海南數(shù)學(xué)競賽試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若函數(shù)\(y=\sqrt{x-3}\)有意義，則\(x\)的取值范圍是（）A.\(x\gt3\)B.\(x\geq3\)C.\(x\lt3\)D.\(x\leq3\)答案：B2.一元二次方程\(x^{2}-5x+6=0\)的兩個(gè)根分別是（）A.\(2\)，\(-3\)B.\(-2\)，\(-3\)C.\(2\)，\(3\)D.\(-2\)，\(3\)答案：C3.一個(gè)圓錐的底面半徑為\(3\)，母線長為\(5\)，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A.\(15\pi\)B.\(20\pi\)C.\(24\pi\)D.\(30\pi\)答案：A4.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(P(-2,3)\)關(guān)于\(y\)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.\((2,3)\)B.\((2,-3)\)C.\((-2,-3)\)D.\((-2,3)\)答案：A5.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((0,-2)\)，且\(y\)隨\(x\)的增大而增大，則該一次函數(shù)的表達(dá)式可以是（）A.\(y=-2x-2\)B.\(y=3x-2\)C.\(y=-x+2\)D.\(y=-3x+2\)答案：B6.若\(\odotO\)的半徑為\(5\)，點(diǎn)\(O\)到直線\(l\)的距離為\(3\)，則直線\(l\)與\(\odotO\)的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交D.無法確定答案：C7.數(shù)據(jù)\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)的中位數(shù)是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)答案：B8.化簡\(\frac{a^{2}-1}{a}\div(1+\frac{1}{a})\)的結(jié)果是（）A.\(a+1\)B.\(a-1\)C.\(a\)D.\(a^{2}\)答案：B9.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，則\(\frac{DE}{BC}\)的值為（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{9}\)答案：B10.二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(a\lt0\)B.\(b\lt0\)C.\(c\lt0\)D.\(b^{2}-4ac\lt0\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^{2}\cdota^{3}=a^{5}\)B.\((a^{2})^{3}=a^{6}\)C.\(a^{6}\diva^{2}=a^{3}\)D.\((ab)^{3}=a^{3}b^{3}\)答案：ABD2.下列圖形中，是中心對稱圖形的有（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形答案：ABCD3.以下說法正確的是（）A.三角形的內(nèi)角和是\(180^{\circ}\)B.直角三角形的兩個(gè)銳角互余C.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和D.三角形的外角大于任何一個(gè)內(nèi)角答案：ABC4.若反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((-1,2)\)，則下列說法正確的是（）A.\(k=-2\)B.函數(shù)圖象分布在第二、四象限C.當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大D.當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小答案：ABC5.下列數(shù)據(jù)能作為直角三角形三邊長的是（）A.\(3\)，\(4\)，\(5\)B.\(5\)，\(12\)，\(13\)C.\(7\)，\(24\)，\(25\)D.\(8\)，\(15\)，\(17\)答案：ABCD6.關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}-2x+m=0\)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則\(m\)的值可以是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：AC7.如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，下列結(jié)論正確的是（）A.\(AB=CD\)B.\(AD=BC\)C.\(AC=BD\)D.\(OA=OC\)，\(OB=OD\)答案：ABD8.已知點(diǎn)\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)在一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的圖象上，若\(x_{1}\ltx_{2}\)，\(y_{1}\gty_{2}\)，則\(k\)的值可能是（）A.\(-2\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(1\)答案：AB9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體可能是（）A.三棱柱B.四棱柱C.圓柱D.圓錐答案：AB10.下列因式分解正確的是（）A.\(x^{2}-4=(x+2)(x-2)\)B.\(x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}\)C.\(x^{2}+3x=x(x+3)\)D.\(2x^{2}-4x=2x(x-2)\)答案：ABCD三、判斷題1.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。（）答案：√2.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）答案：×（當(dāng)\(c=0\)時(shí)，\(ac^{2}=bc^{2}=0\)）3.對角線相等的四邊形是矩形。（）答案：×（對角線相等且互相平分的四邊形才是矩形）4.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)中，自變量\(x\)的取值范圍是\(x\neq1\)。（）答案：√5.相似三角形的周長比等于相似比。（）答案：√6.正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都是\(120^{\circ}\)。（）答案：√7.若\(x^{2}+2x+m\)是完全平方式，則\(m=1\)。（）答案：√8.概率為\(0\)的事件是不可能事件。（）答案：√9.二次函數(shù)\(y=2(x-3)^{2}+4\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是\((3,4)\)。（）答案：√10.三角形的重心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)。（）答案：×（三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)）四、簡答題1.先化簡，再求值：\((x+1)^{2}-x(x+2)\)，其中\(zhòng)(x=3\)。答案：先化簡\((x+1)^{2}-x(x+2)\)，\((x+1)^{2}=x^{2}+2x+1\)，\(x(x+2)=x^{2}+2x\)，則原式\(=x^{2}+2x+1-(x^{2}+2x)=x^{2}+2x+1-x^{2}-2x=1\)。當(dāng)\(x=3\)時(shí)，值為\(1\)。2.解方程：\(\frac{1}{x-2}+\frac{3}{2-x}=1\)。答案：原方程\(\frac{1}{x-2}+\frac{3}{2-x}=1\)可變形為\(\frac{1}{x-2}-\frac{3}{x-2}=1\)，方程兩邊同乘\((x-2)\)得\(1-3=x-2\)，即\(-2=x-2\)，解得\(x=0\)。檢驗(yàn)：當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(x-2=0-2=-2\neq0\)，所以\(x=0\)是原方程的解。3.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(3\)倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。答案：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為\(n\)。多邊形的外角和是\(360^{\circ}\)，內(nèi)角和公式為\((n-2)\times180^{\circ}\)。因?yàn)閮?nèi)角和是外角和的\(3\)倍，所以\((n-2)\times180^{\circ}=3\times360^{\circ}\)，\((n-2)\times180=1080\)，\(n-2=6\)，\(n=8\)。所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是\(8\)。4.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，求\(\sinA\)和\(\cosA\)的值。答案：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)。根據(jù)勾股定理\(AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}\)，則\(AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\)。\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)，\(\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)。五、討論題1.一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)\(A(1,4)\)和點(diǎn)\(B(0,2)\)。（1）求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)\(C(a,a+2)\)在這個(gè)一次函數(shù)的圖象上，求\(a\)的值。并討論點(diǎn)\(C\)與線段\(AB\)的位置關(guān)系。答案：（1）把\(A(1,4)\)，\(B(0,2)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}k+b=4\\b=2\end{cases}\)，將\(b=2\)代入\(k+b=4\)得\(k+2=4\)，\(k=2\)，所以一次函數(shù)表達(dá)式為\(y=2x+2\)。（2）因?yàn)辄c(diǎn)\(C(a,a+2)\)在\(y=2x+2\)上，所以\(a+2=2a+2\)，解得\(a=0\)，則\(C(0,2)\)，所以點(diǎn)\(C\)與點(diǎn)\(B\)重合，在線段\(AB\)的端點(diǎn)處。2.如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，\(E\)、\(F\)分別是邊\(AB\)、\(CD\)的中點(diǎn)，連接\(DE\)、\(BF\)。（1）求證：四邊形\(DEBF\)是平行四邊形；（2）討論當(dāng)平行四邊形\(ABCD\)滿足什么條件時(shí)，四邊形\(DEBF\)是菱形，并說明理由。答案：（1）因?yàn)樗倪呅蝄(ABCD\)是平行四邊形，所以\(AB\parallelCD\)，\(AB=CD\)。又因?yàn)閈(E\)、\(F\)分別是\(AB\)、\(CD\)的中點(diǎn)，所以\(BE=\frac{1}{2}AB\)，\(DF=\frac{1}{2}CD\)，則\(BE=DF\)，且\(BE\parallelDF\)，所以四邊形\(DEBF\)是平行四邊形。（2）當(dāng)\(AD=BD\)時(shí)，四邊形\(DEBF\)是菱形。理由：因?yàn)閈(E\)是\(AB\)中點(diǎn)，\(AD=BD\)，所以\(DE\perpAB\)（三線合一）。又因?yàn)樗倪呅蝄(DEBF\)是平行四邊形，所以平行四邊形\(DEBF\)是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）。3.已知二次函數(shù)\(y=x^{2}+bx+c\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((1,0)\)和點(diǎn)\((0,-3)\)。（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）討論該二次函數(shù)圖象與\(x\)軸的交點(diǎn)情況，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)。答案：（1）把\((1,0)\)，\((0,-3)\)代入\(y=x^{2}+bx+c\)得\(\begin{cases}1+b+c=0\\c=-3\end{cases}\)，將\(c=-3\)代入\(1+b+c=0\)得\(1+b-3=0\)，\(b=2\)，所以二次函數(shù)表達(dá)式為\(y=