重難點(diǎn)突破01概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：決策問(wèn)題 2題型二：道路通行問(wèn)題. 4題型三：保險(xiǎn)問(wèn)題 6題型四：概率最值問(wèn)題 8題型五：放回與不放回問(wèn)題 9題型六：體育比賽問(wèn)題 10題型七：幾何問(wèn)題 12題型八：彩票問(wèn)題 14題型九：納稅問(wèn)題 15題型十：疾病問(wèn)題 18題型十一：建議問(wèn)題 20題型十二：概率與數(shù)列遞推問(wèn)題 22題型十三：硬幣問(wèn)題 24題型十四：自主選科問(wèn)題 26題型十五：高爾頓板問(wèn)題 28題型十六：自主招生問(wèn)題 31題型十七：順序排位問(wèn)題 32題型十八：博彩問(wèn)題 3403過(guò)關(guān)測(cè)試 36

概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題，往往涉及數(shù)據(jù)的收集、處理、分析以及基于這些數(shù)據(jù)進(jìn)行決策。以下是一些方法技巧與總結(jié)：1、理解基本概念：首先，要牢固掌握概率與統(tǒng)計(jì)的基本概念，如隨機(jī)事件、概率分布、統(tǒng)計(jì)量等，這是解題的基礎(chǔ)。2、數(shù)據(jù)收集與處理：在實(shí)際問(wèn)題中，要合理設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)收集方案，確保數(shù)據(jù)的真實(shí)性和可靠性。同時(shí)，要善于運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖表等工具，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和展示。3、靈活運(yùn)用公式：概率與統(tǒng)計(jì)中有很多公式和定理，要熟練掌握并靈活運(yùn)用。在解題時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算。4、注重邏輯推理：概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題往往需要進(jìn)行邏輯推理和判斷。在解題時(shí)，要保持清晰的思路，逐步推導(dǎo)，得出正確的結(jié)論。綜上所述，解決概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題，需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、熟練的計(jì)算技巧以及良好的邏輯推理能力。通過(guò)不斷練習(xí)和總結(jié)，可以逐漸提高解題水平。題型一：決策問(wèn)題【典例1-1】2020年1月15日，教育部制定出臺(tái)了《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，由試點(diǎn)高校自主命題，校考過(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).(1)為了更好地服務(wù)于高三學(xué)生，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)隨機(jī)抽取的5名高三學(xué)生的記憶力和判斷力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到下表數(shù)據(jù)：689101223456請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合，并求關(guān)于的線性回歸方程（精確到0.01）；(2)現(xiàn)有甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過(guò)相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門筆試科目通過(guò)的概率均為，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門筆試科目通過(guò)的概率依次為、、，其中，根據(jù)規(guī)定每名考生只能報(bào)考強(qiáng)基計(jì)劃的一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，求該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)筆試時(shí)的取值范圍.【典例1-2】某綜藝節(jié)目，5位嘉賓輪流參與抽獎(jiǎng)．四個(gè)一模一樣的箱子，只有一個(gè)箱子有獎(jiǎng)品．抽獎(jiǎng)規(guī)則為主持人請(qǐng)嘉賓在四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由嘉賓獲得．前一位嘉賓抽獎(jiǎng)結(jié)束后，主持人重新布置箱子，邀請(qǐng)下一位嘉賓抽獎(jiǎng)．(1)記X為5位嘉賓中的中獎(jiǎng)人數(shù)，求X的分布列，均值和方差；(2)主持人宣布游戲升級(jí)，新的抽獎(jiǎng)規(guī)則是：當(dāng)嘉賓選好一個(gè)箱子后，主持人（他知道哪個(gè)箱子有獎(jiǎng)品）會(huì)打開(kāi)一個(gè)嘉賓沒(méi)有選擇的空箱子給嘉賓看，此后嘉賓可以選擇換一個(gè)箱子或者不換．嘉賓做出選擇后，主持人再打開(kāi)嘉賓最終選中的箱子，揭曉嘉賓是否中獎(jiǎng)．嘉賓的哪種決策會(huì)有更大可能抽中獎(jiǎng)品？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-1】某農(nóng)產(chǎn)品經(jīng)銷商計(jì)劃分別在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)銷售某種農(nóng)產(chǎn)品（兩個(gè)市場(chǎng)的銷售互不影響），為了了解該種農(nóng)產(chǎn)品的銷售情況，現(xiàn)分別調(diào)查了該農(nóng)產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)過(guò)去10個(gè)銷售周期內(nèi)的銷售情況，得下表：銷售量銷售周期個(gè)數(shù)市場(chǎng)3噸4噸5噸甲343乙253(1)從過(guò)去10個(gè)銷售周期中隨機(jī)抽取一個(gè)銷售周期，求甲市場(chǎng)銷售量為4噸的概率；(2)以市場(chǎng)銷售量的頻率代替銷售量的概率．設(shè)（單位：噸）表示下個(gè)銷售周期兩個(gè)市場(chǎng)的總銷售量，求隨機(jī)變量概率分布列；(3)在（2）的條件下，設(shè)該經(jīng)銷商計(jì)劃在下個(gè)銷售周期購(gòu)進(jìn)噸該產(chǎn)品，在甲、乙兩個(gè)市場(chǎng)同時(shí)銷售，已知該產(chǎn)品每售出1噸獲利1000元，未售出的產(chǎn)品降價(jià)處理，每噸虧損200元．以銷售利潤(rùn)的期望作為決策的依據(jù)，判斷與應(yīng)選用哪一個(gè)．題型二：道路通行問(wèn)題.【典例2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）近年來(lái)，汽車智能化自動(dòng)化方向發(fā)展迅速，某地區(qū)舉辦了面向中學(xué)生的智能小車大賽，其中初賽為自動(dòng)循跡小車比賽，要求參賽小車能在指定賽道按規(guī)則成功到達(dá)目標(biāo)地將晉級(jí)下一輪.賽道如圖所示，圖中每個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)路口且相鄰路口的道路長(zhǎng).點(diǎn)為小車的出發(fā)地，最下方五個(gè)點(diǎn)都是目標(biāo)地，規(guī)則為：①小車等可能的選擇右下，左下或水平路線行進(jìn)；②沿水平道路行駛到下一個(gè)路口后必須選擇右下或左下的路線行進(jìn).(1)求小車行駛到達(dá)目標(biāo)地的概率；(2)若云槐中學(xué)代表隊(duì)成功晉級(jí)，設(shè)其參賽小車行駛的距離為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【典例2-2】市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就讀的小學(xué)在丙地，三地之間的道路情況如圖所示．假設(shè)工作日不走其它道路，只在圖示的道路中往返，每次在路口選擇道路是隨機(jī)的．同一條道路去程與回程是否堵車相互獨(dú)立．假設(shè)李先生早上需要先開(kāi)車送小孩去丙地小學(xué)，再返回經(jīng)甲地趕去乙地上班．假設(shè)道路A，B，D上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，道路C，E上下班時(shí)間往返出現(xiàn)擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學(xué)和上班的都會(huì)遲到．(1)求李先生的小孩按時(shí)到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能夠按時(shí)上班？(3)設(shè)X表示李先生下班時(shí)從單位乙到達(dá)小學(xué)丙遇到擁堵的次數(shù)，求X的均值．【變式2-1】已知小田開(kāi)小汽車上班的道路A有5個(gè)紅綠燈路口（只有紅燈和綠燈），小田到達(dá)每一個(gè)路口遇到紅燈的概率都為，遇到綠燈的概率都為．(1)若小田從出門到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要5min，在路口遇到紅燈的平均等待時(shí)間為1min，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為2min，求小田從出門到辦公室的平均時(shí)間．(2)小田騎電動(dòng)車上班的道路B只有3個(gè)紅綠燈路口（只有紅燈和綠燈）．①若小田到達(dá)第一個(gè)路口遇到紅燈、綠燈的概率都為，一個(gè)路口遇到紅燈時(shí)下一個(gè)路口遇到紅燈和一個(gè)路口遇到綠燈時(shí)下一個(gè)路口遇到綠燈的概率都為，求小田遇到紅燈個(gè)數(shù)的平均值；②若小田從出門到第一個(gè)路口和最后一個(gè)路口到辦公室各需要4min，在路口遇到紅燈的平均等待時(shí)間為1min，每?jī)蓚€(gè)路口之間的行駛時(shí)間為5min，從時(shí)間來(lái)考慮，請(qǐng)問(wèn)小田上班是開(kāi)小汽車好，還是騎電動(dòng)車好？題型三：保險(xiǎn)問(wèn)題【典例3-1】某保險(xiǎn)公司為了給年齡在20~70歲的民眾提供某種醫(yī)療保障，設(shè)計(jì)了一款針對(duì)某疾病的保險(xiǎn).現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，并按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表所示：年齡40,5050,60保費(fèi)（單位：元）(1)若采用分層抽樣的方法，從年齡段在和40,50內(nèi)的參保人員中共抽取6人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)闹羞x取2人進(jìn)行調(diào)查對(duì)該種保險(xiǎn)的滿意度，求這2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)的概率.(2)由于10000人參加保險(xiǎn)，該公司每年為此項(xiàng)保險(xiǎn)支出的各種費(fèi)用為200萬(wàn)元.為使公司不虧本，則年齡段50,60的參保人員每人每年需要繳納的保費(fèi)至少為多少元？【典例3-2】（2024·江西上饒·一模）機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn)．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)兩部分，其中商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn)．經(jīng)驗(yàn)表明商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)（單位：元）由過(guò)去三年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，上饒市某機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)公司對(duì)于購(gòu)買保險(xiǎn)滿三年的汽車按如下表格計(jì)算商業(yè)險(xiǎn)費(fèi)用．（假設(shè)每年出險(xiǎn)次數(shù)2次及以上按2次計(jì)算）出險(xiǎn)情況商業(yè)險(xiǎn)折扣若基準(zhǔn)保費(fèi)3000元時(shí)對(duì)應(yīng)保費(fèi)三年內(nèi)6賠1.85400三-年內(nèi)5賠1.54500三年內(nèi)4賠1.23600三年內(nèi)3賠13000三年內(nèi)2賠0.82400三年內(nèi)1賠0.72100三年內(nèi)0賠0.61800(1)汽車的基準(zhǔn)保費(fèi)由車的價(jià)格決定，假定王先生的汽車基準(zhǔn)保費(fèi)為3000元，且過(guò)去8年都沒(méi)有出險(xiǎn)，近期發(fā)生輕微事故，王先生到汽車維修店詢價(jià)得知維修費(fèi)為1000元，理賠人員根據(jù)王先生過(guò)去一直安全行車的習(xí)慣，建議王先生出險(xiǎn)理賠，王先生是否該接受建議？（假設(shè)接下來(lái)三年王先生汽車基準(zhǔn)保費(fèi)不變，且都不出險(xiǎn)）(2)張先生有多年駕車經(jīng)驗(yàn)，用他過(guò)去的駕車出險(xiǎn)頻率估計(jì)概率，得知平均每年不出險(xiǎn)的概率為0.8，出一次險(xiǎn)的概率為0.1，出兩次險(xiǎn)的概率為0.1（兩次及以上按兩次算）．張先生近期買了一輛新車，商業(yè)險(xiǎn)基準(zhǔn)保費(fèi)為3000元（假設(shè)基準(zhǔn)保費(fèi)不變），求張先生新車剛滿三年時(shí)的商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)分布列及期望．【變式3-1】（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們生活水平的提高，汽車的保有量越來(lái)越高．汽車保險(xiǎn)費(fèi)是人們非常關(guān)心的話題．保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率，具體關(guān)系如下表：上一年的出險(xiǎn)次數(shù)次以上（含次）下一年的保費(fèi)倍率連續(xù)兩年沒(méi)有出險(xiǎn)打折，連續(xù)三年沒(méi)有出險(xiǎn)打折經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)與購(gòu)車價(jià)格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，下面是隨機(jī)采集的組數(shù)據(jù)（其中（萬(wàn)元）表示購(gòu)車價(jià)格，（元）表示商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)）：，，，，，，，．設(shè)由這組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為．（1）求的值．（2）某車主蔡先生購(gòu)買一輛價(jià)值萬(wàn)元的新車．①估計(jì)該車主蔡先生購(gòu)車時(shí)的商業(yè)車險(xiǎn)保費(fèi)．②若該車今年保險(xiǎn)期間內(nèi)已出過(guò)一次險(xiǎn)，現(xiàn)在又被刮花了，蔡先生到店詢價(jià)，預(yù)計(jì)修車費(fèi)用為元，保險(xiǎn)專員建議蔡先生自費(fèi)（即不出險(xiǎn)），你認(rèn)為蔡先生是否應(yīng)該接受建議？并說(shuō)明理由．（假設(shè)該車輛下一年與上一年購(gòu)買相同的商業(yè)車險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行續(xù)保）．題型四：概率最值問(wèn)題【典例4-1】某群體有4000人，假設(shè)攜帶乙肝病毒的占，某體檢機(jī)構(gòu)通過(guò)抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)4000次.為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法:隨機(jī)按照個(gè)人進(jìn)行分組，將各組個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這個(gè)人全部陰性;如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人的血樣再分別化驗(yàn)一次.假設(shè)每人的血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次的費(fèi)用為10元，個(gè)人混合化驗(yàn)一次的費(fèi)用為元.(1)若，記每人血樣化驗(yàn)的費(fèi)用為元，求的數(shù)學(xué)期望;(2)若，求當(dāng)取何值時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，并估計(jì)化驗(yàn)總費(fèi)用.參考公式:.【典例4-2】（2024·高三·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）某校社團(tuán)開(kāi)展知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，比賽有兩個(gè)階段，每隊(duì)由兩名成員組成.比賽規(guī)則如下：階段由某參賽隊(duì)中一名隊(duì)員答2個(gè)題，若兩次都未答對(duì)，則該隊(duì)被淘汰，該隊(duì)得0分；若至少答對(duì)一個(gè)，則該隊(duì)進(jìn)入階段，并獲得5分獎(jiǎng)勵(lì).在階段由參賽隊(duì)的另一名隊(duì)員答3個(gè)題，每答對(duì)一個(gè)得5分，答錯(cuò)得0分，該隊(duì)的成績(jī)?yōu)?，兩階段的得分總和.已知某參賽隊(duì)由甲乙兩人組成，設(shè)甲每次答對(duì)的概率為，乙每次答對(duì)的概率為，各次答對(duì)與否相互獨(dú)立.(1)若，甲參加階段比賽，求甲乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于10分的概率；(2)①設(shè)甲參加階段比賽，求該隊(duì)最終得分的數(shù)學(xué)期望（用表示）；②，且，設(shè)乙參加階段比賽時(shí)，該隊(duì)最終得分的數(shù)學(xué)期望為，則時(shí)，求的最小值.【變式4-1】某射擊隊(duì)員進(jìn)行打靶訓(xùn)練，每次是否命中十環(huán)相互獨(dú)立，且每次命中十環(huán)的概率為0.9，現(xiàn)進(jìn)行了n次打靶射擊，其中打中十環(huán)的數(shù)量為.(1)若，求恰好打中4次十環(huán)的概率（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；(2)要使的值最大，求n的值；(3)設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望及方差都存在，則，，，這就是著名的切比雪夫不等式.對(duì)于給定的隨機(jī)變量，其方差如果存在則是唯一確定的數(shù)，所以該不等式告訴我們：的概率必然隨的變大而縮小．為了至少有90%的把握使命中十環(huán)的頻率落在區(qū)間，請(qǐng)利用切比雪夫不等式估計(jì)射擊隊(duì)員打靶次數(shù)n的最小值.題型五：放回與不放回問(wèn)題【典例5-1】一個(gè)袋子里裝有除顏色以外完全相同的白球和黑球共10個(gè)，其中白球有4個(gè)，黑球有6個(gè).(1)若有放回地從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，求恰好摸到2個(gè)黑球的概率；(2)若不放回地從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，用表示摸出的黑球個(gè)數(shù)，求的分布列和期望與方差.【典例5-2】（2024·河南·三模）某校甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)興趣班要進(jìn)行擴(kuò)招，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)興趣班的海報(bào)宣傳，共有4名數(shù)學(xué)愛(ài)好者a，b，c，d報(bào)名參加（字母編號(hào)的排列是按照?qǐng)?bào)名的先后順序而定）．現(xiàn)通過(guò)一個(gè)小游戲進(jìn)行分班，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱子中放有紅球和黑球各2個(gè)，紅球和黑球除顏色不同之外，其余大小、形狀完全相同，按報(bào)名先后順序，先由第一名數(shù)學(xué)愛(ài)好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱子中；接著由下一名數(shù)學(xué)愛(ài)好者從箱子中不放回地摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至4名數(shù)學(xué)愛(ài)好者均摸球完畢．?dāng)?shù)學(xué)愛(ài)好者若摸出紅球，則被分至甲班，否則被分至乙班．(1)求a，b，c三名數(shù)學(xué)愛(ài)好者均被分至同一個(gè)興趣班的概率；(2)記甲、乙兩個(gè)興趣班最終擴(kuò)招的人數(shù)分別為e，f，記，求．【變式5-1】袋中裝有3個(gè)大小和質(zhì)地相同的白球，編號(hào)為1、2、3，從袋中依次取出兩個(gè)球，用、表示第一個(gè)及第二個(gè)球的編號(hào)，在以下兩種情況下分別求隨機(jī)變量、和的期望，并研究、和的關(guān)系．(1)有放回地依次取出兩個(gè)球；(2)不放回的依次取出兩個(gè)球．題型六：體育比賽問(wèn)題【典例6-1】（2024·上海奉賢·三模）在剛剛結(jié)束的杭州亞運(yùn)會(huì)上，中國(guó)羽毛球隊(duì)延續(xù)了傳統(tǒng)優(yōu)勢(shì)項(xiàng)目，以4金3銀2銅的成績(jī)傲視亞洲．在舊制的羽毛球賽中，只有發(fā)球方贏得這一球才可以得分，即如果發(fā)球方在此回合的爭(zhēng)奪中輸球，則雙方均不得分．但發(fā)球方輸?shù)舸嘶睾虾?，下一回合改為?duì)方發(fā)球．(1)在舊制羽毛球賽中，中國(guó)隊(duì)某運(yùn)動(dòng)員每一回合比賽贏球的概率均為，且各回合相互獨(dú)立．若第一回合該中國(guó)隊(duì)運(yùn)動(dòng)員發(fā)球，求第二回合比賽有運(yùn)動(dòng)員得分的概率；(2)羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊(duì)員往往會(huì)更加占據(jù)心理上的優(yōu)勢(shì)，給出以下假設(shè)：假設(shè)1：各回合比賽相互獨(dú)立；假設(shè)2：比賽雙方運(yùn)動(dòng)員甲和乙的實(shí)力相當(dāng)，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為；求第一回合發(fā)球者在整場(chǎng)比賽中先得第一分的概率，并說(shuō)明舊制是否合理？【典例6-2】為豐富和活躍學(xué)校教師業(yè)余文化生活，提高教師身體素質(zhì)，展現(xiàn)教師自我風(fēng)采，增進(jìn)教師溝通交流，陽(yáng)泉一中舉辦了2024年度第一屆青年教師團(tuán)建暨羽毛球比賽活動(dòng)，已知其決賽在小胡和小張之間進(jìn)行，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù)，已知該學(xué)校為本次決賽提供了1000元獎(jiǎng)金，并規(guī)定:若其中一人贏的場(chǎng)數(shù)先達(dá)到4場(chǎng)，則比賽終止，同時(shí)該人獲得全部獎(jiǎng)金;若比賽意外終止時(shí)無(wú)人先贏4場(chǎng)，則按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比給兩人分配獎(jiǎng)金.若每場(chǎng)比賽小胡贏的概率為，每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.(1)在已進(jìn)行的5場(chǎng)比賽中小胡贏了3場(chǎng)，若比賽繼續(xù)進(jìn)行到有人先贏4場(chǎng)，求小胡贏得全部獎(jiǎng)金的概率；(2)若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)時(shí)終止（含自然終止與意外終止），記小胡獲得獎(jiǎng)金數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【變式6-1】某學(xué)校高二年級(jí)乒乓球社團(tuán)舉辦了一次乒乓球比賽，進(jìn)入決賽的9名選手來(lái)自于3個(gè)不同的班級(jí)，三個(gè)班級(jí)的選手人數(shù)分別是2，3，4，本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名選手進(jìn)行8場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽采取5局3勝制，先贏得三場(chǎng)的人為獲勝者，比賽結(jié)束，根據(jù)積分選出最后的冠軍.如果最終積分相同，則同分選手加賽決出排名，積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的選手積3分，失敗的選手積0分；而在比賽中以3:2取勝的選手積2分，失敗的選手積1分.已知第6場(chǎng)是甲、乙之間的比賽，設(shè)每局比賽甲取勝的概率為).(1)若進(jìn)入決賽的9名選手獲得冠亞軍的概率相等，則比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率是多少?(2)在第6場(chǎng)比賽中，當(dāng)時(shí)，設(shè)甲所得積分為，求的分布列及期望.題型七：幾何問(wèn)題【典例7-1】如圖，在正方體的頂點(diǎn)處各掛一盞燈籠，每秒有且只有一個(gè)頂點(diǎn)處的燈籠被點(diǎn)亮，下一秒被點(diǎn)亮的燈籠必須與上一個(gè)頂點(diǎn)相鄰（在同一條棱上），且每個(gè)相鄰頂點(diǎn)的燈籠被點(diǎn)亮的概率相同，下一盞燈籠被點(diǎn)亮上一盞自動(dòng)熄滅．若初始亮燈點(diǎn)位于點(diǎn)處，第秒亮燈點(diǎn)在底面上的概率為．(1)求和的值；(2)推測(cè)與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式．【典例7-2】如圖，一只螞蟻從正方體的頂點(diǎn)出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)為一次爬行，每次爬行的方向是隨機(jī)的，螞蟻沿正方體上、下底面上的棱爬行的概率為，沿正方體的側(cè)棱爬行的概率為．

(1)若螞蟻爬行5次，求螞蟻在下底面頂點(diǎn)的概率；(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【變式7-1】如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，三棱錐的外接球半徑.

(1)求三棱錐的側(cè)面積的最大值；(2)若在底面上，有一個(gè)小球由頂點(diǎn)處開(kāi)始隨機(jī)沿底邊自由滾動(dòng)，每次滾動(dòng)一條底邊，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為；當(dāng)球在頂點(diǎn)處時(shí)，滾向頂點(diǎn)的概率為，滾向頂點(diǎn)的概率為.若小球滾動(dòng)3次，記球滾到頂點(diǎn)處的次數(shù)為，求數(shù)學(xué)期望的值.【變式7-2】（2024·江蘇南通·一模）已知正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為1．現(xiàn)從該棱錐的7個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.(1)求概率的值；(2)求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．題型八：彩票問(wèn)題【典例8-1】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)興趣小組模擬“刮刮樂(lè)”彩票游戲，每張彩票的刮獎(jiǎng)區(qū)印有從10個(gè)數(shù)字1，2，3，……，10中隨機(jī)抽取的3個(gè)不同數(shù)字，刮開(kāi)涂層即可兌獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)規(guī)則為：每張彩票只能中獎(jiǎng)一次（按照最高獎(jiǎng)勵(lì)算）若3個(gè)數(shù)的積為2的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中三等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積為5的倍數(shù)且不為3的倍數(shù)時(shí)，中二等獎(jiǎng)；若3個(gè)數(shù)的積既為3的倍數(shù)，又為4的倍數(shù)，又為7的倍數(shù)時(shí)，中一等獎(jiǎng)；其他情況不中獎(jiǎng)．(1)在一張彩票中獎(jiǎng)的前提下，求這張彩票是一等獎(jiǎng)的概率；(2)假設(shè)每張彩票售價(jià)為元，且獲得三、二、一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金分別為2元，3元，10元，從出售該彩票可獲利的角度考慮，求的最小值．【典例8-2】中國(guó)福利彩票雙色球游戲規(guī)則是由中華人民共和國(guó)財(cái)政部制定的規(guī)則，是一種聯(lián)合發(fā)行的“樂(lè)透型”福利彩票.“雙色球”彩票投注區(qū)分為紅色球號(hào)碼區(qū)和藍(lán)色球號(hào)碼區(qū)，“雙色球”每注投注號(hào)碼由6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼組成，紅色球號(hào)碼從1—33中選擇；藍(lán)色球號(hào)碼從1—16中選擇.“雙色球”獎(jiǎng)級(jí)設(shè)置分為高等獎(jiǎng)和低等獎(jiǎng)，一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)為高等獎(jiǎng)，三至六等獎(jiǎng)為低等獎(jiǎng).“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號(hào)碼與當(dāng)期開(kāi)出中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的球色和個(gè)數(shù)確定中獎(jiǎng)等級(jí)：一等獎(jiǎng)：7個(gè)號(hào)碼相符（6個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼）（紅色球號(hào)碼順序不限，下同）；二等獎(jiǎng)：6個(gè)紅色球號(hào)碼相符；三等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；四等獎(jiǎng)：5個(gè)紅色球號(hào)碼，或4個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；五等獎(jiǎng)：4個(gè)紅色球號(hào)碼，或3個(gè)紅色球號(hào)碼和1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符；六等獎(jiǎng)：1個(gè)藍(lán)色球號(hào)碼相符（有無(wú)紅色球號(hào)碼相符均可）.（1）求中三等獎(jiǎng)的概率（結(jié)果用a表示）；（2）小王買了一注彩票，在已知小王中了高等獎(jiǎng)的條件下，求小王中二等獎(jiǎng)的概率.參考數(shù)據(jù)：【變式8-1】在一種稱為“幸運(yùn)35”的福利彩票中，規(guī)定從01，02，…，35這35個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)不同號(hào)碼組成一注，并通過(guò)搖獎(jiǎng)機(jī)從這35個(gè)號(hào)碼中搖出7個(gè)不同的號(hào)碼作為特等獎(jiǎng).與特等獎(jiǎng)號(hào)碼僅6個(gè)相同的為一等獎(jiǎng)，僅5個(gè)相同的為二等獎(jiǎng)，僅4個(gè)相同的為三等獎(jiǎng)，其他的情況不得獎(jiǎng)比.為了便于計(jì)算，假定每個(gè)投注號(hào)只有1次中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（只計(jì)獎(jiǎng)金額最大的獎(jiǎng)），該期的每組號(hào)碼均有人買，且彩票無(wú)重復(fù)號(hào)碼比.若每注彩票為2元，特等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為100萬(wàn)元/注，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為1萬(wàn)元/注，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為100元/注，三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為10元/注，試求：(1)獎(jiǎng)金額X（元）的概率分布；(2)這一期彩票售完可以為福利事業(yè)籌集多少資金（不計(jì)發(fā)售彩票的費(fèi)用）？題型九：納稅問(wèn)題【典例9-1】（2024·四川南充·一模）自2019年1月1日起，對(duì)個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率進(jìn)行調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減去5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額．依照個(gè)人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計(jì)算方法如表：個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整前）個(gè)人所得稅稅率（調(diào)整后）免征額3500元免征額5000元級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）1不超過(guò)1500元的部分31不超過(guò)3000元的部分32超過(guò)1500元至4500元的部分102超過(guò)3000元至12000元的部分103超過(guò)4500元至9000元的部分203超過(guò)12000元至25000元的部分20………………(1)假如李先生某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記x表示總收入，y表示應(yīng)納的稅，試分別求出調(diào)整前和調(diào)整后y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)某稅務(wù)部門在李先生所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：收入（元）人數(shù)304010875先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再?gòu)闹羞x2人作為新納稅法知識(shí)宣講員，求選中的2人收入都在的概率；【典例9-2】個(gè)人所得稅起征點(diǎn)是個(gè)人所得稅工薪所得減除費(fèi)用標(biāo)準(zhǔn)或免征額，個(gè)稅起征點(diǎn)與個(gè)人稅負(fù)高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點(diǎn).隨著我國(guó)人民收入的逐步增加，國(guó)家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費(fèi)支出水平增長(zhǎng)等各方面因素，規(guī)定從2019年1月1日起，我國(guó)實(shí)施個(gè)稅新政.實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括:①個(gè)稅起征點(diǎn)為元②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除;③專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對(duì)應(yīng)的稅率表如下:舊個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元)新個(gè)稅稅率表(個(gè)稅起征點(diǎn)元)繳稅級(jí)數(shù)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)稅率/%每月應(yīng)納稅所得額(含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除稅率/%1不超過(guò)元不超過(guò)元2部分超過(guò)元至元部分部分超過(guò)元至元部分3超過(guò)元至元的部分超過(guò)元至元的部分4超過(guò)元至元的部分超過(guò)元至元的部分5超過(guò)元至元部分超過(guò)元至元部分············隨機(jī)抽取某市名同一收入層級(jí)的無(wú)親屬關(guān)系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無(wú)親屬關(guān)系的男性)的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2022年的人均月收入為元.統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)扣除，同時(shí)他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除.新個(gè)稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房元/月，子女教育每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月收入.根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題.（1）按新個(gè)稅方案，設(shè)該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個(gè)稅為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）根據(jù)新舊個(gè)稅方案，估計(jì)從2022年1月開(kāi)始，經(jīng)過(guò)幾個(gè)月，該市該收入層級(jí)的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個(gè)稅之和就能購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為元的華為智慧屏巨幕電視?【變式9-1】（2024·河南鄭州·三模）依法納稅是公民應(yīng)盡的義務(wù)，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個(gè)人收入的提高，自2018年10月1日起，個(gè)人所得稅起征點(diǎn)和稅率進(jìn)行了調(diào)整，調(diào)整前后的計(jì)算方法如下表，2018年12月22日國(guó)務(wù)院又印發(fā)了《個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除暫行辦法》(以下簡(jiǎn)稱《辦法》)，自2019年1月1日起施行，該《辦法》指出，個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除，是指?jìng)€(gè)人所得稅法規(guī)定的子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等6項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，2018年10月1日之前，“應(yīng)納稅所得額”“稅前收入”“險(xiǎn)金”“基本減除費(fèi)用(統(tǒng)一為3500元)”“依法扣除的其他扣除費(fèi)用”;自2019年1月1日起，“應(yīng)納稅所得額”“稅前收入”“險(xiǎn)金”“基本減除費(fèi)用(統(tǒng)一為5000元)”“專項(xiàng)附加扣除費(fèi)用”“依法扣除的其他扣除費(fèi)用.調(diào)整前后個(gè)人所得稅稅率表如下:個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整前）個(gè)人所得稅稅率表（調(diào)整后）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）級(jí)數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）1不超過(guò)1500元的部分31不超過(guò)3000元的部分32超過(guò)1500元至4500元的部分102超過(guò)3000元至12000元的部分103超過(guò)4500元至9000元的部分203超過(guò)12000元至25000元的部分20………………某稅務(wù)部門在小李所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個(gè)不同層次員工的稅前收入，扣除險(xiǎn)金后，制成下面的頻數(shù)分布表:收入（元）人數(shù)102025201510（Ⅰ）估算小李公司員工該月扣除險(xiǎn)金后的平均收入為多少?（Ⅱ）若小李在該月扣除險(xiǎn)金后的收入為10000元，假設(shè)小李除住房租金一項(xiàng)專項(xiàng)扣除費(fèi)用1500元外，無(wú)其他依法扣除費(fèi)用，則2019年1月1日起小李的個(gè)人所得稅，比2018年10月1日之前少交多少?（Ⅲ）先從收入在[9000，11000)及[11000，13000)的人群中按分層抽樣抽取7人，再?gòu)闹羞x2人作為新納稅法知識(shí)宣講員，求兩個(gè)宣講員不全是同一收入人群的概率.題型十：疾病問(wèn)題【典例10-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查出某種細(xì)菌感染性疾?。闃踊?yàn)顯示，當(dāng)前攜帶該細(xì)菌的人約占0.9%，若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)10000次．統(tǒng)計(jì)專家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組，將各組n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn)，若混合血樣呈陰性，則這n個(gè)人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽(yáng)性，則說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次．(1)若每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，n個(gè)人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元．問(wèn)n為何值時(shí)，化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最??？（注：當(dāng)時(shí)，）(2)該疾病主要是通過(guò)人與人之間進(jìn)行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是40歲以上．細(xì)菌進(jìn)入人體后有潛伏期．潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時(shí)間．潛伏期越長(zhǎng)，感染給他人的可能性越高．現(xiàn)對(duì)已發(fā)現(xiàn)的90個(gè)病例的潛伏期（單位：天）進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)潛伏期的平均數(shù)為7.2，方差為．如果認(rèn)為超過(guò)8天的潛伏期屬于“長(zhǎng)潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計(jì)樣本，得到下面的列聯(lián)表：年齡/人數(shù)長(zhǎng)期潛伏非長(zhǎng)期潛伏40歲以上155040歲及40歲以下1015①是否有95%的把握認(rèn)為“長(zhǎng)期潛伏”與年齡有關(guān)？②假設(shè)潛伏期X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差．為防止該疾病的傳播，現(xiàn)要求感染者的密接者居家觀察14天，請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其合理性．附：，0.10.050.0102.7063.8416.635若，則．【典例10-2】根據(jù)歷史資料顯示，某種慢性疾病患者的自然痊愈率為5%.為試驗(yàn)一種新藥，在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，醫(yī)院將此藥給10位病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10人中至少有2人痊愈，則認(rèn)為該藥有效，提高了治愈率；否則，則認(rèn)為該藥無(wú)效．(1)如果在該次試驗(yàn)中有5人痊愈，院方欲從參加該次試驗(yàn)的10人中隨機(jī)選2人了解服藥期間的感受，記抽到痊愈的人的個(gè)數(shù)為X，求X的概率分布．(2)在第（1）題的條件下求隨機(jī)變量X的期望與方差．(3)如果新藥有效，將治愈率提高到了50%，求通過(guò)試驗(yàn)卻認(rèn)定新藥無(wú)效的概率P并根據(jù)P的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性.（參考結(jié)論：通常認(rèn)為發(fā)生概率小于5%的事件可視為小概率事件）．【變式10-1】（2024·高三·江西贛州·期中）某藥廠生產(chǎn)的一種藥品，聲稱對(duì)某疾病的有效率為80%.若該藥對(duì)患有該疾病的病人有效，病人服用該藥一個(gè)療程，有90%的可能性治愈，有10%的可能性沒(méi)有治愈；若該藥對(duì)患有該疾病的病人無(wú)效，病人服用該藥一個(gè)療程，有40%的可能性自愈，有60%的可能性沒(méi)有自愈.(1)若該藥廠聲稱的有效率是真實(shí)的，利用該藥治療3個(gè)患有該疾病的病人，記一個(gè)療程內(nèi)康復(fù)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望；(2)一般地，當(dāng)比較大時(shí)，離散型的二項(xiàng)分布可以近似地看成連續(xù)型的正態(tài)分布，若，則可以近似看成隨機(jī)變量，，其中，，對(duì)整數(shù)，（），.現(xiàn)為了檢驗(yàn)此藥的有效率，任意抽取100個(gè)此種病患者進(jìn)行藥物臨床試驗(yàn)，如果一個(gè)療程內(nèi)至少有人康復(fù)，則此藥通過(guò)檢驗(yàn).現(xiàn)要求：若此藥的實(shí)際有效率為，通過(guò)檢驗(yàn)的概率不低于0.9772，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）題型十一：建議問(wèn)題【典例11-1】（2024·高三·廣東深圳·期末）在一個(gè)地區(qū)篩查某種疾病，由以往經(jīng)驗(yàn)可知該地區(qū)居民得此?。ㄑ簶颖净?yàn)呈陽(yáng)性）的概率為．根據(jù)需要，居民每三人一組進(jìn)行化驗(yàn)篩查，為節(jié)約資源，化驗(yàn)次數(shù)越少，則方法越優(yōu)．現(xiàn)對(duì)每組的3個(gè)樣本給出下面兩種化驗(yàn)方法：方法1：逐個(gè)化驗(yàn)；方法2：3個(gè)樣本各取一部分混合在一起化驗(yàn)．若混合樣本呈陽(yáng)性，就把這3個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判斷這3個(gè)樣本均為陰性．(1)若，用隨機(jī)變量表示3個(gè)樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的個(gè)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出的分布列并計(jì)算．(2)若p=0.25，現(xiàn)要完成化驗(yàn)篩查，請(qǐng)問(wèn)：哪種方法更優(yōu)？(3)若要完成化驗(yàn)篩查，且已知“方法2”比“方法1”更優(yōu)，求的取值范圍．【典例11-2】研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)y（分）與每天投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間x（分鐘）有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．某校數(shù)學(xué)小組為了研究如何高效利用自己的學(xué)習(xí)時(shí)間，收集了該校高三（1）班學(xué)生9個(gè)月內(nèi)在某學(xué)科（滿分100分）所投入的課后學(xué)習(xí)時(shí)間和月考成績(jī)的相關(guān)數(shù)據(jù)，下圖是該小組制作的原始數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖（散點(diǎn)圖）．月次123456789某科課后投入時(shí)間（分鐘）202530354045505560高三（1）班某科平均分（分）6568757273737373．573

(1)當(dāng)時(shí)，該小組建立了與的線性回歸模型，求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)當(dāng)時(shí)，由圖中觀察到，第3個(gè)月的數(shù)據(jù)點(diǎn)明顯偏離回歸直線，若剔除第3個(gè)月數(shù)據(jù)點(diǎn)后，用余下的4個(gè)散點(diǎn)做線性回歸分析，得到新回歸直線，證明：；(3)當(dāng)時(shí)，該小組確定了與滿足的線性回歸方程為：，該數(shù)學(xué)小組建議該班在該學(xué)科投入課后學(xué)習(xí)時(shí)間為40分鐘，請(qǐng)結(jié)合第（1）（2）問(wèn)的結(jié)論說(shuō)明該建議的合理性．附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【變式11-1】（2024·吉林·二模）我市近日開(kāi)展供熱領(lǐng)域民生問(wèn)題“大調(diào)研、大起底、大整治、大提升”工作，在調(diào)查階段，從兩小區(qū)一年供熱期的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了相同20天的觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到兩小區(qū)的同日室溫平均值如下圖所示：

根據(jù)室內(nèi)溫度（單位：），將供熱狀況分為以下三個(gè)等級(jí)：室內(nèi)溫度供熱等級(jí)不達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)舒適(1)試估計(jì)小區(qū)當(dāng)年（供熱期172天）的供熱狀況為“舒適”的天數(shù)；(2)若兩小區(qū)供熱狀況相互獨(dú)立，記事件“一天中小區(qū)供熱等級(jí)優(yōu)于小區(qū)供熱等級(jí)”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件的概率；(3)若從供熱狀況角度選擇生活地區(qū)居住，你建議選擇中的哪個(gè)小區(qū)，并簡(jiǎn)述判斷依據(jù).題型十二：概率與數(shù)列遞推問(wèn)題【典例12-1】（2024·高三·重慶·開(kāi)學(xué)考試）某趣味活動(dòng)設(shè)置了“謎語(yǔ)競(jìng)猜”和“知識(shí)競(jìng)答”兩個(gè)環(huán)節(jié)，小王參與這兩個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)．在“謎語(yǔ)競(jìng)猜”環(huán)節(jié)，設(shè)置①、②、③三道謎語(yǔ)題，猜謎者按照一定的順序猜謎，只有猜對(duì)當(dāng)前謎語(yǔ)才能繼續(xù)競(jìng)猜下一道謎語(yǔ)，并且獲得本謎語(yǔ)的獎(jiǎng)金．每次猜謎的結(jié)果相互獨(dú)立．猜對(duì)三道謎語(yǔ)的概率及獲得的相應(yīng)獎(jiǎng)金如下表：謎語(yǔ)①②③猜對(duì)的概率0.80.5獲得的獎(jiǎng)金（元）102030(1)若，按“①、②、③”的順序猜謎．在所獲獎(jiǎng)金不低于10元的條件下，求小王所獲獎(jiǎng)金為30元的概率；(2)假設(shè)只按“①、②、③”和“③、②、①”兩種順序猜謎．若以猜謎所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小王應(yīng)按哪種順序猜謎所獲獎(jiǎng)金更多？(3)在“知識(shí)競(jìng)答環(huán)節(jié)，參賽者要回答A、B兩類問(wèn)題，每個(gè)參賽者回答n次，每次回答一個(gè)問(wèn)題，若回答正確，則下一個(gè)問(wèn)題從B類中隨機(jī)抽??；若回答錯(cuò)誤，則下一個(gè)問(wèn)題從A類中隨機(jī)抽取，規(guī)定每位參賽者回答的第一個(gè)問(wèn)題從A類中抽?。阎⊥跄苷_回答A類問(wèn)題的概率為，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為，且每次回答問(wèn)題正確與否相互獨(dú)立，求小王第n次回答正確的概率．【典例12-2】（2024·高三·江西·開(kāi)學(xué)考試）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，即第n＋1次狀態(tài)的概率分布只與第n次的狀態(tài)有關(guān)，與第，…次的狀態(tài)無(wú)關(guān)，即．已知甲盒中裝有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，乙盒中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒中各任取1個(gè)球交換放入對(duì)方的盒中，重復(fù)n次（）這樣的操作，記此時(shí)甲盒中白球的個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有2個(gè)白球的概率為，恰有1個(gè)白球的概率為．(1)求和．(2)證明：為等比數(shù)列．(3)求的數(shù)學(xué)期望（用n表示）．【變式12-1】（2024·高三·貴州貴陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，單位圓上的一質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，每一次在圓弧上等可能地逆時(shí)針或順時(shí)針移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)次回到起始位置的概率為.(1)求及的值：(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.題型十三：硬幣問(wèn)題【典例13-1】甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰(shuí)先擲出正面誰(shuí)就勝，上一局的負(fù)者下一局先擲．問(wèn)：(1)第一局甲勝的概率；(2)第局甲勝的概率．【典例13-2】到年全面建成小康社會(huì)，是我們黨向人民、向歷史作出的莊嚴(yán)承諾.農(nóng)村貧困人口脫貧是全面建成小康社會(huì)最艱巨的任務(wù).習(xí)近平總書(shū)記提出的“精準(zhǔn)扶貧”理論體系，為欠發(fā)達(dá)地區(qū)推進(jìn)扶貧攻堅(jiān)、實(shí)現(xiàn)與全國(guó)同步全面建成小康社會(huì)提供了重要的理論依據(jù).各地區(qū)政府采用多種渠道進(jìn)行扶貧投資開(kāi)發(fā)，其中一項(xiàng)就是引入風(fēng)險(xiǎn)投資基金.甲、乙兩家風(fēng)險(xiǎn)投資公司看中一個(gè)扶貧項(xiàng)目，要對(duì)其進(jìn)行投資，甲、乙公司經(jīng)理決定用擲硬幣的方式?jīng)Q定投資金額，已知每次投擲中，硬幣出現(xiàn)正面或反面的概率都是.由于兩家公司規(guī)模不同，每次擲硬幣中，若出現(xiàn)正面，則甲公司增加投資萬(wàn)元，乙公司不增加投資；若出現(xiàn)反面，則乙公司增加投資萬(wàn)元，甲公司不增加投資.（1）求擲硬幣次后，投資資金總和的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）求投資資金總和恰好為萬(wàn)元的概率.【變式13-1】甲和乙每人擲五枚硬幣，每個(gè)硬幣正面朝上或反面朝上的概率相等，且每個(gè)結(jié)果相互獨(dú)立，如果甲的硬幣正面朝上的數(shù)量比乙的多，那么這個(gè)游戲甲獲勝．如果甲乙兩人正面朝上的硬幣數(shù)量相同，那么這個(gè)游戲就是平局．(1)求甲乙兩人平局的概率；(2)求甲獲勝的概率．【變式13-2】（2024·河北·一模）某商場(chǎng)周年慶進(jìn)行大型促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，活動(dòng)期間在商場(chǎng)消費(fèi)達(dá)到一定金額的人可以參加游戲，游戲規(guī)則如下：在一個(gè)盒子里放著六枚硬幣，其中有三枚正常的硬幣，一面印著字，一面印著花；另外三枚硬幣是特制的，有兩枚雙面都印著字，一枚雙面都印著花，規(guī)定印著字的面為正面，印著花的面為反面．游戲者蒙著眼睛隨機(jī)從盒子中抽取一枚硬幣并連續(xù)投擲兩次，由工作人員告知投擲的結(jié)果，若兩次投擲向上的面都是正面，則進(jìn)入最終挑戰(zhàn)，否則游戲結(jié)束，不獲得任何禮券．最終挑戰(zhàn)的方式是進(jìn)行第三次投擲，有兩個(gè)方案可供選擇：方案一，繼續(xù)投擲之前抽取的那枚硬幣，如果擲出向上的面為正面，則獲得200元禮券，方案二，不使用之前抽取的硬幣，從盒子里剩余的五枚硬幣中再次隨機(jī)抽取一枚投擲，如果擲出向上的面為正面，則獲得300元禮券，不管選擇方案一還是方案二，如果擲出向上的面為反面，則獲得100元禮券．(1)求第一次投擲后，向上的面為正面的概率．(2)若已知某顧客抽取一枚硬幣后連續(xù)兩次投擲，向上的面均為正面，求該硬幣是正常硬幣的概率．(3)在已知某顧客進(jìn)入了最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)的條件下，試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得的禮券的數(shù)學(xué)期望，并以此判斷應(yīng)該選擇哪種抽獎(jiǎng)方案更合適．題型十四：自主選科問(wèn)題【典例14-1】（2024·高三·山西臨汾·期中）山西省高考綜合改革從2022年秋季入學(xué)的高一年級(jí)學(xué)生開(kāi)始實(shí)施，新高考將實(shí)行“3＋1＋2”模式，其中3表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科必選，1表示從物理、歷史兩科中選擇一科，2表示從化學(xué)、生物學(xué)、思想政治、地理四科中選擇兩科.相應(yīng)的，高校在招生時(shí)可對(duì)特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.現(xiàn)從某中學(xué)2022年高一年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行選科情況調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況1史化生6物化政11史地政16物化地2物化地7物化生12物化地17物化政3物化地8史生地13物生地18物化地4史生地9史化地14物化地19史化地5史地政10史化政15物地政20史地政(1)請(qǐng)創(chuàng)建列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)聯(lián).(2)某高校在其人工智能方向?qū)I(yè)甲的招生簡(jiǎn)章中明確要求，考生必須選擇物理，且在化學(xué)和生物學(xué)2門中至少選修1門，方可報(bào)名.現(xiàn)從該中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)具備這所高校專業(yè)甲報(bào)名資格的人數(shù)為，用樣本的頻率估計(jì)概率，求的分布列與期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【典例14-2】（2024·河北唐山·二模）目前，全國(guó)多數(shù)省份已經(jīng)開(kāi)始了新高考改革．改革后，考生的高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門全國(guó)統(tǒng)一考試科目成績(jī)和3門選擇性科目成績(jī)組成．注：甲、乙兩名同學(xué)對(duì)選擇性科目的選擇是隨機(jī)的．(1)A省規(guī)定：選擇性考試科目學(xué)生可以從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中任選3門參加選擇性考試．求甲同學(xué)在選擇物理科目的條件下，選擇化學(xué)科目的概率；(2)B省規(guī)定：3門選擇性科目由學(xué)生首先從物理科目和歷史科目中任選1門，再?gòu)乃枷胝?、地理、化學(xué)、生物4門科目中任選2門．①求乙同學(xué)同時(shí)選擇物理科目和化學(xué)科目的概率；②為調(diào)查學(xué)生的選科情況，從某校高二年級(jí)抽取了10名同學(xué)，其中有6名首選物理，4名首選歷史．現(xiàn)從這10名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查．將其中首選歷史的人數(shù)記作X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式14-1】（2024·高三·上海浦東新·期中）2024屆起，上海實(shí)行高考改革新方案．新方案規(guī)定：語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)是考生的必考科目，考生還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門科目中選取3門作為選考科目．某校為了解高一年級(jí)360名學(xué)生選科方案的意向，隨機(jī)選取36名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表：性別人數(shù)物理化學(xué)生物政治歷史地理男生1616168242女生20442061610(1)估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生中，選科方案為“物理、化學(xué)、歷史”組合的男生有多少人？(2)從選取的16名男生中隨機(jī)選出2名，求恰好有1人選“物理、化學(xué)、生物”組合的概率；(3)已知選取的20名女生有且僅有“物理、化學(xué)、生物”、“生物、政治、歷史”、“生物、歷史、地理”3種選科方案，若從選取的20名女生中隨機(jī)選出2名，設(shè)隨機(jī)變量為，其中兩名學(xué)生選科方案不同時(shí)，，兩名學(xué)生選科方案相同時(shí)，，求的分布列與期望．【變式14-2】材料一：2018年，全國(guó)逾半省份將從秋季入學(xué)的高一年級(jí)開(kāi)始實(shí)行新的學(xué)業(yè)水平考試和高考制度．所有省級(jí)行政區(qū)域均突破文理界限，由學(xué)生跨文理選科，均設(shè)置“”的考試科目．前一個(gè)“3”為必考科目，為統(tǒng)一高考科目語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ).除個(gè)別省級(jí)行政區(qū)域仍執(zhí)行教育部委托的分省命題任務(wù)外，絕大部分省級(jí)行政區(qū)域均由教育部考試中心統(tǒng)一命題；后一個(gè)“3”為高中學(xué)業(yè)水平考試（簡(jiǎn)稱“學(xué)考”）選考科目，由各省級(jí)行政區(qū)域自主命題．材料二：2019年4月，河北、遼寧、江蘇、福建、湖北、湖南、廣東、重慶等8省市發(fā)布高考綜合改革實(shí)施方案，方案決定從2018年秋季入學(xué)的高中一年級(jí)學(xué)生開(kāi)始實(shí)施高考綜合改革．考生總成績(jī)由全國(guó)統(tǒng)一高考的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3個(gè)科目成績(jī)和考生選擇的3科普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試科目成績(jī)組成，滿分為750分．即通常所說(shuō)的“”模式，所謂“”，即“3”是三門主科，分別是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，這三門科目是必選的．“1”指的是要在物理、歷史里選一門，按原始分計(jì)入成績(jī)．“2”指考生要在生物、化學(xué)、思想政治、地理4門中選擇2門．但是這幾門科目不以原始分計(jì)入成績(jī)，而是等級(jí)賦分．等級(jí)賦分指的是把考生的原始成績(jī)根據(jù)人數(shù)的比例分為、、、、五個(gè)等級(jí)，五個(gè)等級(jí)分別對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的分?jǐn)?shù)區(qū)間，然后再用公式換算，轉(zhuǎn)換得出分?jǐn)?shù)．（1）若按照“”模式選科，求選出的六科中含有“語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，外語(yǔ)，物理，化學(xué)”的概率．（2）某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語(yǔ)數(shù)外三科成績(jī)與選科之間的關(guān)系，現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生2500名參加語(yǔ)數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試，滿分450分，并給前400名頒發(fā)榮譽(yù)證書(shū)，假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績(jī)服從正態(tài)分布，且滿分為450分；①考生甲得知他的成績(jī)?yōu)?70分，考試后不久了解到如下情況：“此次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?71分，351分以上共有57人”，問(wèn)甲能否獲得榮譽(yù)證書(shū)，請(qǐng)說(shuō)明理由；②考生丙得知他的實(shí)際成績(jī)?yōu)?30分，而考生乙告訴考生丙：“這次測(cè)試平均成績(jī)?yōu)?01分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙同學(xué)辨別乙同學(xué)信息的真?zhèn)危剑?；?題型十五：高爾頓板問(wèn)題【典例15-1】如圖所示的高爾頓板，小球從通道口落下，第1次與第2層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過(guò)6次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為1，2…，7的球槽內(nèi).

(1)若進(jìn)行一次以上試驗(yàn)，求小球落入6號(hào)槽的概率；(2)小明同學(xué)利用該圖中的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，8元可以玩一次游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中（i）求的分布列；（ii）很多同學(xué)參加了游戲，你覺(jué)得小明同學(xué)能盈利嗎？【典例15-2】高爾頓板又稱豆機(jī)、梅花機(jī)等，是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型．如圖所示的高爾頓板為一塊木板自上而下釘著6層圓柱形小木塊，最頂層有2個(gè)小木塊，以下各層小木塊的個(gè)數(shù)依次遞增，各層小木塊互相平行但相互錯(cuò)開(kāi)，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊透明玻璃．讓小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落過(guò)程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或者向右滾下，最后落入高爾頓板下方從左至右編號(hào)為1，2，…，6的球槽內(nèi)．

(1)某商店將該高爾頓板改良成游戲機(jī)，針對(duì)某商品推出促銷活動(dòng)．凡是入店購(gòu)買該商品一件，就可以獲得一次游戲機(jī)會(huì)．若小球落入號(hào)球槽，該商品可立減元，其中．若該商品的成本價(jià)是10元，從期望的角度考慮，為保證該商品總體能盈利，求該商品的最低定價(jià)．（結(jié)果取整數(shù)）(2)將79個(gè)小球依次從高爾頓板上方的通道口落下，試問(wèn)3號(hào)球槽中落入多少個(gè)小球的概率最大？附：設(shè)隨機(jī)變量，則的分布列為，．．【變式15-1】高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過(guò)程中與層層小木塊碰撞，且等可能向左或向右滾下，最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾頓板有層小木塊，小球從通道口落下，第一次與第層中間的小木塊碰撞，以的概率向左或向右滾下，依次經(jīng)過(guò)次與小木塊碰撞，最后掉入編號(hào)為、、、的球槽內(nèi).例如小球要掉入號(hào)球槽，則在次碰撞中有次向右次向左滾下.

(1)如圖1，進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，試比較小球落入號(hào)球槽、號(hào)球槽的概率大小；(2)小明改進(jìn)了高爾頓板（如圖2），首先將小木塊減少至層，且小球在下落的過(guò)程中與小木塊碰撞一次時(shí)，有的概率向左，的概率向右滾下，小球共經(jīng)過(guò)次碰撞后，最后掉入編號(hào)為、、、的球槽內(nèi).小明準(zhǔn)備利用改進(jìn)后的高爾頓板進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，只需付費(fèi)元就可以玩一次游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中.你覺(jué)得小明能盈利嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式15-2】高爾頓板是英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)用來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．讓一個(gè)小球從高爾頓板上方的通道口落下，小球在下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的球槽內(nèi)．球槽從左到右分別編號(hào)為．

(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn)，求這個(gè)小球掉入號(hào)球槽的概率；(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后，利用該圖中的高爾頓板來(lái)到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎(jiǎng)”活動(dòng)，元可以玩一次高爾頓板游戲，小球掉入號(hào)球槽得到的獎(jiǎng)金為元，其中．①求的分布列；②高爾頓板游戲火爆進(jìn)行，很多同學(xué)參加了游戲，你覺(jué)得小明同學(xué)能盈利嗎？題型十六：自主招生問(wèn)題【典例16-1】（2024·高三·廣東揭陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）某高中在招高一新生時(shí)，有統(tǒng)一考試招生和自主招生兩種方式．參加自主招生的同學(xué)必須依次進(jìn)行“語(yǔ)文”“數(shù)學(xué)”“科學(xué)”三科的考試，若語(yǔ)文達(dá)到優(yōu)秀，則得1分，若數(shù)學(xué)達(dá)到優(yōu)秀，則得2分，若科學(xué)達(dá)到優(yōu)秀，則得3分，若各科未達(dá)到優(yōu)秀，則不得分．已知小明三科考試都達(dá)到優(yōu)秀的概率為，至少一科考試優(yōu)秀的概率為，數(shù)學(xué)考試達(dá)到優(yōu)秀的概率為，語(yǔ)文考試達(dá)到優(yōu)秀的概率大于科學(xué)考試達(dá)到優(yōu)秀的概率，且小明各科達(dá)到優(yōu)秀與否相互獨(dú)立．(1)求小明語(yǔ)文考試達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)求小明三科考試所得總分的分布列和期望．【典例16-2】某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“通過(guò)”與“不通過(guò)”，兩部分考試都“通過(guò)”者，則考試“通過(guò)".并給予錄取.甲?乙兩人都參加此高校的自主招生考試，甲?乙兩人在筆試中“通過(guò)”的概率依次為，在面試中“通過(guò)”的概率依次為，筆試和面試是否“通過(guò)”是獨(dú)立的.(1)甲?乙兩人誰(shuí)獲得錄取的可能性大？請(qǐng)說(shuō)明理由：(2)求甲?乙兩人中至少有一人獲得錄取的概率.【變式16-1】某學(xué)校實(shí)行自主招生，參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答，至少答對(duì)3個(gè)才能通過(guò)初試已知甲、乙兩人參加初試，在這8個(gè)試題中甲能答對(duì)6個(gè)，乙能答對(duì)每個(gè)試題的概率為，且甲、乙兩人是否答對(duì)每個(gè)試題互不影響.（1）試通過(guò)概率計(jì)算，分析甲、乙兩人誰(shuí)通過(guò)自主招生初試的可能性更大；（2）若答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)或不答得0分，記乙答題的得分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望和方差.題型十七：順序排位問(wèn)題【典例17-1】陶瓷歷史已逾千年，始于春秋，興于遼金，盛于明清.目前某省有53家陶瓷企業(yè)，某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過(guò)程必須先后經(jīng)過(guò)兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蟛趴蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過(guò)第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，，，經(jīng)過(guò)第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格概率依次為，，.(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；(2)經(jīng)過(guò)前后兩次燒制后，如果陶瓷合格則可以上市銷售，每件陶器可獲利100元；如果陶器不能合格，則每件陶器虧損80元，求這3件陶器最終盈虧的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3)，，三位學(xué)徒跟師傅學(xué)習(xí)制作某種陶器，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，他們各自能制作成功該陶器的概率分別為，，，且，現(xiàn)需要他們?nèi)酥谱饕患撎掌鳎看沃挥幸粋€(gè)人制作且每個(gè)人只制作一次，如果有一個(gè)人制作失敗則換下一個(gè)人重新制作，若陶器制作成功則結(jié)束.按，，的順序制作陶器，若，，求制作陶器人數(shù)的數(shù)學(xué)期望的最大值.【典例17-2】（2024·高三·北京·開(kāi)學(xué)考試）乒乓球運(yùn)動(dòng)在中國(guó)風(fēng)靡，成為了中國(guó)的國(guó)球體育項(xiàng)目.某校擬從5名優(yōu)秀乒乓球愛(ài)好者中抽選人員分批次參加社區(qū)活動(dòng).活動(dòng)共分3個(gè)批次進(jìn)行，每批次活動(dòng)需要同時(shí)派送2名選手，且每次派送選手均從5人中隨機(jī)抽選.已知這5名選手中，2人有比賽經(jīng)驗(yàn)，3人沒(méi)有比賽經(jīng)驗(yàn).(1)求5名選手中的“1號(hào)選手”，在這3批次活動(dòng)中有且只有一次被抽選到的概率；(2)第二次抽選時(shí)，選到?jīng)]有比賽經(jīng)驗(yàn)的選手的人數(shù)最有可能是幾人？說(shuō)明理由；(3)現(xiàn)在需要2名選手完成某項(xiàng)加賽，比賽方式為2名選手依次參賽，如果前一位選手不能獲勝，則再派另一位選手.若有A、兩位選手可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為、，且.假設(shè)各人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立，則當(dāng)派出選手的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最小時(shí)，直接寫(xiě)出A、兩位選手的派遣順序.【變式17-1】（2024·遼寧葫蘆島·一模）2024年初，OpenAI公司發(fā)布了新的文生視頻大模型：“Sora”，Sora模型可以生成最長(zhǎng)60秒的高清視頻．Sora一經(jīng)發(fā)布在全世界又一次掀起了人工智能的熱潮．為了培養(yǎng)具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生，某高校決定選拔優(yōu)秀的中學(xué)生參加人工智能冬令營(yíng)．選拔考試分為“Python編程語(yǔ)言”和“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”兩個(gè)科目，考生兩個(gè)科目考試的順序自選，若第一科考試不合格，則淘汰；若第一科考試合格則進(jìn)行第二科考試，無(wú)論第二科是否合格，考試都結(jié)束．“Python編程語(yǔ)言”考試合格得4分，否則得0分；“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格得6分，否則得0分．已知甲同學(xué)參加“Python編程語(yǔ)言”考試合格的概率為0.8，參加“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法”考試合格的概率為0.7．(1)若甲同學(xué)先進(jìn)行“Python編程語(yǔ)言”考試，記為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求的分布列；(2)為使累計(jì)得分的期望最大，甲同學(xué)應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．【變式17-2】（2024·高三·北京·期中）某校舉辦知識(shí)競(jìng)賽，已知學(xué)生甲是否做對(duì)每個(gè)題目相互獨(dú)立，做對(duì)A，B，C三道題目的概率以及做對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金如表所示．規(guī)則如下：按照A，B，C的順序做題，只有做對(duì)當(dāng)前題目才有資格做下一題．題目ABC做對(duì)的概率獲得的獎(jiǎng)金/元3264128[注：甲最終獲得的獎(jiǎng)金為答對(duì)的題目相對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金總和．](1)求甲沒(méi)有獲得獎(jiǎng)金的概率；(2)求甲最終獲得的獎(jiǎng)金X的分布列及期望；(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎(jiǎng)金期望是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序最終獲得的獎(jiǎng)金期望最大？（不需要具體計(jì)算過(guò)程，只需給出判斷）題型十八：博彩問(wèn)題【典例18-1】公元1651年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡提請(qǐng)了一個(gè)問(wèn)題，帕斯卡和費(fèi)馬討論了這個(gè)問(wèn)題，后來(lái)惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答該問(wèn)題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.（1）甲、乙賭博意外終止，若，則甲應(yīng)分得多少賭注？（2）記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.【典例18-2】公元年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫(Demere)向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡(B.Pascal)提請(qǐng)了一個(gè)問(wèn)題，帕斯卡和費(fèi)馬(Fermat)討論了這個(gè)問(wèn)題，后來(lái)惠更斯(C.Huygens)也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答.該問(wèn)題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭博意外終止.賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.（1）規(guī)定如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.若，，，，，則甲應(yīng)分得多少賭注？（2）記事件為“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)，，時(shí)賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.【變式18-1】一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒(méi)收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，倍的獎(jiǎng)勵(lì)（），且游戲費(fèi)仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為元．（1）求概率的值；（2）為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求的最小值．（注：概率學(xué)源于賭博，請(qǐng)自覺(jué)遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒颍。?．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元，現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）．若將這100臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)．(1)求的分布；(2)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與18之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？并說(shuō)明理由．2．為貫徹落實(shí)黨的二十大精神，促進(jìn)群眾體育全面發(fā)展.奮進(jìn)中學(xué)舉行了趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，有一個(gè)項(xiàng)目是“沙包擲準(zhǔn)”，具體比賽規(guī)則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線處，手持沙包隨機(jī)地?cái)S向前方的三個(gè)箱子中的任意一個(gè)，每名選手?jǐn)S5個(gè)大小形狀質(zhì)量相同?編號(hào)不同的沙包.規(guī)定：每次沙包投進(jìn)1號(hào)?2號(hào)?3號(hào)箱分別可得3分?4分?5分，沒(méi)有投中計(jì)0分.每名選手將累計(jì)得分作為最終成績(jī).(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進(jìn)入不同箱子的方法數(shù)；(2)賽前參賽選手經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的練習(xí)，選手每次投中1號(hào)?2號(hào)?3號(hào)箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經(jīng)決定5次投擲的目標(biāo)箱且比賽中途不變更投擲目標(biāo).假設(shè)各次投擲結(jié)果相互獨(dú)立，且投擲時(shí)不會(huì)出現(xiàn)末中目標(biāo)箱而誤中其它箱的情況.（i）若以比賽結(jié)束時(shí)累計(jì)得分?jǐn)?shù)作為決策的依據(jù)，你建議選手選擇幾號(hào)箱？（ii）假設(shè)選手得了23分，請(qǐng)你幫設(shè)計(jì)一種可能贏的投擲方案，并計(jì)算該方案獲勝的概率.3．機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)即汽車保險(xiǎn)（簡(jiǎn)稱車險(xiǎn)），是指對(duì)機(jī)動(dòng)車輛由于自然災(zāi)害或意外事故所造成的人身傷亡或財(cái)產(chǎn)損失負(fù)賠償責(zé)任的一種商業(yè)保險(xiǎn).機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)一般包括交強(qiáng)險(xiǎn)和商業(yè)險(xiǎn)兩部分，其中商業(yè)險(xiǎn)包括基本險(xiǎn)和附加險(xiǎn).經(jīng)驗(yàn)表明新車商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)（單位：元）與購(gòu)車價(jià)格（單位：元）近似滿足函數(shù)，且上一年的出險(xiǎn)次數(shù)決定了下一年的保費(fèi)倍率.佛山市某機(jī)動(dòng)車輛保險(xiǎn)公司將上一年的出險(xiǎn)次數(shù)與下一年的保費(fèi)倍率的具體關(guān)系制作如下表格：上一年出險(xiǎn)次數(shù)012345次以上（含5次）下一年保費(fèi)倍率85%100%125%150%175%200%連續(xù)兩年沒(méi)有出險(xiǎn)打7折，連續(xù)三年沒(méi)有出險(xiǎn)打6折王先生于2021年3月份購(gòu)買了一輛30萬(wàn)元的新車，一直到2022年12月沒(méi)有出過(guò)險(xiǎn)，但于2023年買保險(xiǎn)前僅出過(guò)兩次險(xiǎn).(1)王先生在2023年應(yīng)交商業(yè)險(xiǎn)保費(fèi)多少元？(2)保險(xiǎn)公司計(jì)劃為前來(lái)續(xù)保的每一位車主提供抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)100元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，第二次開(kāi)始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，車主所獲得的獎(jiǎng)券可以抵扣續(xù)保費(fèi).為了激勵(lì)車主謹(jǐn)慎駕駛，保險(xiǎn)公司規(guī)定：上一年沒(méi)有出險(xiǎn)的車主可以抽獎(jiǎng)6次，車主每增加一次出險(xiǎn)就減少一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).記車主第i次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為.（i）寫(xiě)出與的遞推關(guān)系式（其中且）；（ii）若按照保險(xiǎn)公司的計(jì)劃，且王先生不放棄每一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，王先生在2023年續(xù)保商業(yè)險(xiǎn)時(shí)，實(shí)際支付保費(fèi)的期望值為多少？4．保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表(并以此估計(jì)賠付概率)：工種類別ABC賠付頻率已知三類工種職工每人每年需交的保費(fèi)分別為25元?25元?40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元?100萬(wàn)元?50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.（1）設(shè)A類工種職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X(元)，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）若該公司全員參加保險(xiǎn)，求保險(xiǎn)公司該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值；（3）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，若出意外，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外職工，且企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作每年還需另外固定支出12萬(wàn)元；方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.5．（2024·高三·云南德宏·開(kāi)學(xué)考試）在剛剛結(jié)束的巴黎奧運(yùn)會(huì)中，國(guó)球選手再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險(xiǎn)激烈的就是男單決賽，中國(guó)選手樊振東對(duì)戰(zhàn)日本選手張本智和．比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．(1)樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時(shí)張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，樊振東發(fā)球時(shí)他自己得分的概率為0.6，張本智和發(fā)球時(shí)樊振東得分的概率為0.5，每次發(fā)球的結(jié)果相互獨(dú)立，令人遺?的是該局比賽結(jié)果，樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概率；(2)在本場(chǎng)比賽中，張本智和先以領(lǐng)先．根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲勝的概率為，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)兩人又進(jìn)行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學(xué)期望6．（2024·高三·河南安陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）乒乓球是我國(guó)的國(guó)球，“乒乓精神”激勵(lì)了一代又一代國(guó)人，為弘揚(yáng)國(guó)球精神，傳承乒乓球文化，強(qiáng)健學(xué)生體魄，某中學(xué)舉行了乒乓球單打比賽，比賽采用7局4勝制，每局比賽11分制，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對(duì)方至少2分（包括2分），即贏得比賽.在一局比賽中，每人只發(fā)2個(gè)球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為10：10后，每一個(gè)球就要交換一個(gè)發(fā)球權(quán).經(jīng)過(guò)緊張的角逐，甲乙兩位選手進(jìn)入了決賽.(1)若甲贏得每局比賽的概率為，求甲以4:1贏得比賽的概率；(2)若在某一局比賽中，雙方戰(zhàn)成10:1