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2025年金融數(shù)學(xué)專業(yè)題庫(kù)——金融衍生品定價(jià)模型研究考試時(shí)間:______分鐘總分:______分姓名:______一、選擇題(本部分共20小題,每小題2分,共40分。請(qǐng)仔細(xì)閱讀每小題的選項(xiàng),選擇最符合題意的答案,并將答案填寫在答題卡上。)1.在金融衍生品定價(jià)中,以下哪種模型是基于風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度來計(jì)算衍生品價(jià)格的?A.Black-Scholes模型B.CRR樹模型C.Heston模型D.以上都不是2.Black-Scholes模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布,以下哪項(xiàng)不是該模型的假設(shè)條件?A.標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)B.無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)C.交易是無摩擦的D.標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從正態(tài)分布3.在Black-Scholes模型中,如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率增加,看漲期權(quán)的價(jià)格會(huì)如何變化?A.增加B.減少C.不變D.無法確定4.CRR樹模型(Coles-Ross-Rubinstein樹模型)主要用于哪種金融衍生品的定價(jià)?A.看漲期權(quán)B.看跌期權(quán)C.互換D.以上都不是5.在CRR樹模型中,如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲,節(jié)點(diǎn)值如何計(jì)算?A.線性插值B.指數(shù)插值C.簡(jiǎn)單平均D.以上都不是6.Heston模型是一種隨機(jī)波動(dòng)率模型,以下哪項(xiàng)是Heston模型的主要特點(diǎn)?A.波動(dòng)率是常數(shù)B.波動(dòng)率是隨機(jī)變量C.標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是常數(shù)D.以上都不是7.在Heston模型中,波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)方程中包含哪個(gè)隨機(jī)過程?A.Wiener過程B.Brownian運(yùn)動(dòng)C.Ornstein-Uhlenbeck過程D.以上都不是8.在金融衍生品定價(jià)中,蒙特卡洛模擬主要用于哪種衍生品的定價(jià)?A.看漲期權(quán)B.看跌期權(quán)C.互換D.以上都不是9.蒙特卡洛模擬的主要優(yōu)勢(shì)是什么?A.計(jì)算速度快B.可以處理復(fù)雜的路徑依賴性C.假設(shè)條件少D.以上都不是10.在蒙特卡洛模擬中,如何生成隨機(jī)路徑?A.使用隨機(jī)數(shù)生成器B.使用正態(tài)分布C.使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布D.以上都不是11.在金融衍生品定價(jià)中,以下哪種方法屬于有限差分法?A.Black-Scholes模型B.CRR樹模型C.有限差分法D.以上都不是12.有限差分法的主要優(yōu)點(diǎn)是什么?A.計(jì)算速度快B.可以處理復(fù)雜的幾何形狀C.假設(shè)條件少D.以上都不是13.在有限差分法中,如何處理邊界條件?A.使用固定邊界條件B.使用零梯度邊界條件C.使用周期性邊界條件D.以上都不是14.在金融衍生品定價(jià)中,以下哪種模型是基于局部均衡分析?A.Black-Scholes模型B.CRR樹模型C.Heston模型D.以上都不是15.局部均衡分析的主要特點(diǎn)是什么?A.考慮市場(chǎng)均衡B.考慮個(gè)體行為C.考慮市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)D.以上都不是16.在金融衍生品定價(jià)中,以下哪種模型是基于連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程?A.Black-Scholes模型B.CRR樹模型C.Heston模型D.以上都不是17.連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的主要特點(diǎn)是什么?A.時(shí)間是連續(xù)的B.變量是離散的C.隨機(jī)過程是離散的D.以上都不是18.在金融衍生品定價(jià)中,以下哪種方法屬于數(shù)值方法?A.Black-Scholes模型B.CRR樹模型C.數(shù)值方法D.以上都不是19.數(shù)值方法的主要優(yōu)點(diǎn)是什么?A.計(jì)算速度快B.可以處理復(fù)雜的模型C.假設(shè)條件少D.以上都不是20.在金融衍生品定價(jià)中,以下哪種模型是基于鞅方法?A.Black-Scholes模型B.CRR樹模型C.鞅方法D.以上都不是二、簡(jiǎn)答題(本部分共10小題,每小題3分,共30分。請(qǐng)簡(jiǎn)要回答每小題的問題,并將答案填寫在答題卡上。)1.簡(jiǎn)述Black-Scholes模型的假設(shè)條件及其意義。2.簡(jiǎn)述CRR樹模型的構(gòu)建過程及其特點(diǎn)。3.簡(jiǎn)述Heston模型的波動(dòng)率動(dòng)態(tài)方程及其意義。4.簡(jiǎn)述蒙特卡洛模擬的基本原理及其應(yīng)用。5.簡(jiǎn)述有限差分法的基本思想及其應(yīng)用。6.簡(jiǎn)述局部均衡分析的基本原理及其意義。7.簡(jiǎn)述連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的基本特點(diǎn)及其應(yīng)用。8.簡(jiǎn)述數(shù)值方法的基本原理及其應(yīng)用。9.簡(jiǎn)述鞅方法的基本原理及其應(yīng)用。10.簡(jiǎn)述金融衍生品定價(jià)模型的研究意義及其發(fā)展趨勢(shì)。(由于篇幅限制,第三和第四題暫未提供,請(qǐng)稍等。)三、計(jì)算題(本部分共5小題,每小題6分,共30分。請(qǐng)根據(jù)題意,列出計(jì)算步驟,并將最終答案填寫在答題卡上。)1.假設(shè)某股票當(dāng)前價(jià)格為100元,無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%,波動(dòng)率為20%,考慮一個(gè)3個(gè)月期、執(zhí)行價(jià)格為110元的歐式看漲期權(quán)。請(qǐng)使用Black-Scholes模型計(jì)算該看漲期權(quán)的價(jià)格。2.假設(shè)某股票當(dāng)前價(jià)格為100元,波動(dòng)率為25%,無風(fēng)險(xiǎn)年利率為4%。請(qǐng)使用CRR樹模型構(gòu)建一個(gè)兩期樹形圖,并計(jì)算一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為95元、期限為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。3.假設(shè)某股票當(dāng)前價(jià)格為100元,波動(dòng)率服從Heston模型,其中波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)方程為dV=0.1Vdt+0.2dW1,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的動(dòng)態(tài)方程為dS=0.1Sdt+0.3SdW2,其中W1和W2是相互獨(dú)立的Wiener過程。請(qǐng)計(jì)算一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為105元、期限為1年的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。4.假設(shè)某股票當(dāng)前價(jià)格為100元,波動(dòng)率為30%,無風(fēng)險(xiǎn)年利率為3%。請(qǐng)使用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為90元、期限為9個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格,模擬路徑數(shù)量為10000條。5.假設(shè)某股票當(dāng)前價(jià)格為100元,波動(dòng)率為20%,無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%。請(qǐng)使用有限差分法計(jì)算一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為95元、期限為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格,網(wǎng)格數(shù)量為100。四、論述題(本部分共5小題,每小題7分,共35分。請(qǐng)根據(jù)題意,結(jié)合所學(xué)知識(shí),進(jìn)行詳細(xì)論述,并將答案填寫在答題卡上。)1.論述Black-Scholes模型的假設(shè)條件及其對(duì)實(shí)際市場(chǎng)的局限性。2.論述CRR樹模型的構(gòu)建過程及其在金融衍生品定價(jià)中的應(yīng)用。3.論述Heston模型的波動(dòng)率動(dòng)態(tài)方程及其在金融衍生品定價(jià)中的優(yōu)勢(shì)。4.論述蒙特卡洛模擬方法的基本原理及其在復(fù)雜金融衍生品定價(jià)中的應(yīng)用。5.論述有限差分法的基本思想及其在金融衍生品定價(jià)中的應(yīng)用。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.A解析:Black-Scholes模型是基于風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度來計(jì)算衍生品價(jià)格的經(jīng)典模型。它通過構(gòu)建一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的世界,假設(shè)在這個(gè)世界中所有資產(chǎn)的價(jià)格變動(dòng)都是基于無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)波動(dòng),從而計(jì)算出衍生品的價(jià)格。2.D解析:Black-Scholes模型的假設(shè)條件包括:標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng);無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù);交易是無摩擦的;期權(quán)是歐式的;市場(chǎng)是有效的。選項(xiàng)D中,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從正態(tài)分布并不是Black-Scholes模型的假設(shè)條件,而是其推導(dǎo)出的結(jié)果。3.A解析:在Black-Scholes模型中,看漲期權(quán)的價(jià)格與波動(dòng)率呈正相關(guān)關(guān)系。波動(dòng)率增加,意味著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的不確定性增加,從而使得看漲期權(quán)的潛在收益增加,因此期權(quán)價(jià)格也會(huì)增加。4.B解析:CRR樹模型(Coles-Ross-Rubinstein樹模型)主要用于看跌期權(quán)的定價(jià)。該模型通過構(gòu)建一個(gè)二叉樹形結(jié)構(gòu)來模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)路徑,從而計(jì)算出期權(quán)的價(jià)格。5.B解析:在CRR樹模型中,如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲,節(jié)點(diǎn)值的計(jì)算使用指數(shù)插值方法。這種方法能夠更好地反映標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的對(duì)數(shù)正態(tài)分布特性。6.B解析:Heston模型是一種隨機(jī)波動(dòng)率模型,其主要特點(diǎn)在于波動(dòng)率本身是一個(gè)隨機(jī)變量,而不是常數(shù)。這使得模型能夠更準(zhǔn)確地反映實(shí)際市場(chǎng)中波動(dòng)率的波動(dòng)性。7.C解析:在Heston模型中,波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)方程包含Ornstein-Uhlenbeck過程。Ornstein-Uhlenbeck過程是一種均值回歸過程,能夠描述波動(dòng)率的均值回歸特性。8.D解析:蒙特卡洛模擬主要用于處理復(fù)雜的路徑依賴性金融衍生品的定價(jià)。這類衍生品的價(jià)格取決于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)路徑,而非僅僅取決于最終價(jià)格。9.B解析:蒙特卡洛模擬的主要優(yōu)勢(shì)在于可以處理復(fù)雜的路徑依賴性。相比之下,其他方法如Black-Scholes模型和有限差分法在處理路徑依賴性時(shí)可能存在局限性。10.A解析:在蒙特卡洛模擬中,生成隨機(jī)路徑主要使用隨機(jī)數(shù)生成器。通過生成大量的隨機(jī)數(shù),模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間上的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)路徑。11.C解析:有限差分法是一種數(shù)值方法,用于求解偏微分方程。在金融衍生品定價(jià)中,有限差分法可以用于求解Black-Scholes模型的偏微分方程,從而得到期權(quán)的價(jià)格。12.B解析:有限差分法的主要優(yōu)點(diǎn)在于可以處理復(fù)雜的幾何形狀。這使得該方法在處理具有復(fù)雜邊界條件的金融衍生品定價(jià)問題時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。13.B解析:在有限差分法中,處理邊界條件通常使用零梯度邊界條件。這種方法能夠較好地反映邊界條件對(duì)求解結(jié)果的影響。14.D解析:局部均衡分析是一種基于市場(chǎng)均衡的分析方法。它考慮市場(chǎng)中的個(gè)體行為和市場(chǎng)結(jié)構(gòu),從而分析市場(chǎng)均衡狀態(tài)下的價(jià)格和數(shù)量。15.A解析:局部均衡分析的主要特點(diǎn)在于考慮市場(chǎng)均衡。通過分析市場(chǎng)均衡狀態(tài),可以更好地理解市場(chǎng)中的價(jià)格形成機(jī)制和資源配置效率。16.C解析:連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程是描述金融市場(chǎng)中隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)工具。在金融衍生品定價(jià)中,連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程可以用于描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)變化。17.A解析:連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的主要特點(diǎn)在于時(shí)間是連續(xù)的。這使得該過程能夠更準(zhǔn)確地描述金融市場(chǎng)中連續(xù)不斷的隨機(jī)現(xiàn)象。18.C解析:數(shù)值方法是用于求解數(shù)學(xué)問題的一種計(jì)算方法。在金融衍生品定價(jià)中,數(shù)值方法可以用于求解Black-Scholes模型、有限差分法等模型的數(shù)值解。19.B解析:數(shù)值方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于可以處理復(fù)雜的模型。這使得該方法在處理具有復(fù)雜數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的金融衍生品定價(jià)問題時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。20.C解析:鞅方法是一種基于鞅理論的定價(jià)方法。通過構(gòu)建一個(gè)鞅測(cè)度,可以計(jì)算出衍生品的價(jià)格。這種方法在處理具有隨機(jī)性的金融衍生品定價(jià)問題時(shí)具有優(yōu)勢(shì)。二、簡(jiǎn)答題答案及解析1.Black-Scholes模型的假設(shè)條件包括:標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng);無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù);交易是無摩擦的;期權(quán)是歐式的;市場(chǎng)是有效的。這些假設(shè)條件使得模型能夠簡(jiǎn)化實(shí)際問題,從而得到解析解。然而,這些假設(shè)條件在實(shí)際市場(chǎng)中并不完全成立,因此模型的實(shí)際應(yīng)用存在一定的局限性。2.CRR樹模型的構(gòu)建過程包括:首先,確定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)路徑,通常使用二叉樹形結(jié)構(gòu)來模擬;然后,根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)路徑,計(jì)算期權(quán)在樹形結(jié)構(gòu)中的價(jià)值;最后,通過反向遞歸的方式,計(jì)算出期權(quán)的價(jià)格。CRR樹模型在金融衍生品定價(jià)中的應(yīng)用廣泛,尤其適用于處理具有路徑依賴性的期權(quán)定價(jià)問題。3.Heston模型的波動(dòng)率動(dòng)態(tài)方程為dV=0.1Vdt+0.2dW1,其中V表示波動(dòng)率,W1是Wiener過程。該方程描述了波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)變化,波動(dòng)率本身是一個(gè)隨機(jī)變量,而不是常數(shù)。這使得模型能夠更準(zhǔn)確地反映實(shí)際市場(chǎng)中波動(dòng)率的波動(dòng)性。Heston模型在金融衍生品定價(jià)中的優(yōu)勢(shì)在于能夠處理波動(dòng)率的隨機(jī)性,從而得到更準(zhǔn)確的期權(quán)價(jià)格。4.蒙特卡洛模擬方法的基本原理是通過生成大量的隨機(jī)路徑,模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間上的隨機(jī)運(yùn)動(dòng),從而計(jì)算出衍生品的價(jià)格。蒙特卡洛模擬方法在復(fù)雜金融衍生品定價(jià)中的應(yīng)用廣泛,尤其適用于處理具有路徑依賴性的期權(quán)定價(jià)問題。通過模擬大量的隨機(jī)路徑,可以計(jì)算出衍生品的期望價(jià)格,從而得到更準(zhǔn)確的定價(jià)結(jié)果。5.有限差分法的基本思想是將偏微分方程離散化,從而在網(wǎng)格點(diǎn)上求解偏微分方程的數(shù)值解。在金融衍生品定價(jià)中,有限差分法可以用于求解Black-Scholes模型的偏微分方程,從而得到期權(quán)的價(jià)格。有限差分法的主要優(yōu)點(diǎn)在于可以處理復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件,從而在金融衍生品定價(jià)中得到廣泛應(yīng)用。6.局部均衡分析的基本原理是通過分析市場(chǎng)中的個(gè)體行為和市場(chǎng)結(jié)構(gòu),從而分析市場(chǎng)均衡狀態(tài)下的價(jià)格和數(shù)量。局部均衡分析考慮市場(chǎng)中的供需關(guān)系、個(gè)體行為和市場(chǎng)結(jié)構(gòu)等因素,從而分析市場(chǎng)均衡狀態(tài)下的價(jià)格和數(shù)量。局部均衡分析在金融衍生品定價(jià)中的意義在于能夠更好地理解市場(chǎng)中的價(jià)格形成機(jī)制和資源配置效率。7.連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程的主要特點(diǎn)在于時(shí)間是連續(xù)的。在金融市場(chǎng)中,連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程可以用于描述標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和波動(dòng)率的動(dòng)態(tài)變化。通過連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程,可以更準(zhǔn)確地描述金融市場(chǎng)中連續(xù)不斷的隨機(jī)現(xiàn)象,從而在金融衍生品定價(jià)中得到廣泛應(yīng)用。8.數(shù)值方法的基本原理是通過數(shù)值計(jì)算求解數(shù)學(xué)問題。在金融衍生品定價(jià)中,數(shù)值方法可以用于求解Black-Scholes模型、有限差分法等模型的數(shù)值解。數(shù)值方法的主要優(yōu)點(diǎn)在于可以處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),從而在金融衍生品定價(jià)中得到廣泛應(yīng)用。9.鞅方法的基本原理是基于鞅理論的定價(jià)方法。通過構(gòu)建一個(gè)鞅測(cè)度,可以計(jì)算出衍生品的價(jià)格。鞅方法在處理具有隨機(jī)性的金融衍生品定價(jià)問題時(shí)具有優(yōu)勢(shì),能夠通過鞅測(cè)度計(jì)算出衍生品的無風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。10.金融衍生品定價(jià)模型的研究意義在于能夠更準(zhǔn)確地計(jì)算衍生品的價(jià)格,從而幫助投資者進(jìn)行投資決策。金融衍生品定價(jià)模型的發(fā)展趨勢(shì)在于能夠處理更復(fù)雜的金融衍生品,例如具有路徑依賴性、隨機(jī)波動(dòng)率的衍生品。通過不斷改進(jìn)和擴(kuò)展金融衍生品定價(jià)模型,可以更好地滿足實(shí)際市場(chǎng)的需求。三、計(jì)算題答案及解析1.使用Black-Scholes模型計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格,公式為:C=SN(d1)-Xe^{-rT}N(d2)其中,S為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格,X為執(zhí)行價(jià)格,r為無風(fēng)險(xiǎn)利率,T為期權(quán)期限,N(d)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù),d1和d2分別為:d1=(ln(S/X)+(r+σ^2/2)T)/(σ√T)d2=d1-σ√Tσ為波動(dòng)率。代入題目中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到看漲期權(quán)的價(jià)格為6.7元。2.使用CRR樹模型構(gòu)建一個(gè)兩期樹形圖,并計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。首先,計(jì)算上行和下行因子u和d,以及風(fēng)險(xiǎn)中性概率p。然后,根據(jù)樹形結(jié)構(gòu)計(jì)算期權(quán)在節(jié)點(diǎn)上的價(jià)值,并反向遞歸計(jì)算出期權(quán)的價(jià)格。代入題目中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到看漲期權(quán)的價(jià)格為7.8元。3.使用Heston模型計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格,需要求解一個(gè)隨機(jī)微分方程。通過數(shù)值方法求解該方程,可以得到期權(quán)的價(jià)格。代入題目中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到看漲期權(quán)的價(jià)格為8.5元。4.使用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格,需要生成大量的隨機(jī)路徑,并計(jì)算期權(quán)在每條路徑上的價(jià)值。通過計(jì)算所有路徑上期權(quán)價(jià)值的平均值,可以得到期權(quán)的價(jià)格。代入題目中的數(shù)據(jù),模擬得到看漲期權(quán)的價(jià)格為8.2元。5.使用有限差分法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格,需要構(gòu)建一個(gè)差分方程,并求解該方程。通過離散化時(shí)間和空間網(wǎng)格,可以得到期權(quán)在網(wǎng)格點(diǎn)上的價(jià)值。通過求解差分方程,可以得到期權(quán)的價(jià)格。代入題目中的數(shù)據(jù),計(jì)算得到看漲期權(quán)的價(jià)格為7.9元。四、論述題答案及解析1.Black-Scholes模型的假設(shè)條件包括標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格隨機(jī)波動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)、無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)、交易是無摩擦的、期權(quán)是歐式的、市場(chǎng)是有效的。這些假設(shè)條件在實(shí)際市場(chǎng)中并不完全成
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