第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省泉州市科技中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.已知i為虛數(shù)單位，則(2+3i)(4?i)=(

)A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i2.已知向量a=(1,?2)，b=(cosα,sinα)，且a⊥b，則A.2 B.12 C.?123.用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖O′A′B′C′，如圖所示.已知OA′=2C′B′=4，O′C′=A′B′，則梯形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的側(cè)面積為(

)A.123π B.12π C.64.已知sin(π+α)=255，則A.45 B.?45 C.35.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ab=cosAcosB，C=π3A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.已知函數(shù)f(x)=32sinωx+12cosωx(ω>0)在區(qū)間A.(23,56] B.(7.已知球O是正三棱柱ABC?A1B1C1的內(nèi)切球，AB=23，PA.[?4,4] B.[?22,22]8.第七屆數(shù)字中國建設(shè)峰會在福建舉行，其中主題為“顯示+創(chuàng)意”的裸眼3D展臺引人關(guān)注.峰會上顯示屏的示意圖如圖所示，底面為等腰梯形ABCD，側(cè)面ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1均為矩形且垂直于底面，已知AB=CD=2，BC=1，AAA.1

B.2

C.3

二、多選題9.已知z為復(fù)數(shù)，則下列說法中正確的有(

)A.z+z?為實數(shù)

B.若復(fù)數(shù)z滿足z?z?=0，則z=0

C.|z|2=10.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的圖象如下圖所示，下列正確的是(

)A.f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+π3)

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(π12,0)中心對稱

C.將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移π611.一圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，∠BAC=2π3，弧BC長為2π，M為線段AB的中點，N為弧BC中點，則(

)A.該圓錐的體積為22π3

B.在扇形ABC中，AN?MC=?9三、填空題12.已知向量a=(2,1)，b=(1,1)，則a與a+13.已知正四棱柱的底面邊長為2，高為6，則該正四棱柱的外接球的表面積為______．14.△ABC中，若AB=1，BC=2，則∠C的取值范圍是______．四、解答題15.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3

(1)求△CBD的面積；

(2)求邊AC的長．16.(本小題12分)

如圖，AB是圓柱下底面的直徑且長度為2，PA是圓柱的母線且PA=2，點C是圓柱底面圓周上的點．

(1)求圓柱的側(cè)面積和體積；

(2)若AC=1，點D在線段PB上，點E在線段PA上，求CE+ED的最小值，并求此時AE的長．17.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3bsinB+C2=asinB，邊BC上有一動點D．

(1)當(dāng)D為邊BC中點時，若AD=3,b=2，求c的長度；

(2)當(dāng)AD為18.(本小題12分)

如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點．

(1)若cos∠CAB=13，當(dāng)k為何值時，AC+2AB與kAC?AB垂直？

(2)若G為△ABC的重心，直線l過點G交邊AB于點P，交邊AC于點Q，且AP=λAB,AQ=μ

答案解析1.【答案】B

【解析】解：(2+3i)(4?i)=8?2i+12i+3=11+10i．

故選：B．

利用代數(shù)形式的復(fù)數(shù)乘法計算得解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】B

【解析】解：向量a=(1,?2)，b=(cosα,sinα)，且a⊥b，

則cosα?2sinα=0，解得tanα=12．

故選：3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，直觀圖O′A′B′C′，作C′E⊥O′A′，且交O′A′于點E，

易得O′E=12(O′A′?B′C′)=12(4?2)=1，

又由∠C′O′E=45°，則O′C′=2，

將直觀圖還原為原圖，如圖：

其中：OA=4，BC=2，OC=2O′C′=22，則AB=23，

梯形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體為圓臺，則其側(cè)面積S=π(2+4)×24.【答案】D

【解析】解：sin(π+α)=255，

則sinα=?255，

sin5.【答案】B

【解析】解：因為ab=cosAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=cosAcosB，

可得sinAcosB?cosAsinB=0，

即sin(A?B)=0，

又因為A，B∈(0,π)，

可得A=B，又因為C=π3，

所以A=B=C=π3，

故△ABC6.【答案】B

【解析】解：f(x)=32sinωx+12cosωx=sin(ωx+π6)，

當(dāng)x∈(0,π2)時，ωx+π6∈(π6,ωπ2+π7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查空間向量的數(shù)量積運算，球的切、接問題，三角形面積公式，棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．

先求得等邊三角形ABC內(nèi)切圓的半徑，也即求得正三棱柱內(nèi)切球的半徑，根據(jù)向量運算求得正確答案．【解答】

解：設(shè)等邊三角形ABC內(nèi)切圓的半徑為r，

則S△ABC=12×23×23×sinπ3

=12(23×3)r，

解得r=1，

則正三棱柱ABC?A1B1C1的內(nèi)切球半徑R=1，

則正三棱柱ABC?A1B1C1的高為2，

設(shè)O1是等邊三角形ABC的中心，D是AB的中點，連接OD，

所以O(shè)A=OB=22+12=5，

則OD=(5)28.【答案】C

【解析】解：由題意，蝴蝶到點B1的最短距離即為點B1到直線AD1的距離，

如圖所示，作BE⊥AD，CF⊥AD，連接B1A，B1D1，作B1H⊥AD1，

在等腰梯形ABCD中，

因為AB=CD=2，BC=1，∠ABC=∠BCD=135°，

所以AE=DF=EF=1，即AD=3，

又AA1=3，側(cè)面ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1均為矩形且垂直于底面，

則AD1=32+32=32，AB1=(2)2+39.【答案】ABD

【解析】解：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z?=a?bi，

對于A，z+z?=a+bi+(a?bi)=2a為實數(shù)，A正確；

對于B，z?z?=(a+bi)(a?bi)=a2+b2=0，于是a=b=0，z=0，B正確；

對于C，取z=1+i，則|z|2=|1+i|2=12+12=2，z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i，

此時|z|2≠z2，C不正確；

10.【答案】AD

【解析】解：由題意得f(x)的周期T滿足3T4=5π6?π12=3π4，解得T=2πω=π，所以ω=2，

因為x=π12時，f(x)取得最大值2，所以π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，結(jié)合|φ|<π2，可得φ=π3，

所以f(x)=2sin(2x+π3)，故A正確；

根據(jù)圖象可知x=π12是f(x)圖象的一條對稱軸，

故f(x)的圖象不能關(guān)于點(π12,0)中心對稱，可知B錯誤；

將y=f(x)的圖象向右平移π6個單位長度，可得y=2sin[2(x?π6)+π3]=2sin2x的圖象，

根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)，可知所得函數(shù)為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C11.【答案】ACD

【解析】解：因為圓錐的側(cè)面展開圖中，∠BAC=2π3，弧BC長為2π，

所以AC=3，

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2πr=2π，即r=1，

則圓錐的高?=32?12=22，

所以圓錐的體積V=13S?=13×π×22=22π3，A正確；

M為線段AB的中點，N為弧BC中點，

則AN?MC=AN?(AC?12AB)

=AN?AC?12AN?AB

=3×3×cos60°?12×3×3×cos60°=92?94=94，B錯誤；

圓錐內(nèi)半徑最大的球就是圓錐的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r1，

則根據(jù)等面積可得，12×2×2212.【答案】8【解析】解：a+b=(3,2)，?a?(a+b)=2×3+1×2=8，|a|=2213.【答案】44π

【解析】解：設(shè)外接球的半徑為R，則2R=22+22+62=211，14.【答案】0<C≤30°

【解析】解：因為c=AB=1，a=BC=2，b=AC

根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知

1<b<3，根據(jù)余弦定理

cosC=12ab(a2+b2?c2)

=14b(4+b2?1)

=b4(3+15.【答案】解：(1)在△CBD中，由余弦定理可得cosB=，

則，

所以sinB=1?cos2B=5314，

則三角形CBD的面積為：；

(2)在△ABC中，由正弦定理得，

【解析】(1)由余弦定理求得cosB，即可得出sinB，再由面積公式即可求解；(2)由正弦定理即可求解．

本題考查了解三角形問題，涉及到正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．16.【答案】解：(1)由AB是圓柱下底面的直徑且長度為2，

可得圓柱底面圓的半徑r=AB2=1，

因為PA是圓柱的母線且PA=2，

所以圓柱的高?=PA=2，

所以圓柱的側(cè)面積S側(cè)=2πr?=2π×1×2=4π，

圓柱的體積V=πr2?=π×12×2=2π；

(2)如圖，延長線段BA至C′，使得AC′=AC=1，

作C′D⊥PB，垂足為D，交PA與E，

由圓柱可得PA⊥AB，

則△EAC′?△EAC，

所以C′E=CE，

所以CE+ED=C′E+ED，

此時，C′E+ED=C′D取得最小值，

因為AB=2，PA=2，所以∠C′BD=45°，

所以在Rt△BDC′中，BC′=BA+AC′=2+1=3，

所以C′D=BC′sin45°=3×22=322，

所以CE+ED的最小值為3【解析】(1)代入圓柱側(cè)面積公式和體積公式計算即可；

(2)延長線段BA至C′，使得AC=AC′，則C′E=CE，作C′D⊥PB，故C′D為CE+ED的最小值，在Rt△BDC′中，求出即可．

本題考查了圓柱的側(cè)面積和體積公式，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)因為3bsinB+C2=asinB，

所以3bsinπ?A2=asinB，即3bcosA2=asinB．

由正弦定理，得3sinB?cosA2=sinA?sinB．

因為sinB≠0，

所以3cosA2=sinA=2sinA2cosA2．

因為cosA2≠0，

所以sinA2=32．

又因為0<A2<π2，

所以A2=π3，

所以A=2π3．

因為D為邊BC中點，

所以2AD=AB+AC，則4|AD|2=(AB+AC)2．

又AD=3,b=2,A=2π3，

所以12=c2+4+4c?cos2π3，

即c2?2c?8=0，即(c?4)(c+2)=0，

所以c=4．

【解析】(1)由正弦定理的邊化角公式得出A=2π3，再由向量的運算得出c的長度；

(2)由余弦定理結(jié)合基本不等式得出4<b+c≤833，再由S△ABC18.【答案】1013；

2；

4【解析】解：(1)在△ABC中，AC=BC=3，cos∠CAB=13，

由余弦定理得BC2=AC2+AB2?2AC?ABcos∠CAB，

化簡得AB2?2AB=0，解得AB=2，可得AB?AC=