模塊綜合檢測(cè)(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．從1,2,3，…，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，下列事件中是對(duì)立事件的是()A．恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)B．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)C．至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)D．至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)解析：選CC中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”即“兩個(gè)奇數(shù)或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個(gè)數(shù)根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個(gè)事件：“兩個(gè)都是奇數(shù)”、“一奇一偶”、“兩個(gè)都是偶數(shù)”，故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“兩個(gè)都是偶數(shù)”是對(duì)立事件．易知其余都不是對(duì)立事件．2．某校教學(xué)大樓共有5層，每層均有2個(gè)樓梯，則由一樓至五樓的不同走法共有()A．24種 B．52種C．10種 D．7種解析：選A因?yàn)槊繉泳?個(gè)樓梯，所以每層有兩種不同的走法，由分步計(jì)數(shù)原理可知：從一樓至五樓共有24種不同走法．3．連續(xù)擲兩次骰子，以先后得到的點(diǎn)數(shù)m，n為點(diǎn)P(m，n)的坐標(biāo)，那么點(diǎn)P在圓x2＋y2＝17內(nèi)部的概率是()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,9)解析：選B點(diǎn)P(m，n)的坐標(biāo)的所有可能為6×6＝36種，而點(diǎn)P在圓x2＋y2＝17內(nèi)部只有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8種，故概率為eq\f(2,9).4．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(n，p)，則eq\f((D(X))2,(E(X))2)等于()A．p2 B．(1－p)2C．1－p D．以上都不對(duì)解析：選B因?yàn)閄～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以eq\f((D(X))2,(E(X))2)＝eq\f([np(1－p)]2,(np)2)＝(1－p)2.故選B．5．若(2x＋eq\r(3))4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是()A．1 B．－1C．0 D．2解析：選A令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋eq\r(3))4，令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋eq\r(3))4.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋eq\r(3))4(－2＋eq\r(3))4＝1.6．一牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則D(ξ)等于()A．0.2 B．0.8C．0.196 D．0.804解析：選C因?yàn)橛深}意知該病的發(fā)病率為0.02，且每次試驗(yàn)結(jié)果都是相互獨(dú)立的，所以ξ～B(10,0.02)，所以由二項(xiàng)分布的方差公式得到D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故選C．123457.如圖，用4種不同顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有()A．72 B．96C．108 D．120解析：選B顏色都用上時(shí)，必定有兩塊同色，在圖中，同色的可能是1,3或1,5或2,5或3,5.對(duì)每種情況涂色有Aeq\o\al(4,4)＝24種，所以一共有96種．8．假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知4引擎飛機(jī)中至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2個(gè)引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行．要使4個(gè)引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析：選B4個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4,2個(gè)引擎飛機(jī)成功飛行的概率為p2，要使Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋p4>p2，必有eq\f(1,3)<p<1.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分)9．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是__________．解析：法一：由題意可知每次試驗(yàn)不成功的概率為eq\f(1,4)，成功的概率為eq\f(3,4)，在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝eq\f(9,16).所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的分布列為X012Peq\f(1,16)eq\f(3,8)eq\f(9,16)則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝0×eq\f(1,16)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(9,16)＝eq\f(3,2).法二：此試驗(yàn)滿足二項(xiàng)分布，其中p＝eq\f(3,4)，所以在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)10．4男3女排成一排有________種排法，女生要排在一起有________種排法．解析：4男3女排成一排共有Aeq\o\al(7,7)＝5040種，女生相鄰的排法有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720種．答案：504072011．從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是________，這兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)的概率是________．解析：從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)共有6種取法．取的兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)只有1,3一種情況，故此時(shí)的概率為eq\f(1,6).若取出兩個(gè)數(shù)字之和是偶數(shù)，必須同時(shí)取兩個(gè)偶數(shù)或兩個(gè)奇數(shù)，有1,3；2,4兩種取法，所以所求的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,6)eq\f(1,3)12．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m若隨機(jī)變量Y＝|X－2|，則m＝________，P(Y＝2)＝________.解析：由分布列的性質(zhì)，知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)＝P(X＝4)＋P(X＝0)＝0.3＋0.2＝0.5答案：0.30.513．(全國(guó)乙卷改編)(2x＋eq\r(x))5的展開式中，x3的系數(shù)是________，二項(xiàng)式系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)解析：(2x＋eq\r(x))5展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r·(eq\r(x))r＝25－r·Ceq\o\al(r,5)·x5－eq\f(r,2).令5－eq\f(r,2)＝3，得r＝4.故x3的系數(shù)為25－4·Ceq\o\al(4,5)＝2Ceq\o\al(4,5)＝10，二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(4,5)＝5.答案：10514．從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________．解析：十個(gè)數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù)共有Ceq\o\al(7,10)種情況，七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6，那么6只有處在中間位置，有Ceq\o\al(3,6)種情況，于是所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)15．某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1；③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1－0.14.其中正確結(jié)論的序號(hào)是________(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))．解析：①因?yàn)楦鞔紊鋼羰欠駬糁心繕?biāo)相互之間沒有影響，所以第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9，正確；②恰好擊中目標(biāo)3次的概率應(yīng)為Ceq\o\al(3,4)×0.93×0.1；③4次射擊都未擊中的概率為0.14；所以至少擊中目標(biāo)1次的概率為1－0.14.答案：①③三、簡(jiǎn)答題(本大題共5小題，共74分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分14分)已知(a2＋1)n展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而(a2＋1)n的展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)等于54，求a的值．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))r＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))5－rCeq\o\al(r,5)xeq\f(20－5r,2)，令20－5r＝0，得r＝4，故常數(shù)項(xiàng)T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16.又(a2＋1)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2n，由題意知2n＝16，得n＝4.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，(a2＋1)n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T3，故有Ceq\o\al(2,4)a4＝54，解得a＝±eq\r(3).17．(本小題滿分15分)一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n＜m＋2的概率．解：(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6個(gè)，從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不大于4的事件有：(1,2)，(1,3)，共2個(gè)，因此所求事件的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．又滿足條件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個(gè)．所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝eq\f(3,16)，故滿足條件n＜m＋2的事件的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).18．(本小題滿分15分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單元：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值．解：(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A)＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(P(B),P(A))＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11).因此所求概率為eq\f(3,11).(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23A．因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.19．(本小題滿分15分)(天津高考)某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)．已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)．(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)由已知，有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以事件A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.20．(本小題滿分15分)某人向一目標(biāo)射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,3).該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1∶3∶6，擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．(1)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P(A)．解：(1)依題意知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4＝eq\f(16,81)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝eq\f(32,81)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a