高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市賽罕區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項：1．考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填涂在試卷和答題卡的規(guī)定位置．2．考生要將答案寫在答題卡上，在試卷上答題一律無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．3．本試卷滿分150分．考試時間120分鐘．一、單項選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，，，所以.故選：D2.角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點．已知．則點可能位于如圖所示單位圓的哪一段圓弧上（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則.因為，所以，所以同號，且，則ABD錯誤.故選：C3.下列命題中，真命題為（）A.的解集為B.同時滿足，的角有且只有一個C.若點為角終邊上一點，則D.如果角滿足，那么角是第二象限的角【答案】A【解析】對于A：的解集為，故A正確；對于B：同時滿足，的角為，，有無數(shù)個，故B錯誤；對于C：若點為角終邊上一點，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故C錯誤；對于D：如果角滿足，那么角是第三象限角，故D錯誤.故選：A4.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.5.已知，，則下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】D【解析】因為，，對于A、B：因為，所以函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C、D：因為，所以函數(shù)的最小值為，故C錯誤；由，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，所以為函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，故D正確.故選：D6.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故選:A7.在中，若，則是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】因為，整理得到，即，又，得到，所以，即，故選：A.8.在中，．為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多個項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列關(guān)于的判斷正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.最小正周期是C.圖象關(guān)于直線成軸對稱 D.圖象關(guān)于點成中心對稱【答案】ABD【解析】對于選項A，時，，此時為增函數(shù)；對于選項B，的最小正周期為；對于選項C，因為，，所以圖象不是關(guān)于直線成軸對稱；對于選項D，令，，得，令得，所以圖象關(guān)于點成中心對稱.故選：ABD.10.已知向量，，則下列命題正確的是A.若，則B.若在上的投影向量長度為，則向量與的夾角為C.存在，使得D.的最大值為【答案】BCD【解析】因為，，若，則，則，故A錯誤；若在上的投影向量長度為，且，則，所以，又，所以，故B正確；因為，，若，則，即，故時，即與同向，所以，解得，故C正確；，其中，因為，，則當(dāng)時，的最大值為，故D正確，故選：BCD．11.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上存在極大值點和極小值點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】，由關(guān)于原點對稱，得，，而，則，，對于A，的最小正周期，A正確；對于BC，由，得，直線是的圖象一條對稱軸，B正確，C錯誤；對于D，由，得，而在上有極大值點又有極小值點，則，解得，D正確故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若，則________．【答案】【解析】因為，解得或，又，則，又，所以，則，所以，所以.故答案為：.13.已知向量的夾角為，且，則__________.【答案】2【解析】由題意知向量的夾角為，且，故，即，則，故答案為：214.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是________.【答案】.【解析】由題可知，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)的半個周期大于或等于，即，則，，由，解得：，，而，所以當(dāng)時，，則正實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）若與共線，求的值．（2）若與的夾角為，求的值．（3）求向量在向量上投影的數(shù)量．解：（1）因為，，所以，，因為與共線，所以，解得；（2）因為，，又與的夾角為，則，解得；（3）因為，，所以，，所以向量在向量上投影的數(shù)量為.16.（1）已知，且，求的值．（2）計算：．解：（1）因為，又，又，所以，又，所以，則，所以；（2）.17.已知將向量繞原點旋轉(zhuǎn)到的位置，（1）求點的坐標(biāo)．（2）求三角形面積．解：（1）因為，所以，設(shè)，則，，設(shè)，若繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，則，，所以；若繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，則，，所以；綜上可得或.（2）因為，，，所以.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求在上的值域；（3）若函數(shù)在上恰有三個零點，求的取值范圍．解：（1）由函數(shù)的圖象，可得，，則，所以．將點代入函數(shù)解析式可得，解得，因為，所以，所以；（2）因為，所以，所以，所以，即在上的值域為；（3）由（1）知，則，由函數(shù)在上恰有個零點，即在上恰有個解，即在上恰有個解，因為，所以，則，解得，故.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）填寫由函數(shù)的圖象變換得到的圖像的過程；先將圖象上的所有點________，得到的圖象；再把所得的圖象上的所有點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)________，得到的圖象．（3）若當(dāng)時，關(guān)于的不等式________，求實數(shù)的取值范圍．請選擇①和②中的一個條件，其中，①有解；②恒成立．補全問題（3），并求實數(shù)的范圍．解：（1）因為，所以函數(shù)的最小正周期；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.（2）先將圖象上的所有點向右平移個單位長度，得到的圖象；再把的圖象上的所有點，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫降膱D象.（3）若選擇①，不等式有解，即，由，得，則當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為，所以.若選擇②，不等式恒成立，即．由，得，則當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為．所以．內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市賽罕區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項：1．考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填涂在試卷和答題卡的規(guī)定位置．2．考生要將答案寫在答題卡上，在試卷上答題一律無效．考試結(jié)束后，將答題卡交回．3．本試卷滿分150分．考試時間120分鐘．一、單項選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，，，所以.故選：D2.角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點．已知．則點可能位于如圖所示單位圓的哪一段圓弧上（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則.因為，所以，所以同號，且，則ABD錯誤.故選：C3.下列命題中，真命題為（）A.的解集為B.同時滿足，的角有且只有一個C.若點為角終邊上一點，則D.如果角滿足，那么角是第二象限的角【答案】A【解析】對于A：的解集為，故A正確；對于B：同時滿足，的角為，，有無數(shù)個，故B錯誤；對于C：若點為角終邊上一點，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故C錯誤；對于D：如果角滿足，那么角是第三象限角，故D錯誤.故選：A4.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.

故選：A.5.已知，，則下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】D【解析】因為，，對于A、B：因為，所以函數(shù)的最小正周期，故A錯誤；因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C、D：因為，所以函數(shù)的最小值為，故C錯誤；由，解得，所以函數(shù)的增區(qū)間為，所以為函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，故D正確.故選：D6.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故選:A7.在中，若，則是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】因為，整理得到，即，又，得到，所以，即，故選：A.8.在中，．為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即；故選：D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多個項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列關(guān)于的判斷正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.最小正周期是C.圖象關(guān)于直線成軸對稱 D.圖象關(guān)于點成中心對稱【答案】ABD【解析】對于選項A，時，，此時為增函數(shù)；對于選項B，的最小正周期為；對于選項C，因為，，所以圖象不是關(guān)于直線成軸對稱；對于選項D，令，，得，令得，所以圖象關(guān)于點成中心對稱.故選：ABD.10.已知向量，，則下列命題正確的是A.若，則B.若在上的投影向量長度為，則向量與的夾角為C.存在，使得D.的最大值為【答案】BCD【解析】因為，，若，則，則，故A錯誤；若在上的投影向量長度為，且，則，所以，又，所以，故B正確；因為，，若，則，即，故時，即與同向，所以，解得，故C正確；，其中，因為，，則當(dāng)時，的最大值為，故D正確，故選：BCD．11.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上存在極大值點和極小值點，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】，由關(guān)于原點對稱，得，，而，則，，對于A，的最小正周期，A正確；對于BC，由，得，直線是的圖象一條對稱軸，B正確，C錯誤；對于D，由，得，而在上有極大值點又有極小值點，則，解得，D正確故選：ABD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，若，則________．【答案】【解析】因為，解得或，又，則，又，所以，則，所以，所以.故答案為：.13.已知向量的夾角為，且，則__________.【答案】2【解析】由題意知向量的夾角為，且，故，即，則，故答案為：214.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是________.【答案】.【解析】由題可知，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)的半個周期大于或等于，即，則，，由，解得：，，而，所以當(dāng)時，，則正實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，．（1）若與共線，求的值．（2）若與的夾角為，求的值．（3）求向量在向量上投影的數(shù)量．解：（1）因為，，所以，，因為與共線，所以，解得；（2）因為，，又與的夾角為，則，解得；（3）因為，，所以，，所以向量在向量上投影的數(shù)量為.16.（1）已知，且，求的值．（2）計算：．解：（1）因為，又，又，所以，又，所以，則，所以；（2）.17.已知將向量繞原點旋轉(zhuǎn)到的位置，（1）求點的坐標(biāo)．（2）求三角形面積．解：（1）因為，所以，設(shè)，則，，設(shè)，若繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，則，，所以；若繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，則，，所以；綜上可得或.（2）因為，，，所以.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求在上的值域；（3）若函數(shù)在上恰有三個零點，求的取值范圍．解：（1）由函數(shù)的圖象，可得，，則，所以．將點代入函數(shù)解析式可得，解得，因為，所以，所以；（2）因為，所以，所以，所以，即在上的值域為；（3）由（1）知，則，由函數(shù)在上恰有個零點，即在上恰有個解，即在上恰有個解，因為，所以，則，解得，故.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）填寫由函數(shù)的圖象變換得到的圖像的過程；先將圖象上的所有點_____