四邊形中的對(duì)角互補(bǔ)模型1．（2025?寧陽(yáng)縣二模）在四邊形中，，對(duì)角線平分．（1）如圖1，若，且，試探究邊、與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，若將（1）中的條件“”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若，若，，求線段的長(zhǎng)和四邊形的面積．2．（2025春?分宜縣期末）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“完美四邊形”．（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）；（2）在“完美”四邊形中，，，連接．①如圖1，求證：平分；小明通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明平分想法一：通過(guò)，可延長(zhǎng)到，使，通過(guò)證明，從而可證平分；想法二：通過(guò)，可將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，可證，，三點(diǎn)在一條直線上，從而可證平分．請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明平分；②如圖2，當(dāng)，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

3．（2025秋?丹陽(yáng)市期末）四邊形若滿足，則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”．（1）四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且，則的度數(shù)為；（2）如圖1，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，，．求證：平分．小云同學(xué)是這么做的：延長(zhǎng)至，使得，連，可證明，得到是等腰直角三角形，由此證明出平分，還可以知道、、三者關(guān)系為：；（3）如圖2，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，試證明：①平分；②；（4）如圖3，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，則、、三者關(guān)系為：．

4．（2025秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們?cè)诘谝淮挝⒄n中聽取了劉老師與楊老師關(guān)于面積等分線練習(xí)的講評(píng)，小浩同學(xué)對(duì)此產(chǎn)生興趣，上網(wǎng)又查到了長(zhǎng)方形的一些性質(zhì)：長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等且互相平分，對(duì)角線所在的直線是其一條面積等分線．請(qǐng)你利用以上性質(zhì)，幫小浩解決下面問(wèn)題：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，已知長(zhǎng)方形，請(qǐng)畫出它的一條面積等分線（不經(jīng)過(guò)對(duì)角線）；問(wèn)題探究：（2）四邊形位于如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，其余頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，是四邊形的一條面積等分線，點(diǎn)在軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．問(wèn)題解決：（3）全民抗疫，西安加油！如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中（長(zhǎng)度單位為米），長(zhǎng)方形是西安某小區(qū)在疫情期間為居民核酸檢測(cè)圍成的一個(gè)工作區(qū)域，頂點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記頂點(diǎn)，原有的一個(gè)出入口在邊上，且米．為使工作高效有序，現(xiàn)計(jì)劃在邊，，上依次再設(shè)出入口，，，沿，拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面積相等的四部分．請(qǐng)問(wèn)，是否存在滿足上述條件的點(diǎn)，，，如存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的函數(shù)表達(dá)式，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

5．（2025?宜春一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．理解：（1）如圖1，點(diǎn)，，在上，的平分線交于點(diǎn)，連接，．求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形．探究：（2）如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．運(yùn)用：（3）如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．6．（2025?新賓縣模擬）在四邊形中，，，連接，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的猜想；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．（用含的代數(shù)式表示）

7．（2025秋?洪山區(qū)期中）四邊形若滿足，則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”．（1）如圖1，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，求的度數(shù)．小云同學(xué)是這么做的：延長(zhǎng)至，使得，連，可證明，通過(guò)判斷的形狀，可以得出結(jié)論．①在圖1中按要求完成作圖；②的形狀為；③；（2）如圖2，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，試證明：；（3）如圖3，等腰、等腰的頂角分別為、，點(diǎn)在線段上，且與互補(bǔ)．請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．8．（2024秋?漢陽(yáng)區(qū)期末）（1）探究：如圖1，在和都是等邊三角形，點(diǎn)在邊上．①求的度數(shù)；②直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且，求證：；（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的下方作等邊，求的最小值．

9．（2025?雨花區(qū)校級(jí)二模）在中，弦平分圓周角，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，且是的中點(diǎn)，的直徑是，求的長(zhǎng)．（3）是弦下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接和，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫出比值．10．（2024?寧波模擬）有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形．（1）如圖1，在等鄰邊互補(bǔ)四邊形中，，且，，求的度數(shù)；（2）如圖2，四邊形內(nèi)接于，連接交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），若是的中點(diǎn)，求證：四邊形是等鄰邊互補(bǔ)四邊形；（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)；（4）如圖3，四邊形內(nèi)接于，，為的直徑，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．

11．（2024?道里區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知：在四邊形中，，平分．（1）求證：；（2）如圖2，若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）得條件下，在上取一點(diǎn)，上取一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．12．（2024?信豐縣模擬）定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”如圖1，四邊形中，，（或，則四邊形叫做“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”．概念理解（1）在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形；一定是“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的是；（填寫序號(hào)）（2）如圖2，點(diǎn)、、是網(wǎng)格中格點(diǎn)，請(qǐng)找出兩個(gè)格點(diǎn)，，連接、，、畫出四邊形，，使四邊形，均為“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”．性質(zhì)證明（3）如圖1，四邊形中，，，連接，求證：平分．知識(shí)運(yùn)用（4）如圖3，在“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”中，滿足，，時(shí)，若，求四邊形的面積的最大值．

13．（2024?天臺(tái)縣模擬）定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形．（1）概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于奇異四邊形的有；（2）性質(zhì)探究：①如圖1，四邊形是奇異四邊形，，求證：平分；②如圖2，四邊形是奇異四邊形，，，試說(shuō)明：；（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，四邊形是奇異四邊形，四條邊中僅有，且四邊形的周長(zhǎng)為，，，求奇異四邊形的面積．14．（2024秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形中，連接對(duì)角線、，平分，，．（1）如圖1，求：的度數(shù)；（2）如圖1，求證：；（3）如圖2，在邊上取一點(diǎn)，邊上取一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，若，，，求的值．

15．（2025秋?莆田期末）如圖，點(diǎn)在第一象限的角平分線上，，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，①的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個(gè)定值．②請(qǐng)求出的最小值．16．（2025秋?武岡市期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形．（1）概念理解：①在互補(bǔ)四邊形中，與是一組對(duì)角，若，則；②如圖1，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，求證：四邊形是互補(bǔ)四邊形．（2）探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)，分別在邊，上，，四邊形是互補(bǔ)四邊形，求證：．

17．（2024?南崗區(qū)校級(jí)一模）已知：在正方形中，點(diǎn)是邊上點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，，作，交邊于點(diǎn)（圖．（1）求證：；（2）連接正方形的對(duì)角線，連接，線段與線段相交于點(diǎn)（圖，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，連接線段與線段相交于點(diǎn)，（圖若．的周長(zhǎng)為24，求的長(zhǎng)．18．（2025?襄城區(qū)模擬）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．【問(wèn)題理解】如圖1，點(diǎn)、、在上，的平分線交于點(diǎn)，連接、．求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形；【拓展探究】如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由；【升華運(yùn)用】如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．

19．（2025春?通山縣期末）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．理解：（1）在你所學(xué)過(guò)四邊形中，滿足等補(bǔ)四邊形定義的四邊形是；畫圖：（2）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上（小正方形的頂點(diǎn)），請(qǐng)你畫出1個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為邊的等補(bǔ)四邊形；探究：（3）如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（2024秋?通州區(qū)期中）如圖，在等邊中，作，邊、交于點(diǎn)，連接．（1）請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；（2）求的度數(shù)；（3）用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

1．（2025?寧陽(yáng)縣二模）在四邊形中，，對(duì)角線平分．（1）如圖1，若，且，試探究邊、與對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，若將（1）中的條件“”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若，若，，求線段的長(zhǎng)和四邊形的面積．【分析】（1）先證得出，再求的度數(shù)，得出，進(jìn)而求出；（2）先畫輔助線：以為頂點(diǎn)，為一邊作，的另一邊交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作出輔助線后證明為等邊三角形，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為和，求出，進(jìn)而證明，得出，最后得出；（3）先證為等腰直角三角形，再證明得出，進(jìn)而求出，求四邊形的面積可以轉(zhuǎn)化為求的面積．【解答】解：（1），，，對(duì)角線平分，，，，，，，，，，．故答案為：．（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：，以為頂點(diǎn)，為一邊作，的另一邊交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由（1）可得：，，，，為等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，．（3）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，對(duì)角線平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中：，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四邊形的知識(shí)、全等三角形的知識(shí)、勾股定理的知識(shí)、等腰直角三角形的知識(shí)，有一定的難度．2．（2025春?分宜縣期末）我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“完美四邊形”．（1）在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是④（請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào)）；（2）在“完美”四邊形中，，，連接．①如圖1，求證：平分；小明通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明平分想法一：通過(guò)，可延長(zhǎng)到，使，通過(guò)證明，從而可證平分；想法二：通過(guò)，可將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，可證，，三點(diǎn)在一條直線上，從而可證平分．請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明平分；②如圖2，當(dāng)，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）由“完美四邊形”定義可求解；（2）①想法一：由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；想法二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，可證點(diǎn)，，在一條直線上，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②延長(zhǎng)使，連接，由①可得為等腰三角形，由，可證為等腰直角三角形，即可得解．【解答】解：（1）由“完美四邊形”的定義可得正方形是“完美四邊形”．故答案為：④（2）①想法一：延長(zhǎng)使，連接，，，，．．即平分；想法二：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊與邊重合，得到，．；；．，．點(diǎn)，，在一條直線上．，即平分②理由如下：延長(zhǎng)使，連接，由①得為等腰三角形．，，．．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．3．（2025秋?丹陽(yáng)市期末）四邊形若滿足，則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”．（1）四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且，則的度數(shù)為；（2）如圖1，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，，．求證：平分．小云同學(xué)是這么做的：延長(zhǎng)至，使得，連，可證明，得到是等腰直角三角形，由此證明出平分，還可以知道、、三者關(guān)系為：；（3）如圖2，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，試證明：①平分；②；（4）如圖3，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，則、、三者關(guān)系為：．【分析】（1）根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)，求解即可；（2）由題意可得，，，即可得；（3）①延長(zhǎng)至，使，連接，證明，可確定是等邊三角形，在求出，即可證明；②由①直接可證明；（4）延長(zhǎng)至，使，連接，證明，結(jié)合已知可求，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則有，，再由即可求解．【解答】解：（1）四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，，，，，，故答案為：；（2），，，是等腰直角三角形，，，，故答案為：；（3）①延長(zhǎng)至，使，連接，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，平分；②，，，；（4）延長(zhǎng)至，使，連接，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，，，，，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，在中，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2025秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）同學(xué)們?cè)诘谝淮挝⒄n中聽取了劉老師與楊老師關(guān)于面積等分線練習(xí)的講評(píng)，小浩同學(xué)對(duì)此產(chǎn)生興趣，上網(wǎng)又查到了長(zhǎng)方形的一些性質(zhì)：長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等且互相平分，對(duì)角線所在的直線是其一條面積等分線．請(qǐng)你利用以上性質(zhì)，幫小浩解決下面問(wèn)題：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，已知長(zhǎng)方形，請(qǐng)畫出它的一條面積等分線（不經(jīng)過(guò)對(duì)角線）；問(wèn)題探究：（2）四邊形位于如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，其余頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，是四邊形的一條面積等分線，點(diǎn)在軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．問(wèn)題解決：（3）全民抗疫，西安加油！如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中（長(zhǎng)度單位為米），長(zhǎng)方形是西安某小區(qū)在疫情期間為居民核酸檢測(cè)圍成的一個(gè)工作區(qū)域，頂點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記頂點(diǎn)，原有的一個(gè)出入口在邊上，且米．為使工作高效有序，現(xiàn)計(jì)劃在邊，，上依次再設(shè)出入口，，，沿，拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面積相等的四部分．請(qǐng)問(wèn)，是否存在滿足上述條件的點(diǎn)，，，如存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的函數(shù)表達(dá)式，如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）找出圖形的中點(diǎn)，即可畫出一條面積等分線；（2）幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，分清矩形的性質(zhì)，面積的等分線，梯形的性質(zhì)等知識(shí)，逐一分析坐標(biāo)后，找到一條面積等分線，列式計(jì)算，即可解決問(wèn)題；（3）利用圖形的設(shè)計(jì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，即可解決問(wèn)題．【解答】解（1）如圖①：過(guò)點(diǎn)作，分別交、于、，點(diǎn)為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)為、的中點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)分別是、的中點(diǎn)，長(zhǎng)方形的面積長(zhǎng)方形的面積，為長(zhǎng)方形的一條面積等分線．（2）如圖②：過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，，，，，，且，與有交點(diǎn)，并假設(shè)該交點(diǎn)為，是四邊形的一條面積等分線，，即，，點(diǎn)在上，，又，，，，，直線的方程為：，令，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）如圖3：在上取，連接，則，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則是梯形的中位線，（米，（米，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于長(zhǎng)方形被分成四塊面積相等的部分，每塊面積為：（平方米），又（平方米），在點(diǎn)的下方取一點(diǎn)，使（平方米），由得：（米，（米，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接并延長(zhǎng)交于，則、、、為所求作的點(diǎn)，設(shè)的解析式為：，則，，解得：，，．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了圖形的設(shè)計(jì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，面積的等分線，梯形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用面積確定點(diǎn)的位置．5．（2025?宜春一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形．理解：（1）如圖1，點(diǎn)，，在上，的平分線交于點(diǎn)，連接，．求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形．探究：（2）如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．運(yùn)用：（3）如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知，，再證，即可根據(jù)等補(bǔ)四邊形的定義得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證，得到，根據(jù)角平分線的判定可得出結(jié)論；（3）連接，先證，推出，再證，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可求出的長(zhǎng)．【解答】解：（1）證明：四邊形為圓內(nèi)接四邊形，，，平分，，弧弧，，四邊形是等補(bǔ)四邊形；（2）平分，理由如下：過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖：則，四邊形是等補(bǔ)四邊形，，又，，，，，是的平分線，即平分；（3）連接，如圖：四邊形是等補(bǔ)四邊形，，又，，平分，，由（2）知，平分，，，又，，，，，，解得舍去），．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義等補(bǔ)四邊形，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是要能夠通過(guò)自主學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行探究，運(yùn)用等．6．（2025?新賓縣模擬）在四邊形中，，，連接，．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；并證明你的猜想；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．（用含的代數(shù)式表示）【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，利用證明，得，，，再證明是等邊三角形，可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到，使，連接，與（1）同理得，是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）延長(zhǎng)到，使，連接，與（1）同理得，過(guò)點(diǎn)作于，得，，從而解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，，，，在與中，，，，，，，是等邊三角形，，故答案為：；（2），理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，；（3），理由如下：如圖，延長(zhǎng)到，使，連接，，，，，在與中，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握對(duì)角互補(bǔ)模型是解題的關(guān)鍵．7．（2025秋?洪山區(qū)期中）四邊形若滿足，則我們稱該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”．（1）如圖1，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，求的度數(shù)．小云同學(xué)是這么做的：延長(zhǎng)至，使得，連，可證明，通過(guò)判斷的形狀，可以得出結(jié)論．①在圖1中按要求完成作圖；②的形狀為等腰直角三角形；③；（2）如圖2，四邊形為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿足，，試證明：；（3）如圖3，等腰、等腰的頂角分別為、，點(diǎn)在線段上，且與互補(bǔ)．請(qǐng)你判斷與的數(shù)量關(guān)系并證明．【分析】（1）①按題意畫出圖形即可；②延長(zhǎng)至，使得，連，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，可得出，則可得出答案；③由等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）延長(zhǎng)至，使得，連，證明，得出，，證明為等邊三角形，則可得出答案；（3）延長(zhǎng)至，使得，連，，證明，得出，則，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，得出，則可得出答案．【解答】（1）解：①如圖1，②如圖1，延長(zhǎng)至，使得，連，，，，，，，，，．即，為等腰直角三角形；故答案為：等腰直角三角形；③為等腰直角三角形，．故答案為：；（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)至，使得，連，，，，，，，，，為等邊三角形，．（3）．理由如下：證明：如圖3，延長(zhǎng)至，使得，連，，則，又，，，，又，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．8．（2024秋?漢陽(yáng)區(qū)期末）（1）探究：如圖1，在和都是等邊三角形，點(diǎn)在邊上．①求的度數(shù)；②直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，，是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且，求證：；（3）拓展；如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的下方作等邊，求的最小值．【分析】（1）①證明，可得結(jié)論：；②由，得，利用等邊三角形的等量代換可得結(jié)論；（2）把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，到．連接、，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，推出，，在同一條直線上．得到為正三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到，等量代換即可得到結(jié)論；（3）以為對(duì)稱軸作等邊，連接，并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．證明點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短解答．【解答】解：（1）①和均為等邊三角形，，，，，即，，，；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為：；理由是：由①得：，，，；（2）如圖2，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，到．連接、，，為正三角形，，，又，，則，，在同一條直線上．，，為正三角形，，，，即，，，在中，，即；（3）如圖3，以為對(duì)稱軸作等邊，連接，并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．在與中，，，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，最小，則的最小值為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2025?雨花區(qū)校級(jí)二模）在中，弦平分圓周角，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，且是的中點(diǎn)，的直徑是，求的長(zhǎng)．（3）是弦下方圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接和，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的比值是否改變，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫出比值．【分析】（1）利用垂徑定理即可證得結(jié)論；（2）構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求出線段長(zhǎng)度即可求解；（3）利用相似三角形，直角三角形，找到角之間的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系進(jìn)行求解．【解答】證明：（1）如圖1，連接交于點(diǎn)，連接，，，平分，，，，，，，，是的切線．解：（2）如圖2，連接，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，設(shè)，，的直徑是，，，，解得：，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，．（3）解法一：如圖3，延長(zhǎng)至使得，連接，，連接，，連接交于點(diǎn)，連接，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，是的切線，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，，，，，，，，，，．解法二：如圖4，在上截取，連接，，，，弦平分圓周角，，，，，，，，為的中線，，，，．解法三：如圖：連接，，，，將沿翻折得到△，，，，，由翻折得△，，，，，，三點(diǎn)共線，，，，又，，，比值不變，恒為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，圓內(nèi)接四邊形，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，難度較大，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，屬于中考?jí)狠S題．10．（2024?寧波模擬）有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形．（1）如圖1，在等鄰邊互補(bǔ)四邊形中，，且，，求的度數(shù)；（2）如圖2，四邊形內(nèi)接于，連接交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），若是的中點(diǎn)，求證：四邊形是等鄰邊互補(bǔ)四邊形；（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)；（4）如圖3，四邊形內(nèi)接于，，為的直徑，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）如圖1中，作交于．想辦法證明是等邊三角形即可．（2）證明，即可．（3）如圖中，連接，，，，作于，于．解直角三角形求出，，，證明點(diǎn)是的內(nèi)心，求出即可解決問(wèn)題．（4）如圖3中，連接，作于，于，設(shè)交于．由，推出，設(shè)，，，則，，想辦法求出的值即可解決問(wèn)題．【解答】（1）解：如圖1中，作交于．，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，是等邊三角形，．（2）證明：如圖2中，連接．是的內(nèi)接四邊形，，，，，四邊形是等鄰邊互補(bǔ)四邊形．（3）解：如圖中，連接，，，，作于，于．，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的內(nèi)心，，設(shè)，，，，．（4）解：如圖3中，連接，作于，于，設(shè)交于．是直徑，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，則，，在中，，，，，整理得：，，．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．11．（2024?道里區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知：在四邊形中，，平分．（1）求證：；（2）如圖2，若，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在（2）得條件下，在上取一點(diǎn)，上取一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．【分析】（1）作于點(diǎn)，作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，知，由角平分線的性質(zhì)知，結(jié)合得，據(jù)此證可得答案；（2）由，平分知，根據(jù)得，結(jié)合可得答案；（3）作于，于，交的延長(zhǎng)線于．先求出，，，，再證得，設(shè)，表示出，，，，在中根據(jù)勾股定理求解可得答案．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，平分，，又，，在和中，，，；（2）如圖2，連接，，平分，，，，又，是等邊三角形；（3）如圖3，作于，于，交的延長(zhǎng)線于．在中，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，在中，，解得或，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，不符合題意，舍去；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查是四邊形綜合問(wèn)題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．12．（2024?信豐縣模擬）定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”如圖1，四邊形中，，（或，則四邊形叫做“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”．概念理解（1）在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形；一定是“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的是④；（填寫序號(hào)）（2）如圖2，點(diǎn)、、是網(wǎng)格中格點(diǎn)，請(qǐng)找出兩個(gè)格點(diǎn)，，連接、，、畫出四邊形，，使四邊形，均為“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”．性質(zhì)證明（3）如圖1，四邊形中，，，連接，求證：平分．知識(shí)運(yùn)用（4）如圖3，在“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”中，滿足，，時(shí)，若，求四邊形的面積的最大值．【分析】（1）根據(jù)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義即可判斷．（2）如圖作的外接圓，圖中點(diǎn)，即為所求（答案不唯一，在直線的右側(cè)圓上的格點(diǎn)，即可滿足條件）．（3）如圖1中，連接，．證明，，，四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理即可解決問(wèn)題．（4）如圖3中，延長(zhǎng)到，使得，連接，，作于，于，作于．設(shè)．構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）根據(jù)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，正方形一定是“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”．故答案為：④．（2）如圖2中，作的外接圓，圖中點(diǎn)，即為所求（答案不唯一）（3）如圖1中，連接，．，，，，四點(diǎn)共圓，，，，平分．（4）如圖3中，延長(zhǎng)到，使得，連接，，作于，于，作于．設(shè)．，，，，，是等邊三角形，，，由（2）可知．平分，，，，，，，，，，，，，時(shí)，有最大值，最大值，【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．13．（2024?天臺(tái)縣模擬）定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形稱為奇異四邊形．（1）概念理解：在平行四邊形、菱形、矩形、正方形中，你認(rèn)為屬于奇異四邊形的有正方形；（2）性質(zhì)探究：①如圖1，四邊形是奇異四邊形，，求證：平分；②如圖2，四邊形是奇異四邊形，，，試說(shuō)明：；（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，四邊形是奇異四邊形，四條邊中僅有，且四邊形的周長(zhǎng)為，，，求奇異四邊形的面積．【分析】（1）根據(jù)奇異四邊形的定義即可判斷；（2）①過(guò)點(diǎn)作于，于．只要證明，推出，再根據(jù)角平分線的判定定理即可解決問(wèn)題；②利用①中結(jié)論，解直角三角形即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)，求出，即可解決問(wèn)題；【解答】解：（1）根據(jù)奇異四邊形的定義可知：正方形是奇異四邊形，故答案為正方形．（2）①過(guò)點(diǎn)作于，于．，，，，，，，于，于，平分．②由①可知：，，，在中，．（3）如圖3中，由（2）可知：，，四邊形的周長(zhǎng)為，，，，四邊形是奇異四邊形，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、角平分線的判定定理、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．14．（2024秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形中，連接對(duì)角線、，平分，，．（1）如圖1，求：的度數(shù)；（2）如圖1，求證：；（3）如圖2，在邊上取一點(diǎn)，邊上取一點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接，若，，，求的值．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖1中，作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．想辦法證明即可；（3）如圖2中，作于，于，交的延長(zhǎng)線于．想辦法求出，即可解決問(wèn)題；【解答】（1）解：如圖1中，，，，，，．（2）證明：如圖1中，作于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．平分，，，，，，，，，．（3）解：如圖2中，作于，于，交的延長(zhǎng)線于．在中，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，在中，，解得或8（舍棄），，，，，，，，在中，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．15．（2025秋?莆田期末）如圖，點(diǎn)在第一象限的角平分線上，，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，①的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個(gè)定值．②請(qǐng)求出的最小值．【分析】（1）由題意知，，即可解決問(wèn)題；（2）①過(guò)點(diǎn)作軸于，于．利用證明，得，從而得出；②連接，由勾股定理得，則，當(dāng)最小時(shí)，也最?。鶕?jù)垂線段最短，從而得出答案．【解答】解：（1）點(diǎn)在第一象限的角平分線上，，，；（2）①不變．過(guò)點(diǎn)作軸于，于．，，四邊形是正方形，，．在和中，，，，，②連接，，，，，，當(dāng)最小時(shí)，也最?。鶕?jù)垂線段最短原理，最小值為2，的最小值為8．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何變換綜合題，主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，屬于中考?？碱}型．16．（2025秋?武岡市期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做互補(bǔ)四邊形．（1）概念理解：①在互補(bǔ)四邊形中，與是一組對(duì)角，若，則90；②如圖1，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，且，求證：四邊形是互補(bǔ)四邊形．（2）探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)，分別在邊，上，，四邊形是互補(bǔ)四邊形，求證：．【分析】（1）①由題意知，，，，再利用四邊形內(nèi)角和為，可得方程；②利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等，可證，得，從而得出，即可證明結(jié)論；（2）首先利用證明，得，則可知，再根據(jù)四邊形是互補(bǔ)四邊形，得，可知，從而證明結(jié)論．【解答】（1）①解：四邊形是互補(bǔ)四邊形，與是一組對(duì)角，，，，，，，，故答案為：90；②證明：，，又，，，，四邊形是互補(bǔ)四邊形；（2）證明：，，，在和中，，，，，，，四邊形是互補(bǔ)四邊形，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，互補(bǔ)四邊形的定義，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握互補(bǔ)四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2024?南崗區(qū)校級(jí)一模）已知：在正方形中，點(diǎn)是邊上點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，連接，，作，交邊于點(diǎn)（圖．（1）求證：；（2）連接正方形的對(duì)角線，連接，線段與線段相交于點(diǎn)（圖，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；（3）在（2）的條件下，連接線段與線段相交于點(diǎn)，（圖若．的周長(zhǎng)為24，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接，作，垂足．先利用證明，得出，再利用證明，得出，進(jìn)而可證明；（2）連接、．先由，得出、、、四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到，由勾股定理得出，再根據(jù)，由三角形的面積公式整理后可得出；（3）先由的周長(zhǎng)為24，結(jié)合（1）的結(jié)論求出正方形的邊長(zhǎng)為12，則，再由（2）的結(jié)論得出．然后根據(jù)，得到，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出，求出，進(jìn)而得到．【解答】（1）證明：連接，作，垂足．，，，，，，是等腰三角形，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，；（2）解：連接、．由（1）知，，，，，，，，、、、四點(diǎn)共圓，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，；（3）解：的周長(zhǎng)為24，，由（1）知，，，，即正方形的邊長(zhǎng)為12，．由（2）知，，，，．，，，，．【點(diǎn)