專科高數(shù)補考試題及答案

一、單項選擇題（共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\neq2\)C.\(x\gt1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)答案：C2.當\(x\to0\)時，與\(x\)等價的無窮小是（）A.\(\sin2x\)B.\(1-\cosx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^x-1\)答案：C3.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)是\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)的（）A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件答案：B4.設(shè)\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f^\prime(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(2\)D.\(1\)答案：C5.\(\int\frac{1}{x^2}dx\)=（）A.\(\frac{1}{x}+C\)B.\(-\frac{1}{x}+C\)C.\(\frac{2}{x^3}+C\)D.\(-\frac{2}{x^3}+C\)答案：B6.已知函數(shù)\(z=xy\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(x\)B.\(y\)C.\(xy\)D.\(1\)答案：B7.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的正項級數(shù)B.發(fā)散的正項級數(shù)C.收斂的交錯級數(shù)D.發(fā)散的交錯級數(shù)答案：B8.微分方程\(y^\prime=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=x^2+C\)C.\(y=2x^2+C\)D.\(y=2x+C\)答案：B9.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(A+B=O\)D.\(|A|+|B|=0\)答案：B10.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)D.\(\alpha_1+\alpha_2,2\alpha_2+\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1\)答案：C二、多項選擇題（共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)答案：ABD2.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x}\)答案：AB3.函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處可微的充分條件有（）A.\(f(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)B.\(f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)C.\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.\(f^\prime(x)\)在點\(x_0\)處連續(xù)答案：BD4.下列積分計算正確的是（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)B.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)C.\(\int_{0}^{\pi}\sinxdx=0\)D.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)答案：ABD5.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，下列說法正確的是（）A.若\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)在點\((x_0,y_0)\)處存在，則\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)在點\((x_0,y_0)\)處存在C.若\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微，則\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)D.若\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)，則\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微答案：BCD6.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)答案：ABD7.下列關(guān)于微分方程的說法正確的是（）A.一階線性齊次微分方程\(y^\prime+P(x)y=0\)的通解為\(y=Ce^{-\intP(x)dx}\)B.二階常系數(shù)齊次線性微分方程\(y^{\prime\prime}+py^\prime+qy=0\)，當特征方程\(r^2+pr+q=0\)有兩個不同實根\(r_1,r_2\)時，通解為\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\)C.微分方程的特解一定是唯一的D.求微分方程的通解時，要先求出其對應(yīng)的齊次方程的通解，再找出一個非齊次方程的特解答案：ABD8.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，下列運算正確的是（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)C.\((kA)^T=kA^T\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\)答案：AC9.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關(guān)的充分必要條件是（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)B.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中至少有一個向量能由其余向量線性表示C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)的秩小于\(s\)D.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)中任意一個向量都能由其余向量線性表示答案：ABC10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\xi\)是對應(yīng)的特征向量，則（）A.\(A\xi=\lambda\xi\)B.\((A-\lambdaE)\xi=0\)C.\(|\lambdaE-A|=0\)D.\(\lambda\)一定是實數(shù)答案：ABC三、判斷題（共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處沒有定義，所以\(\lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}\)不存在。（×）2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（√）3.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)。（√）4.對于二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)，\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)與\(\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)一定相等。（×）5.正項級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列\(zhòng)(\{S_n\}\)有界。（√）6.微分方程\(y^{\prime\prime}+y=0\)的通解是\(y=C_1\cosx+C_2\sinx\)。（√）7.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=BA\)，則\((AB)^n=A^nB^n\)。（√）8.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)中，若\(\alpha_1\)與\(\alpha_2\)線性相關(guān)，\(\alpha_2\)與\(\alpha_3\)線性相關(guān)，則\(\alpha_1\)與\(\alpha_3\)線性相關(guān)。（×）9.\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)。（√）10.若\(\lambda\)是方陣\(A\)的一個特征值，則\(\lambda^2\)是\(A^2\)的一個特征值。（√）四、簡答題（共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答案：先對函數(shù)求導(dǎo)，\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=0\)和\(x=2\)。當\(x\lt0\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；當\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增。所以\(x=0\)時取極大值\(y(0)=1\)；\(x=2\)時取極小值\(y(2)=-3\)。2.計算\(\intxe^xdx\)。答案：利用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。3.設(shè)\(z=\ln(x^2+y^2)\)，求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。答案：求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)時，把\(y\)看作常數(shù)，對\(x\)求導(dǎo)。\(z=\ln(x^2+y^2)\)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}\)。求\(\frac{\partialz}{\partialy}\)時，把\(x\)看作常數(shù)，對\(y\)求導(dǎo)，可得\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2}\)。4.已知向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,t)\)，問\(t\)為何值時，向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)？答案：以\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)為列向量構(gòu)成矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\)，對\(A\)進行初等行變換，\(A\)~\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}\)~\(\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}\)。當\(t=5\)時，矩陣\(A\)的秩\(r(A)=