二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例貝努利(Bernoulli)不等式如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),則有(1+x)n>1+nx.【思考】在貝努利不等式中,指數(shù)n可以取任意實(shí)數(shù)嗎?提示:可以.但是貝努利不等式的體現(xiàn)形式有所變化.事實(shí)上:當(dāng)把正整數(shù)n改成實(shí)數(shù)α后,將有以下幾種情況出現(xiàn):(1)當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足α>1或者α<0時(shí),有(1+x)α≥1+αx(x>-1).(2)當(dāng)α是實(shí)數(shù),并且滿足0<α<1時(shí),有(1+x)α≤1+αx(x>-1).【素養(yǎng)小測(cè)】

1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”,第一步的驗(yàn)證為21+1≥12+1+2. (

)(2)設(shè)x>-1,且x≠0,n為大于1的自然數(shù),則(1+x)n<1+nx. (

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“

”,當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊的項(xiàng)為

. (

)提示:(1)√.第一步應(yīng)驗(yàn)證,當(dāng)n=1時(shí),即21+1≥12+1+2.(2)×.(1+x)n>1+nx.(3)√.由于左邊最后一項(xiàng)為,當(dāng)n=1時(shí),,即左邊的項(xiàng)為.2.設(shè)n∈N+,則2n與n的大小關(guān)系是 (

)A.2n>n

B.2n<nC.2n=n D.不確定【解析】選A.2n=(1+1)n,根據(jù)貝努利不等式有(1+1)n≥1+n×1=1+n,上式右邊舍去1,得(1+1)n>n,即2n>n.3.對(duì)于一切正整數(shù)n,下列說(shuō)法不正確的是 (

)A.3n≥1+2nB.0.9n≥1-0.1nC.0.9n<1-0.1nD.0.1n≥1-0.9n【解析】選C.由貝努利不等式的推廣(1+x)n≥1+nx(n∈N+,x>-1),知當(dāng)x=2時(shí),(1+2)n≥1+2n,故A正確.當(dāng)x=-0.1時(shí),(1-0.1)n≥1-0.1n,B正確,C不正確.當(dāng)x=-0.9時(shí),(1-0.9)n≥1-0.9n,D正確.類型一利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等關(guān)系【典例】設(shè)Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明.【思維·引】解答本例需要先對(duì)n取特值,猜想Pn與Qn的大小關(guān)系,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【解析】(1)當(dāng)n=1,2時(shí),Pn=Qn.(2)當(dāng)n≥3時(shí),(以下再對(duì)x進(jìn)行分類).①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn.②若x=0,則Pn=Qn.③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.假設(shè)Pk<Qk(k≥3,k∈N+),則Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk=1+kx++x+kx2+=1+(k+1)x+x2+x3=+x3<,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.所以當(dāng)n≥3,n∈N+且x∈(-1,0)時(shí),Pn<Qn.【內(nèi)化·悟】本題是如何利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等關(guān)系(或比較大小)的?提示:證明不等關(guān)系有時(shí)需要分類討論,當(dāng)n≥n0時(shí),大小關(guān)系確定,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.【類題·通】利用數(shù)學(xué)歸納法解決比較大小問(wèn)題的方法利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個(gè)量的大小關(guān)系,猜測(cè)出證明的方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.【習(xí)練·破】已知f(x)=.對(duì)于n∈N+,試比較f()與的大小并說(shuō)明理由.【解析】根據(jù)題意f(x)===1-,所以f()=1-.又=1-,所以要比較f()與的大小,只需比較2n與n2的大小即可,當(dāng)n=1時(shí),21=2>12=1,當(dāng)n=2時(shí),22=4=22,當(dāng)n=3時(shí),23=8<32=9,當(dāng)n=4時(shí),24=16=42,當(dāng)n=5時(shí),25=32>52=25,當(dāng)n=6時(shí),26=64>62=36.故猜測(cè)當(dāng)n≥5(n∈N+)時(shí),2n>n2,下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(1)當(dāng)n=5時(shí),2n>n2顯然成立.(2)假設(shè)n=k(k≥5,且k∈N+)時(shí),不等式2n>n2成立,即2k>k2(k≥5),則當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=2·2k>2·k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2>(k+1)2(因?yàn)?k-1)2>2).由(1)(2)可知,對(duì)一切n≥5,n∈N+,2n>n2成立.綜上所述,當(dāng)n=1或n≥5時(shí),f()>;當(dāng)n=2或n=4時(shí),f()=;當(dāng)n=3時(shí),f()<.【加練·固】已知函數(shù)f(x)=x3-x,數(shù)列{an}滿足條件:a1≥1,an+1≥f′(an+1).試比較

與1的大小,并說(shuō)明理由.【解析】

<1.理由如下:因?yàn)閒′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1),所以an+1≥(an+1)2-1.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增,所以由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,進(jìn)而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,由此猜想:an≥2n-1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想:①當(dāng)n=1時(shí),a1≥21-1=1,猜想成立;②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)猜想成立,即ak≥2k-1,則當(dāng)n=k+1時(shí),由g(x)=(x+1)2-1在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)遞增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1時(shí),猜想也成立.由①,②知,對(duì)任意n∈N+,都有an≥2n-1,即1+an≥2n.所以.所以

.類型二貝努利不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例】設(shè)b>a>0,n∈N+,證明(b-a)+1.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】由b>a>0,令1+x=(x>0),利用貝努利不等式證明.

【證明】由b>a>0,知>1,令1+x=(x>0),則x=-1,由貝努利不等式(1+x)n≥1+nx,所以=(1+x)n≥1+nx=1+n,所以≥(b-a)+1.【內(nèi)化·悟】如何利用貝努利不等式證明(b-a)+1?提示:利用1+x=代換,為利用貝努利不等式創(chuàng)造條件.【類題·通】關(guān)于貝努利不等式(1)(1+x)n>1+nx成立的兩個(gè)條件:①n∈N+且n≥2;②x的取值范圍是x>-1且x≠0.所以有命題:當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí)不等式(1+x)n>1+nx對(duì)一切x∈(-1,0)∪(0,+∞)恒成立.(2)常用特例:①當(dāng)x>-1且x≠0時(shí),(1+x)2>1+2x;②當(dāng)x>-1且x≠0時(shí),(1+x)3>1+3x.【習(xí)練·破】證明與

(n∈N+).

【證明】(1)由n∈N+,所以n+1≥2.由貝努利不等式得

.(2)由(1)得

,所以

.【加練·固】設(shè)a,b均為正實(shí)數(shù),n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,則M,N的大小關(guān)系為_(kāi)___________.

(提示：利用貝努利不等式，令x＝

).【解析】令x=,因?yàn)镸=(a+b)n,N=an+nan-1b,所以=(1+x)n,=1+nx.因?yàn)閍>0,b>0,所以x>0.由貝努利不等式得(1+x)n≥1+nx,所以,因?yàn)閍n>0,所以M≥N.答案:M≥N類型三利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式角度1證明一般不等式【典例】已知Sn=1+(n>1,n∈N+),求證:(n≥2,n∈N+). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【思維·引】由Sn的表達(dá)式寫(xiě)出的表達(dá)式,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

即當(dāng)n=2時(shí)命題成立.【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí),S4=,即當(dāng)n=2時(shí)命題成立.(2)假設(shè)n=k(k≥2,n∈N+)時(shí)命題成立,即

.當(dāng)n=k+1時(shí),故當(dāng)n=k+1時(shí),命題也成立.由(1)(2)知,對(duì)n∈N+,n≥2,都成立.【素養(yǎng)·探】利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題型,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理的核心素養(yǎng).證明:2n+2>n2,n∈N+.

【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=21+2=4;右邊=1,左邊>右邊;當(dāng)n=2時(shí),左邊=22+2=6,右邊=22=4,所以左邊>右邊;當(dāng)n=3時(shí),左邊=23+2=10,右邊=32=9,所以左邊>右邊.因此當(dāng)n=1,2,3時(shí),不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3且k∈N+)時(shí),不等式成立.則當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)(因?yàn)閗≥3,則k-3≥0,k+1>0,所以(k+1)(k-3)≥0,k2+2k+1=(k+1)2),所以2k+1+2>(k+1)2.故當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式也成立.根據(jù)(1)(2)得,原不等式對(duì)于任何n∈N+都成立.角度2證明數(shù)列不等式【典例】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a1=,an+2SnSn-1=0(n≥2). 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)判斷是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.(2)證明++…+≤-(n≥1且n∈N+).【思維·引】(1)由已知數(shù)列Sn與Sn-1的關(guān)系進(jìn)而證明是等差數(shù)列.(2)用數(shù)學(xué)歸納法完成證明.【解析】(1)是等差數(shù)列,證明如下:S1=a1=,所以=2.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1.所以-=2.故是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.(2)①當(dāng)n=1時(shí),==-,不等式成立.②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),不等式成立,即++…+≤-成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),++…++≤-+=-=-·<-·

=-.即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.由①,②可知對(duì)任意n∈N+不等式都成立.【類題·通】求解數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的綜合問(wèn)題的策略(1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問(wèn)題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),這是解決這類問(wèn)題的基礎(chǔ).(2)這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式有關(guān),有時(shí)要證明的式子是直接給出,有時(shí)是根據(jù)條件從前幾項(xiàng)入手,通過(guò)觀察、猜想,歸納出一個(gè)式子,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【習(xí)練·破】1.已知{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,令cn=(-1)nSn(n∈N*),{cn}的前20項(xiàng)和T20=330.數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列,前n項(xiàng)和為Wn,且b1=2,q3=a9.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.(2)證明:(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N+).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閏n=(-1)nSn,所以T20=-S1+S2-S3+S4-…+S20=330,即a2+a4+a6+…+a20=330,可得10(3+d)+×2d=330,解得d=3,所以an=3+3(n-1)=3n,q3=a9=27,q=3,所以bn=2×3n-1.(2)由(1)知,Wn==3n-1,要證(3n+1)Wn≥nWn+1,只需證(3n+1)(3n-1)≥n(3n+1-1),即證3n≥2n+1.當(dāng)n=1時(shí),3n=2n+1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n≥2時(shí),3n>2n+1.①當(dāng)n=2時(shí),左邊=9,右邊=5,左邊>右邊,不等式成立.②假設(shè)n=k(k≥2,k∈N+)時(shí),3k>2k+1,則n=k+1時(shí),3k+1=3×3k>3(2k+1)=6k+3>2(k+1)+1,所以n=k+1時(shí)不等式成立.根據(jù)①②可知:當(dāng)n≥2時(shí),3n>2n+1.綜上,3n≥2n+1對(duì)于n∈N+成立,所以(3n+1)Wn≥nWn+1(n∈N+).2.(2019·合肥高二檢測(cè))設(shè)f(n)>0(n∈N+),對(duì)任意自然數(shù)n1和n2總有f(n1+n2)=f(n1)f(n2),又f(2)=4.(1)求f(1),f(3)的值.(2)猜想f(n)的表達(dá)式,并證明你的猜想.【解題指南】利用f(n