)造未知均值μ的(1-α)100%置信區(qū)間，應(yīng)使用________分布的臨界值。2.假設(shè)檢驗(yàn)中，拒絕H?所依據(jù)的原理是“小概率反證法”，其小概率閾值通常用________表示。3.簡(jiǎn)單線性回歸模型Y=β?+β?X+ε中，β?的回歸系數(shù)表示________。4.在方差分析中，總離差平方和SST可以分解為_(kāi)_______和________之和。5.決策分析中，風(fēng)險(xiǎn)型決策是指在面臨多種自然狀態(tài)，且每種狀態(tài)發(fā)生的概率已知時(shí)進(jìn)行的決策。6.當(dāng)總體分布嚴(yán)重偏態(tài)時(shí)，樣本均值的抽樣分布趨近于________分布，這是中心極限定理的應(yīng)用體現(xiàn)。7.若在一次假設(shè)檢驗(yàn)中，計(jì)算得到的p值=0.03，且預(yù)設(shè)的顯著性水平α=0.05，則應(yīng)________H?。8.在進(jìn)行回歸診斷時(shí)，若殘差圖顯示殘差隨擬合值呈曲線趨勢(shì)，則可能違反了回歸模型中________的假設(shè)。9.從一個(gè)包含N個(gè)元素的總體中隨機(jī)抽取n個(gè)元素，且每次抽取后放回，這種抽樣方式稱為_(kāi)_______抽樣。10.決策矩陣是進(jìn)行決策分析的基礎(chǔ)，其通常包含________、行動(dòng)方案和自然狀態(tài)三個(gè)要素。三、計(jì)算題1.(10分)從正態(tài)分布N(μ,16)的總體中隨機(jī)抽取容量為25的樣本，樣本均值為x?=52。試求總體均值μ的95%置信區(qū)間。2.(10分)某工廠生產(chǎn)一批零件，假設(shè)零件長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)?，F(xiàn)從中抽取8個(gè)樣本，測(cè)得長(zhǎng)度分別為(50.1,49.8,51.2,50.5,49.9,50.3,51.0,50.0)厘米。檢驗(yàn)假設(shè)H?:μ=50.0vsH?:μ≠50.0(α=0.05)。3.(15分)某研究欲探究廣告投入（萬(wàn)元）X與產(chǎn)品銷量（件）Y之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，計(jì)算得：∑x?=60,∑y?=550,∑x?2=410,∑x?y?=3280,n=10。試建立Y對(duì)X的簡(jiǎn)單線性回歸方程，并解釋回歸系數(shù)的含義。4.(15分)某農(nóng)場(chǎng)想比較三種不同肥料（A,B,C）對(duì)作物產(chǎn)量的影響，選取了條件相似的4塊土地，每塊土地施用一種肥料。作物產(chǎn)量（單位：kg）如下：肥料A:29,30,27,31肥料B:32,31,33,29肥料C:25,27,23,26試在α=0.05水平下，檢驗(yàn)三種肥料的產(chǎn)量是否有顯著差異。5.(10分)某公司面臨一個(gè)決策問(wèn)題：是否投產(chǎn)一種新產(chǎn)品。市場(chǎng)前景有好(H)、中(M)、差(L)三種可能，發(fā)生的概率分別為0.3,0.5,0.2。公司若投產(chǎn)，在不同市場(chǎng)前景下的收益（萬(wàn)元）如下：前景HML投產(chǎn)8050-20不投產(chǎn)000試分別用期望收益值法和不考慮后悔值法做出決策。四、應(yīng)用題某醫(yī)生想要評(píng)估一種新藥A與安慰劑B對(duì)治療某種疾病的療效。他隨機(jī)選取了50名病人，其中25人服用新藥A，25人服用安慰劑B。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間治療后，記錄了病人癥狀改善的程度評(píng)分。假設(shè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)服從正態(tài)分布，且已知兩組評(píng)分的方差相等。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)方案，說(shuō)明如何利用這些數(shù)據(jù)檢驗(yàn)新藥A是否比安慰劑B更有效（即A組的平均評(píng)分是否顯著高于B組）。請(qǐng)寫(xiě)出你將使用的檢驗(yàn)方法、需要計(jì)算的關(guān)鍵統(tǒng)計(jì)量以及基本的分析步驟。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.A4.C5.D6.B7.B8.A9.C10.C二、填空題1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)2.顯著性水平α3.X每變化一個(gè)單位，Y的均值變化的量4.組內(nèi)平方和（SSE），組間平方和（SSA）5.概率6.正態(tài)7.拒絕8.同方差性（或方差齊性）9.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（有放回）10.自然狀態(tài)（或結(jié)果）三、計(jì)算題1.解：總體方差σ2已知，故使用Z分布。1-α=0.95,α/2=0.025,Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。置信區(qū)間為：x?±Z_(α/2)*(σ/√n)=52±1.96*(4/√25)=52±1.96*0.8=52±1.568=(50.432,53.568)故μ的95%置信區(qū)間為(50.432,53.568)。2.解：H?:μ=50.0,H?:μ≠50.0σ2已知，使用Z檢驗(yàn)。α=0.05,Z_(α/2)=Z_0.025=1.96。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：Z=(x?-μ?)/(σ/√n)=(50.125-50.0)/(4/√8)=0.125/(4/2.828)=0.125/1.414=0.0884拒絕域：|Z|>1.96。由于|0.0884|=0.0884<1.96，未落入拒絕域。結(jié)論：不拒絕H?，沒(méi)有充分證據(jù)表明均值與50.0顯著不同。3.解：Y=β?+β?X+εβ?=[n∑(x?y?)-(∑x?)(∑y?)]/[n∑(x?2)-(∑x?)2]=[10*3280-60*550]/[10*410-602]=[32800-33000]/[4100-3600]=-200/500=-0.4β?=y?-β?x?=(550/10)-(-0.4)*(60/10)=55+2.4=57.4回歸方程為：Y?=57.4-0.4Xβ?=-0.4表示廣告投入X每增加一個(gè)單位，預(yù)計(jì)銷量Y將平均減少0.4件。4.解：H?:μ?=μ?=μ?(三種肥料產(chǎn)量無(wú)差異)H?:至少有兩種肥料產(chǎn)量有差異k=3(組數(shù)),n?=n?=n?=4(每組樣本量),n=12(總樣本量)總均值：GrandMean(GM)=(29+30+27+31+32+31+33+29+25+27+23+26)/12=324/12=27各組離差平方和：SSA=4[(29+30+27+31)/4-27]2+4[(32+31+33+29)/4-27]2+4[(25+27+23+26)/4-27]2=4[27.25-27]2+4[31.25-27]2+4[25.25-27]2=4(0.25)2+4(4.25)2+4(-1.75)2=4(0.0625)+4(18.0625)+4(3.0625)=0.25+72.25+12.25=84.75SSE=[(29-27.25)2+(30-27.25)2+(27-27.25)2+(31-27.25)2+(32-31.25)2+(31-31.25)2+(33-31.25)2+(29-31.25)2+(25-25.25)2+(27-25.25)2+(23-25.25)2+(26-25.25)2]=8.25+7.5625+0.5625+13.5625+0.0625+0.0625+3.0625+5.0625+0.0625+3.0625+5.0625+0.5625=48.5SST=SSA+SSE=84.75+48.5=133.25方差估計(jì)：MSB=SSA/(k-1)=84.75/2=42.375MSE=SSE/(n-k)=48.5/8=6.0625F=MSB/MSE=42.375/6.0625≈7.004α=0.05,k-1=2,n-k=8,查F分布表得F_(0.05,2,8)=4.46由于F=7.004>4.46,拒絕H?。結(jié)論：三種肥料的產(chǎn)量有顯著差異。5.解：(1)期望收益值法：E(投產(chǎn))=0.3*80+0.5*50+0.2*(-20)=24+25-4=45E(不投產(chǎn))=0.3*0+0.5*0+0.2*0=0由于E(投產(chǎn))>E(不投產(chǎn))，選擇投產(chǎn)方案。(2)不考慮后悔值法（使用后悔值矩陣）：后悔值矩陣=|80-8050-0-20-0||0-8031-3123-0||0-8050-3126-0|=|050-20||-80023||-801926|各行動(dòng)方案的最大后悔值：投產(chǎn)：max(0,50,26)=50不投產(chǎn)：max(-80,0,26)=26由于不投產(chǎn)方案的最大后悔值(26)<投產(chǎn)方案的最大后悔值(50)，選擇不投產(chǎn)方案。四、應(yīng)用題檢驗(yàn)方法：采用兩組獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等，或使用Satterthwaite校正公式處理不等方差情況）。關(guān)鍵統(tǒng)計(jì)量：1.計(jì)算兩組樣本均值（x??,x??）、樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s?,s?）和樣本量（n?,n?）。2.計(jì)算合并方差估計(jì)（s_p2）或使用兩組方差的加權(quán)平均。3.計(jì)算t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：t=(x??-x??)/sqrt[s_p2*(1/n?+1/n?)]或使用Satterthwaite公式計(jì)算自由度后計(jì)算t值。4.查t分布表，根據(jù)自由度（df）和顯著性水平α（如0.05）