國(guó)家開放大學(xué)《自動(dòng)控制技術(shù)》綜合練習(xí)及參考答案一、綜合練習(xí)題（一）選擇題1.下列關(guān)于開環(huán)控制系統(tǒng)與閉環(huán)控制系統(tǒng)的描述中，錯(cuò)誤的是（）。A.開環(huán)系統(tǒng)無反饋環(huán)節(jié)，閉環(huán)系統(tǒng)有反饋環(huán)節(jié)B.開環(huán)系統(tǒng)對(duì)干擾無抑制能力，閉環(huán)系統(tǒng)可通過反饋減小干擾影響C.開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜D.開環(huán)系統(tǒng)一定不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)一定穩(wěn)定2.已知某二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s^2+2s+4}\)，其阻尼比\(\xi\)和無阻尼自然頻率\(\omega_n\)分別為（）。A.\(\xi=0.5,\omega_n=2\)B.\(\xi=1,\omega_n=4\)C.\(\xi=2,\omega_n=0.5\)D.\(\xi=0.25,\omega_n=4\)3.勞斯穩(wěn)定判據(jù)中，若某行系數(shù)全為零，說明系統(tǒng)（）。A.存在共軛純虛根B.所有根均具有負(fù)實(shí)部C.存在正實(shí)部根D.根的實(shí)部均為零4.伯德圖中，對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率為-20dB/dec時(shí)，對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)是（）。A.積分環(huán)節(jié)\(\frac{1}{s}\)B.微分環(huán)節(jié)\(s\)C.慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{Ts+1}\)D.二階振蕩環(huán)節(jié)\(\frac{1}{T^2s^2+2\xiTs+1}\)5.采用串聯(lián)超前校正的主要目的是（）。A.提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度B.增大系統(tǒng)的相位裕度C.減小系統(tǒng)的超調(diào)量D.降低系統(tǒng)的截止頻率（二）填空題1.自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本控制方式包括__________、__________和復(fù)合控制。2.線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：在__________條件下，系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。3.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)中，超調(diào)量\(\sigma\%\)僅與__________有關(guān)，調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\)主要與__________和__________有關(guān)。4.奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)中，若開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)H(s)\)在右半平面有\(zhòng)(P\)個(gè)極點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：開環(huán)頻率特性曲線\(G(j\omega)H(j\omega)\)繞點(diǎn)\((-1,j0)\)的圈數(shù)\(N=\)__________。5.PID控制器的傳遞函數(shù)為__________，其中積分環(huán)節(jié)的作用是__________。（三）簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述反饋控制的基本原理，并說明負(fù)反饋對(duì)系統(tǒng)性能的影響。2.根軌跡的定義是什么？繪制根軌跡的基本規(guī)則有哪些（至少列出5條）？3.比較時(shí)域分析法和頻域分析法的特點(diǎn)，說明各自的適用場(chǎng)景。4.簡(jiǎn)述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的概念，并分析影響穩(wěn)態(tài)誤差的主要因素。5.舉例說明如何通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)（如增益\(K\)）改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能（如超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間）。（四）計(jì)算題1.建立如圖1所示RC電路的微分方程和傳遞函數(shù)（輸入為\(u_i(t)\)，輸出為\(u_o(t)\)）。，輸入電壓\(u_i(t)\)加在RC兩端，輸出電壓\(u_o(t)\)取自電容兩端)2.已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，試：（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖（概略圖）；（2）確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)\(K\)的取值范圍；（3）當(dāng)\(K=6\)時(shí)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算閉環(huán)極點(diǎn)。3.某二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖2所示（此處為示意圖描述：超調(diào)量\(\sigma\%=16.3\%\)，峰值時(shí)間\(t_p=1s\)），試求：（1）系統(tǒng)的阻尼比\(\xi\)和無阻尼自然頻率\(\omega_n\)；（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（3）若要求超調(diào)量減小至\(4.3\%\)，應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)？4.已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{10}{s(0.1s+1)(0.01s+1)}\)，試：（1）繪制開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性（伯德圖）的概略圖；（2）計(jì)算剪切頻率\(\omega_c\)和相位裕度\(\gamma\)；（3）判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)，其穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)\(K_v=2\)，但動(dòng)態(tài)性能不滿足要求（超調(diào)量過大）?，F(xiàn)采用串聯(lián)超前校正，校正裝置傳遞函數(shù)為\(G_c(s)=\frac{0.5s+1}{0.1s+1}\)，試：（1）計(jì)算校正前系統(tǒng)的超調(diào)量\(\sigma\%\)和調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\)（取\(\Delta=5\%\)）；（2）求校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)\(G_c(s)G(s)\)；（3）分析校正后系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改善效果（對(duì)比超調(diào)量、相位裕度）。二、參考答案（一）選擇題1.D（開環(huán)系統(tǒng)不一定不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)若設(shè)計(jì)不當(dāng)也可能不穩(wěn)定）2.A（傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式為\(\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\)，對(duì)比得\(\omega_n^2=4\)，\(2\xi\omega_n=2\)，故\(\omega_n=2\)，\(\xi=0.5\)）3.A（勞斯表某行全零，說明存在共軛純虛根或?qū)ΨQ于原點(diǎn)的根）4.A（積分環(huán)節(jié)\(\frac{1}{s}\)的對(duì)數(shù)幅頻特性斜率為-20dB/dec）5.B（超前校正通過提供正相角增大相位裕度，改善動(dòng)態(tài)性能）（二）填空題1.開環(huán)控制；閉環(huán)控制2.初始條件為零3.阻尼比\(\xi\)；阻尼比\(\xi\)；無阻尼自然頻率\(\omega_n\)4.\(-P/2\)（或\(N=-P\)，具體取決于奈奎斯特路徑的包圍方向定義）5.\(G_c(s)=K_p\left(1+\frac{1}{T_is}+T_ds\right)\)；消除穩(wěn)態(tài)誤差（三）簡(jiǎn)答題1.反饋控制的基本原理：通過檢測(cè)系統(tǒng)輸出，與期望輸入比較得到偏差，利用偏差信號(hào)調(diào)節(jié)系統(tǒng)輸入，使輸出趨近于期望值。負(fù)反饋的影響：減小系統(tǒng)誤差，提高控制精度；抑制干擾和噪聲；可能引入相位滯后，影響穩(wěn)定性；改變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性（如阻尼比、帶寬）。2.根軌跡定義：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)（通常為增益\(K\)）從0到∞變化時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的軌跡?；疽?guī)則：①根軌跡起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)，終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)（或無窮遠(yuǎn)）；②根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸；③實(shí)軸上的根軌跡由右側(cè)開環(huán)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)的區(qū)間組成；④根軌跡的漸近線與實(shí)軸夾角\(\theta=\frac{(2k+1)\pi}{n-m}\)（\(k=0,1,\dots,n-m-1\)），交點(diǎn)\(\sigma_a=\frac{\sump_i-\sumz_j}{n-m}\)；⑤分離點(diǎn)/會(huì)合點(diǎn)滿足\(\sum\frac{1}{s-p_i}=\sum\frac{1}{s-z_j}\)。3.時(shí)域分析法：直接分析系統(tǒng)在典型輸入（如階躍、脈沖）下的時(shí)間響應(yīng)，通過超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間、穩(wěn)態(tài)誤差等指標(biāo)直觀評(píng)價(jià)性能，適用于低階系統(tǒng)（一、二階）或可近似為低階的高階系統(tǒng)。頻域分析法：通過分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（幅頻特性、相頻特性），利用伯德圖、奈奎斯特圖等工具評(píng)價(jià)穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能（如相位裕度、截止頻率），適用于高階系統(tǒng)，且可通過實(shí)驗(yàn)測(cè)試頻率響應(yīng)，工程實(shí)用性強(qiáng)。4.穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，輸出期望值與實(shí)際值的偏差。影響因素：系統(tǒng)型別（積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)）、開環(huán)增益\(K\)、輸入信號(hào)類型（階躍、斜坡、加速度）。型別越高、增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越??；輸入信號(hào)階次越高（如加速度輸入），對(duì)系統(tǒng)型別和增益的要求越嚴(yán)格。5.示例：二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)\(\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\)，超調(diào)量\(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\times100\%\)，調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\approx\frac{3}{\xi\omega_n}\)（\(\Delta=5\%\)）。若增大\(\omega_n\)，可減小調(diào)節(jié)時(shí)間（響應(yīng)更快），但超調(diào)量不變（僅與\(\xi\)有關(guān)）；若增大\(\xi\)（如通過增加阻尼），可減小超調(diào)量，但調(diào)節(jié)時(shí)間可能增大（需平衡\(\xi\)和\(\omega_n\)）。（四）計(jì)算題1.微分方程與傳遞函數(shù)根據(jù)基爾霍夫電壓定律，\(u_i(t)=Ri(t)+u_o(t)\)，電容電流\(i(t)=C\frac{du_o(t)}{dt}\)，代入得：\(u_i(t)=RC\frac{du_o(t)}{dt}+u_o(t)\)兩邊取拉普拉斯變換（初始條件為零）：\(U_i(s)=RCsU_o(s)+U_o(s)\)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{1}{RCs+1}\)。2.根軌跡與穩(wěn)定性分析（1）開環(huán)極點(diǎn)\(p_1=0,p_2=-1,p_3=-2\)，無開環(huán)零點(diǎn)（\(m=0\)，\(n=3\)）。根軌跡起點(diǎn)為3個(gè)極點(diǎn)，終點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)（3條漸近線）。漸近線夾角\(\theta=\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}\)，交點(diǎn)\(\sigma_a=\frac{0+(-1)+(-2)}{3-0}=-1\)。實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為\((-\infty,-2]\)和\([-1,0]\)（右側(cè)零極點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)）。分離點(diǎn)滿足\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s+1}+\frac{1}{s+2}=0\)，解得\(s\approx-0.423\)（實(shí)軸分離點(diǎn)）。根軌跡概略圖：從0、-1、-2出發(fā)，兩條在實(shí)軸上向-∞和-2移動(dòng)，另一條從-1向0移動(dòng)至分離點(diǎn)后進(jìn)入復(fù)平面，沿漸近線趨向無窮遠(yuǎn)。（2）系統(tǒng)特征方程\(s(s+1)(s+2)+K=0\)，即\(s^3+3s^2+2s+K=0\)。列勞斯表：\(s^3\)|1|2\(s^2\)|3|K\(s^1\)|\(\frac{6-K}{3}\)|0\(s^0\)|K|穩(wěn)定條件：勞斯表首列全正，故\(\frac{6-K}{3}>0\)且\(K>0\)，即\(0<K<6\)。（3）當(dāng)\(K=6\)時(shí)，勞斯表\(s^1\)行系數(shù)為0，\(s^0\)行系數(shù)為6>0，說明存在共軛純虛根。令\(s^2\)行輔助方程\(3s^2+6=0\)，解得\(s=\pmj\sqrt{2}\)，閉環(huán)極點(diǎn)為\(s=-3\)（由\(s^3+3s^2+2s+6=(s+3)(s^2+0s+2)\)分解）和\(\pmj\sqrt{2}\)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3.二階系統(tǒng)參數(shù)求解（1）超調(diào)量\(\sigma\%=16.3\%\)，由\(\sigma\%=e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}\times100\%\)，解得\(\xi\approx0.5\)（因\(\xi=0.5\)時(shí)\(\sigma\%\approx16.3\%\)）。峰值時(shí)間\(t_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}}=1s\)，代入\(\xi=0.5\)得\(\omega_n=\frac{\pi}{\sqrt{1-0.25}}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\approx3.627rad/s\)。（2）傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}=\frac{(2\pi/\sqrt{3})^2}{s^2+2\times0.5\times(2\pi/\sqrt{3})s+(2\pi/\sqrt{3})^2}=\frac{4\pi^2/3}{s^2+(2\pi/\sqrt{3})s+4\pi^2/3}\)。（3）要求\(\sigma\%=4.3\%\)，對(duì)應(yīng)\(\xi\approx0.7\)（因\(\xi=0.7\)時(shí)\(\sigma\%\approx4.6\%\)，接近4.3%）?？赏ㄟ^增大阻尼比\(\xi\)（如增加系統(tǒng)阻尼），或保持\(\omega_n\)不變，調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)使\(2\xi\omega_n\)增大（如增大粘性阻尼系數(shù)）。4.伯德圖與穩(wěn)定性分析（1）開環(huán)傳遞函數(shù)可分解為\(G(s)H(s)=\frac{10}{s}\cdot\frac{1}{0.1s+1}\cdot\frac{1}{0.01s+1}\)，對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)\(K=10\)（20lg10=20dB），積分環(huán)節(jié)\(1/s\)（斜率-20dB/dec），慣性環(huán)節(jié)\(1/(0.1s+1)\)（轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_1=1/0.1=10rad/s\)，之后斜率-40dB/dec），慣性環(huán)節(jié)\(1/(0.01s+1)\)（轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_2=1/0.01=100rad/s\)，之后斜率-60dB/dec）。伯德圖概略圖：低頻段（\(\omega<10\)）斜率-20dB/dec，幅值20dB；\(10<\omega<100\)斜率-40dB/dec；\(\omega>100\)斜率-60dB/dec。相頻特性：積分環(huán)節(jié)貢獻(xiàn)-90°，兩慣性環(huán)節(jié)分別在\(\omega_1\)和\(\omega_2\)處開始相位滯后，最終相位-90°-90°-90°=-270°。（2）剪切頻率\(\omega_c\)滿足\(|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1\)，即\(\frac{10}{\omega_c\sqrt{(0.1\omega_c)^2+1}\sqrt{(0.01\omega_c)^2+1}}=1\)。近似計(jì)算（忽略高頻小項(xiàng)）：當(dāng)\(\omega_c<10\)，分母近似為\(\omega_c\)，則\(10/\omega_c=1\)，\(\omega_c=10rad/s\)（但需驗(yàn)證）；當(dāng)\(10<\omega_c<100\)，分母近似為\(\omega_c\times0.1\omega_c=0.1\omega_c^2\)，則\(10/(0.1\omega_c^2)=1\)，\(\omega_c^2=100\)，\(\omega_c=10rad/s\)（與前一致）；當(dāng)\(\omega_c>100\)，分母近似為\(\omega_c\times0.1\omega_c\times0.01\omega_c=0.001\omega_c^3\)，則\(10/(0.001\omega_c^3)=1\)，\(\omega_c^3=10^4\)，\(\omega_c\approx21.54rad/s\)（矛盾，故實(shí)際\(\omega_c\approx10rad/s\)）。相位裕度\(\gamma=180°+\angleG(j\omega_c)H(j\omega_c)\)，代入\(\omega_c=10rad/s\)，\(\angleG(j10)H(j10)=-90°-\arctan(0.1\times10)-\arctan(0.01\times10)=-90°-45°-5.71°=-140.71°\)，故\(\gamma=180°-140.71°=39.29°>0\)，系統(tǒng)穩(wěn)定。5.串聯(lián)超前校正分析（1）校正前開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}=\frac{2}{s(0.5s+1)}\)，閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)=\frac{4}{s^2+2s+4}\)，為二階系統(tǒng)，\(\omega_n=2rad/s\)，\(\xi=0.5\)。超調(diào)量\(\sigma\%=e^{-\pi\times0.5/\sqrt{1-0.25}}\times100\%\approx16.3\%\)；調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s=\frac{3}{\xi\omega_n}=\frac{3}{0.5\times2}=3s\