抽象代數(shù)的考試題及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.以下哪個(gè)選項(xiàng)是群的公理之一？A.封閉性B.交換律C.消去律D.以上都是答案：D2.群G的一個(gè)子集H是G的一個(gè)正規(guī)子群，當(dāng)且僅當(dāng)：A.對(duì)于所有g(shù)∈G和h∈H，有g(shù)hg^-1∈HB.H是G的子群C.H是G的真子群D.H是G的平凡子群答案：A3.以下哪個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)不是環(huán)？A.整數(shù)集B.有理數(shù)集C.復(fù)數(shù)集D.所有實(shí)數(shù)的集合，只有加法運(yùn)算答案：D4.以下哪個(gè)是域的公理之一？A.存在單位元B.存在乘法逆元C.存在加法逆元D.以上都是答案：D5.以下哪個(gè)是理想的定義？A.環(huán)R的一個(gè)加法子群B.環(huán)R的一個(gè)正規(guī)子群C.環(huán)R的一個(gè)子集，滿足對(duì)于所有r∈R和a∈I，ra和ar都在I中D.以上都是答案：C6.以下哪個(gè)是商環(huán)的定義？A.環(huán)R除以理想I的集合B.環(huán)R除以正規(guī)子群I的集合C.環(huán)R除以子群I的集合D.以上都是答案：A7.以下哪個(gè)是同態(tài)的定義？A.兩個(gè)群之間的雙射函數(shù)B.兩個(gè)環(huán)之間的雙射函數(shù)C.兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的函數(shù)，保持結(jié)構(gòu)D.以上都是答案：C8.以下哪個(gè)是同構(gòu)的定義？A.兩個(gè)群之間的同態(tài)B.兩個(gè)環(huán)之間的同態(tài)C.兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的雙射同態(tài)D.以上都是答案：C9.以下哪個(gè)是直積的定義？A.兩個(gè)群的笛卡爾積B.兩個(gè)環(huán)的笛卡爾積C.兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)的笛卡爾積，滿足特定的運(yùn)算規(guī)則D.以上都是答案：C10.以下哪個(gè)是自由群的定義？A.由單個(gè)元素生成的群B.由有限個(gè)元素生成的群C.由無(wú)限個(gè)元素生成的群D.以上都是答案：A二、填空題（每題2分，共20分）1.群G的階是群中元素的______。答案：數(shù)量2.群G的元素g的階是最小的正整數(shù)n，使得g^n=______。答案：?jiǎn)挝辉?.如果群G的每個(gè)元素都有有限階，則稱G為一個(gè)______群。答案：有限4.環(huán)R的零因子是指非零元素a，使得存在非零元素b∈R，使得ab=______。答案：零元素5.環(huán)R的理想I是R的正規(guī)子群，如果對(duì)于所有r∈R和a∈I，有ra和ar都在I中，則稱I為R的一個(gè)______。答案：雙邊理想6.如果環(huán)R的每個(gè)非零元素都有乘法逆元，則稱R為一個(gè)______。答案：除環(huán)7.域F的特征是指最小的正整數(shù)n，使得n?1_F=______。答案：零元素8.環(huán)R的同態(tài)φ:R→S是一個(gè)保持環(huán)運(yùn)算的函數(shù)，即對(duì)于所有a,b∈R，有φ(a+b)=φ(a)+φ(b)，φ(ab)=φ(a)φ(b)，并且φ(1_R)=______。答案：1_S9.如果環(huán)R的同態(tài)φ:R→S是雙射，則稱φ為一個(gè)______。答案：同構(gòu)10.群G的直積G×H是由所有有序?qū)?g,h)組成的集合，其中g(shù)∈G，h∈H，并且運(yùn)算定義為(g1,h1)⊕(g2,h2)=(g1g2,h1h2)，其中⊕是G×H中的______運(yùn)算。答案：群三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共40分）1.解釋群的交換律，并給出一個(gè)非交換群的例子。答案：群的交換律是指對(duì)于群G中的任意兩個(gè)元素a和b，都有ab=ba。這意味著群中的運(yùn)算是可交換的。一個(gè)非交換群的例子是對(duì)稱群S3，它由所有三個(gè)元素的排列組成，其中兩個(gè)排列的乘積（即先執(zhí)行一個(gè)排列再執(zhí)行另一個(gè)排列）通常不等于這兩個(gè)排列的逆序乘積。2.描述環(huán)和域的區(qū)別。答案：環(huán)是一個(gè)集合，配備了兩個(gè)二元運(yùn)算，加法和乘法，滿足一定的公理，包括加法和乘法的封閉性、結(jié)合律、加法單位元和加法逆元的存在，以及乘法對(duì)加法的分配律。域是一個(gè)特殊的環(huán)，其中每個(gè)非零元素都有乘法逆元，并且乘法滿足交換律。簡(jiǎn)而言之，域是具有乘法逆元的交換環(huán)。3.什么是理想，并且它在環(huán)論中的重要性是什么？答案：理想是環(huán)R的一個(gè)特殊子集，它在加法下封閉，并且對(duì)于環(huán)R中的任何元素r和理想I中的任何元素a，ra和ar都在I中。理想在環(huán)論中的重要性在于它們?cè)试S我們研究環(huán)的商結(jié)構(gòu)，即商環(huán)，這類似于整數(shù)模n的算術(shù)，商環(huán)提供了研究環(huán)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的強(qiáng)大工具。4.解釋同構(gòu)和同態(tài)的區(qū)別，并給出一個(gè)同構(gòu)的例子。答案：同態(tài)是兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的函數(shù)，它保持了這些結(jié)構(gòu)的運(yùn)算。例如，如果φ:R→S是兩個(gè)環(huán)之間的同態(tài)，則對(duì)于所有a,b∈R，有φ(a+b)=φ(a)+φ(b)和φ(ab)=φ(a)φ(b)。同構(gòu)是一種特殊的同態(tài)，它還是雙射，意味著它既是單射（一一對(duì)應(yīng)）又是滿射（覆蓋）。一個(gè)同構(gòu)的例子是復(fù)數(shù)域?和實(shí)數(shù)域R^2之間的同構(gòu)，其中每個(gè)復(fù)數(shù)a+bi對(duì)應(yīng)于有序?qū)?a,b)，加法和乘法運(yùn)算在這種對(duì)應(yīng)下被保持。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明如果G是一個(gè)群，H是G的一個(gè)正規(guī)子群，那么商群G/H是一個(gè)群。答案：要證明G/H是一個(gè)群，我們需要驗(yàn)證群的公理：-封閉性：對(duì)于任意兩個(gè)陪集g1H和g2H，它們的乘積(g1H)(g2H)=g1g2H是H的陪集，因此封閉。-結(jié)合律：對(duì)于任意三個(gè)陪集g1H,g2H,g3H，我們有(g1H)((g2H)(g3H))=(g1H)(g2g3H)=(g1g2g3)H=(g1g2H)(g3H)。-單位元：G的單位元e的陪集eH作為G/H的單位元。-逆元：對(duì)于任意陪集gH，其逆元是g^-1H，因?yàn)?gH)(g^-1H)=gg^-1H=eH。由于所有群的公理都滿足，G/H是一個(gè)群。2.證明如果φ:R→S是一個(gè)環(huán)同態(tài)，并且φ是單射，那么φ是注入的。答案：?jiǎn)紊湟馕吨諏的不同元素映