隨機信號分析演講人：日期:目錄CATALOGUE02.概率論基礎04.頻域分析技術05.隨機信號處理01.03.隨機過程核心06.典型應用拓展課程緒論01課程緒論PART以隨機信號為研究對象，探討其在時域、頻域及變換域中的統(tǒng)計特性，包括均值、方差、相關函數(shù)等核心參數(shù)，為通信、雷達等系統(tǒng)設計提供理論支撐。研究對象與學科定位信號與系統(tǒng)的隨機性分析結合概率論、統(tǒng)計學與信號處理技術，研究隨機信號的生成、傳輸、檢測及濾波問題，形成“隨機過程”與“數(shù)字信號處理”的橋梁學科。概率論與信號處理的交叉學科針對實際工程中噪聲、干擾等不可預測因素，建立隨機信號模型（如高斯白噪聲、馬爾可夫過程），為系統(tǒng)抗干擾設計奠定基礎。工程實踐中的不確定性建模統(tǒng)計平穩(wěn)性各態(tài)歷經性若隨機信號的均值、方差等統(tǒng)計量不隨時間變化，則稱為平穩(wěn)信號；廣義平穩(wěn)要求二階統(tǒng)計量時不變，是系統(tǒng)分析的重要前提。在滿足特定條件下，隨機信號的集平均（ensembleaverage）可等價于時間平均，簡化實際測量與計算過程，適用于噪聲功率估計等場景。隨機信號基本特性功率譜密度（PSD）描述隨機信號在頻域的能量分布特性，通過維納-辛欽定理與自相關函數(shù)關聯(lián)，是分析寬帶噪聲、信號帶寬的關鍵工具。高斯性與非高斯性高斯隨機信號（如熱噪聲）具有明確的概率密度函數(shù)（PDF）和閉合解析解，而非高斯信號（如沖擊噪聲）需采用高階統(tǒng)計量或非線性方法處理。典型應用場景無線通信系統(tǒng)信道中的多徑衰落、多用戶干擾等均建模為隨機信號，通過匹配濾波、均衡技術抑制隨機性影響，提升信噪比（SNR）與傳輸可靠性。雷達目標檢測回波信號受環(huán)境雜波（如地物反射）和噪聲干擾，需利用隨機信號理論設計恒虛警率（CFAR）檢測算法，區(qū)分真實目標與虛假信號。生物醫(yī)學信號處理心電（ECG）、腦電（EEG）等生理信號具有強隨機性，通過時頻分析（如小波變換）提取特征參數(shù)，輔助疾病診斷與監(jiān)護。金融時間序列預測股票價格、匯率波動等可視為隨機過程，采用ARIMA、GARCH等模型分析其統(tǒng)計特性，量化風險并優(yōu)化投資策略。02概率論基礎PART離散型隨機變量分布函數(shù)與性質連續(xù)型隨機變量常見分布的應用場景取值可列舉的隨機變量，如伯努利分布、二項分布、泊松分布等，其概率分布通過概率質量函數(shù)（PMF）描述，常用于計數(shù)場景（如呼叫次數(shù)、缺陷產品數(shù)量）。累積分布函數(shù)（CDF）是描述隨機變量取值小于等于某值的概率，具有單調不減、右連續(xù)等性質，是連接離散與連續(xù)隨機變量的統(tǒng)一工具。取值充滿某一區(qū)間的隨機變量，如正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布等，其概率特性由概率密度函數(shù)（PDF）刻畫，適用于測量數(shù)據(jù)（如壽命、溫度）。指數(shù)分布用于無記憶性事件（如設備故障間隔），正態(tài)分布在誤差分析和自然現(xiàn)象建模中占據(jù)核心地位。隨機變量與分布聯(lián)合分布與邊緣分布多維隨機變量的聯(lián)合分布描述多個變量的整體統(tǒng)計特性，邊緣分布通過積分或求和得到單個變量的分布，反映部分信息。條件分布與獨立性條件分布刻畫在已知部分變量取值時其余變量的概率特性，獨立性則簡化多維分析，如聯(lián)合PDF可分解為邊緣PDF乘積。協(xié)方差與相關系數(shù)協(xié)方差衡量變量間的線性關聯(lián)程度，相關系數(shù)將其標準化至[-1,1]，用于消除量綱影響，如身高與體重的相關性分析。多維正態(tài)分布具有閉合性質（線性變換后仍為正態(tài)），其協(xié)方差矩陣決定分布形態(tài)，廣泛應用于金融建模和信號處理。多維隨機變量數(shù)字特征計算數(shù)學期望與方差數(shù)學期望反映隨機變量的平均取值，方差衡量其波動性，如投資回報率期望與風險評估。高階矩（偏度、峰度）進一步描述分布形態(tài)。01矩生成函數(shù)與特征函數(shù)矩生成函數(shù)（MGF）通過導數(shù)可求各階矩，特征函數(shù)必存在且唯一確定分布，是分析極限定理的有力工具。02協(xié)方差矩陣與多元分析協(xié)方差矩陣整合多維變量的方差與協(xié)方差信息，主成分分析（PCA）依賴其特征值分解實現(xiàn)降維。03大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律揭示樣本均值收斂于期望，中心極限定理說明獨立變量和的標準化形式趨近正態(tài)分布，支撐統(tǒng)計推斷的可靠性。0403隨機過程核心PART定義與分類方法隨機過程是定義在概率空間上的一族隨機變量{X(t),t∈T}，其中T為指標集（通常表示時間），每個X(t)在狀態(tài)空間S中取值。例如通信系統(tǒng)中的噪聲電壓隨時間變化即構成隨機過程。嚴格數(shù)學定義根據(jù)參數(shù)集T的性質可分為離散參數(shù)過程（如馬爾可夫鏈）和連續(xù)參數(shù)過程（如布朗運動）；根據(jù)狀態(tài)空間可分為離散狀態(tài)過程（如泊松過程）和連續(xù)狀態(tài)過程（如高斯過程）。離散型與連續(xù)型分類包括獨立增量過程（如維納過程）、馬爾可夫過程（狀態(tài)轉移僅依賴當前狀態(tài)）、平穩(wěn)過程（統(tǒng)計特性不隨時間平移改變）以及鞅過程（條件期望保持不變的隨機過程）?；诮y(tǒng)計特性的分類可分為通信領域的調制信號過程、金融數(shù)學中的資產價格過程、生物統(tǒng)計中的種群增長過程等，不同場景需要采用特定的建模方法。應用場景分類2014平穩(wěn)性與遍歷性04010203嚴格平穩(wěn)與寬平穩(wěn)嚴格平穩(wěn)要求所有有限維分布函數(shù)具有時移不變性，而寬平穩(wěn)只需均值函數(shù)為常數(shù)且自相關函數(shù)僅依賴時間差。實際工程中常通過寬平穩(wěn)假設簡化分析。各態(tài)歷經性判定若時間平均等于集合平均（即單一樣本函數(shù)能反映整體統(tǒng)計特性），則稱過程具有遍歷性。驗證需滿足均值遍歷性定理和相關函數(shù)遍歷性定理，這對實驗數(shù)據(jù)處理至關重要。物理意義與工程應用平穩(wěn)性保證了系統(tǒng)統(tǒng)計特性的時間一致性，遍歷性使得實際測量中可通過單次觀測估計統(tǒng)計參數(shù)。例如通信系統(tǒng)設計常假設信道響應具有局部平穩(wěn)性和遍歷性。非平穩(wěn)過程處理方法對于時變統(tǒng)計特性的過程（如突發(fā)通信信號），可采用分段平穩(wěn)近似、時頻分析或小波變換等非平穩(wěn)信號處理技術。自相關函數(shù)性質對于寬平穩(wěn)過程，自相關函數(shù)R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]必須滿足非負定性、對稱性（R(-τ)=R(τ)）以及在原點處取得最大值等數(shù)學約束條件。功率譜密度關系根據(jù)維納-辛欽定理，平穩(wěn)過程的自相關函數(shù)與其功率譜密度構成傅里葉變換對，這為頻域分析提供了理論基礎。工程中常用周期圖法進行譜估計?；ハ嚓P函數(shù)應用兩個聯(lián)合平穩(wěn)過程的互相關函數(shù)可用于系統(tǒng)辨識（如雷達信號處理中目標回波分析）和信道估計（如MIMO系統(tǒng)信道矩陣構建）。高階相關分析對于非高斯過程（如通信中的QAM信號），需引入高階累積量和多譜分析來完整描述其統(tǒng)計特性，這在盲信號處理和非線性系統(tǒng)識別中有重要應用。相關函數(shù)分析04頻域分析技術PART功率譜密度（PSD）是描述隨機信號在頻域內能量分布的核心指標，其單位為W/Hz，數(shù)學上定義為信號傅里葉變換幅值的平方除以頻率帶寬。對于連續(xù)信號(x(t))，PSD可表示為(S_{xx}(f)=lim_{Ttoinfty}frac{1}{T}|X_T(f)|^2)，其中(X_T(f))為截斷信號的傅里葉變換。物理意義與數(shù)學表達針對離散時間信號，PSD通過周期圖估計實現(xiàn)，即對有限長樣本序列進行DFT變換后取模平方。為減少估計方差，常采用Bartlett或Welch分段平均法，后者通過重疊分段和加窗進一步優(yōu)化頻譜泄漏問題。離散化處理與周期圖法在通信系統(tǒng)中用于分析信道噪聲特性，在機械振動領域用于識別結構共振頻率，其對數(shù)坐標下的PSD曲線（dB/Hz）可直觀反映信號各頻段的能量集中程度。工程應用場景功率譜密度定義定理核心內容該定理嚴格證明了廣義平穩(wěn)隨機過程的自相關函數(shù)(R_{xx}(tau))與功率譜密度(S_{xx}(f))構成傅里葉變換對，即(S_{xx}(f)=mathcal{F}{R_{xx}(tau)})。這一關系建立了時域統(tǒng)計特性與頻域能量分布的橋梁，是隨機信號分析的基石。維納-辛欽定理應用條件與擴展要求過程必須滿足廣義平穩(wěn)性（均值恒定、自相關函數(shù)僅與時移(tau)相關）。對于非平穩(wěn)信號，可通過短時傅里葉變換或小波分析實現(xiàn)局部平穩(wěn)化處理。實際意義在雷達信號處理中，利用該定理可從回波信號的自相關函數(shù)推導目標的多普勒頻譜；在聲學檢測中，通過環(huán)境噪聲的PSD反推其時間相關性特征。經典非參數(shù)化方法采用ARMA模型對信號進行參數(shù)擬合，如Burg算法基于最大熵原理實現(xiàn)AR模型系數(shù)估計，特別適用于短數(shù)據(jù)記錄情況。現(xiàn)代子空間方法（如MUSIC算法）利用信號與噪聲子空間正交性，可實現(xiàn)超分辨率譜估計。參數(shù)化模型方法時頻聯(lián)合分析技術針對非平穩(wěn)信號，采用Cohen類分布（如Wigner-Ville分布）或自適應核函數(shù)，在時頻平面上同時揭示信號的瞬時頻率與能量演化規(guī)律，適用于機械故障診斷中的瞬態(tài)沖擊特征提取。包括周期圖法及其改進方案（如Welch法），這類方法直接基于觀測數(shù)據(jù)計算，計算效率高但存在分辨率與方差矛盾。Blackman-Tukey法通過先估計自相關函數(shù)再傅里葉變換，有效抑制高頻噪聲但犧牲了部分時域信息。譜估計方法05隨機信號處理PART線性系統(tǒng)響應時域分析方法狀態(tài)空間建模頻域變換技術通過卷積積分計算隨機信號通過線性系統(tǒng)后的輸出響應，需結合輸入信號的統(tǒng)計特性（如均值、自相關函數(shù)）與系統(tǒng)沖激響應，推導輸出信號的均值函數(shù)及功率譜密度。利用傅里葉變換將隨機信號與線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)結合，分析輸出信號的頻率響應特性，尤其適用于平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度傳遞關系研究。針對非平穩(wěn)隨機信號，采用狀態(tài)方程和觀測方程描述系統(tǒng)動態(tài)響應，結合卡爾曼濾波理論實現(xiàn)實時信號處理與預測。匹配濾波器設計最大信噪比準則匹配濾波器通過最大化輸出信噪比來優(yōu)化檢測性能，其沖激響應需設計為輸入信號波形的共軛時間反轉形式，適用于雷達、通信系統(tǒng)中的已知信號檢測。白噪聲條件下的最優(yōu)性當輸入噪聲為加性白噪聲時，匹配濾波器可等效為相關接收機，通過計算接收信號與模板信號的互相關函數(shù)實現(xiàn)信號檢測。多徑環(huán)境適應性針對多徑信道中的隨機信號，需設計廣義匹配濾波器，結合信道沖激響應特性進行聯(lián)合優(yōu)化，以抑制碼間干擾并提升檢測精度。最優(yōu)濾波理論維納濾波基于最小均方誤差準則，通過求解維納-霍夫方程設計非因果或因果濾波器，適用于平穩(wěn)隨機信號的去噪與預測問題，需已知信號和噪聲的統(tǒng)計特性。卡爾曼濾波針對非平穩(wěn)隨機信號，采用遞推算法實時更新狀態(tài)估計，結合過程噪聲和觀測噪聲的協(xié)方差矩陣實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)的最優(yōu)濾波，廣泛應用于導航與跟蹤系統(tǒng)。自適應濾波技術利用LMS（最小均方）或RLS（遞歸最小二乘）算法動態(tài)調整濾波器系數(shù)，適用于統(tǒng)計特性未知或時變的隨機信號處理場景，如回聲消除和信道均衡。06典型應用拓展PART通信系統(tǒng)噪聲分析通過建立精確的系統(tǒng)噪聲溫度模型，量化分析通信系統(tǒng)中由熱噪聲、器件非線性等因素引入的隨機干擾，為接收機靈敏度設計提供理論依據(jù)。需結合微波輻射計的定標數(shù)據(jù)，動態(tài)修正噪聲系數(shù)與等效溫度曲線。系統(tǒng)噪聲溫度建模針對無線通信中多徑效應引發(fā)的時變噪聲，采用自適應濾波算法（如LMS、RLS）實時分離信號與噪聲分量。需聯(lián)合分析噪聲功率譜密度分布，優(yōu)化濾波器階數(shù)與收斂步長參數(shù)。多徑衰落信道中的噪聲抑制在毫米波通信中，本地振蕩器的相位噪聲會導致載波偏移和符號間干擾。需通過Allan方差分析相位噪聲的時頻特性，并設計鎖相環(huán)（PLL）或數(shù)字預失真補償方案。相位噪聲對高頻系統(tǒng)的影響高頻電磁波反射信號處理基于吉赫級射頻發(fā)射信號，采用脈沖壓縮技術（如匹配濾波、Chirp變換）提升距離分辨率。需針對路面路基的介電特性差異，動態(tài)調整發(fā)射波形參數(shù)以優(yōu)化信噪比。多普勒頻移分析與動目標檢測通過快速傅里葉變換（FFT）或Wigner-Ville分布提取運動目標的微多普勒特征，結合恒虛警率（CFAR）算法實現(xiàn)強雜波背景下的弱目標識別。需考慮雷達系統(tǒng)噪聲溫度對檢測門限的影響。合成孔徑雷達（SAR）成像優(yōu)化利用隨機信號分析理論解決SAR圖像中的相干斑噪聲問題，采用非局部均值濾波或基于深度學習的去噪網(wǎng)絡提升圖像質量。需聯(lián)合分析系統(tǒng)采樣頻率與地物散射特性的匹配關系。雷達信號檢測生物醫(yī)學信