第頁專題3基本不等式基礎方法15類總結目錄一、熱點題型歸納TOC\o"1-1"\h\u【題型一】對勾型 2【題型二】添加常數(shù)構造“對勾型” 3【題型三】“和定求積”型 5【題型四】“積定求和”型 6【題型五】單元（單變量）分離常數(shù)型 7【題型六】“常數(shù)”因子法： 8【題型七】“單分母”構造因子法 9【題型八】“雙分母”構造法 11【題型九】有和有積無常數(shù)型 12【題型十】有和有積有常數(shù)型：求“積”型 14【題型十一】有和有積有常數(shù)型：求“和”型 15【題型十二】多元分離型 16【題型十三】反解消元型 18【題型十四】換元型 19【題型十五】較簡單的三元均值 21培優(yōu)第一階——基礎過關練 23培優(yōu)第二階——能力提升練 27培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 30知識點綜述：基本不等式：：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；基本不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b.簡稱為““一正”“二定”“三相等”，三個條件缺一不可．3.基本不等式的變形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；4.重要不等式鏈：eq\r(,eq\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)；【題型一】對勾型【典例分析】不等式（x-2y）+≥2成立的前提條件為（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【提分秘籍】基本規(guī)律對勾型：，容易出問題的地方，在于能否“取等”,如1.2.【變式訓練】1.若，，則的最小值是（

）A． B． C．4 D．22.已知a>0，則當取得最小值時，a的值為（

）A． B． C． D．3【題型二】添加常數(shù)構造“對勾型”【典例分析】已知，則函數(shù)的最小值是（

）A． B． C．2 D．【提分秘籍】基本規(guī)律對于形如，則把cx+d轉(zhuǎn)化為分母的線性關系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結構轉(zhuǎn)化【變式訓練】1.若在處取得最小值，則（

）A．1 B．3 C． D．42.若實數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.設，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【題型三】“和定求積”型【典例分析】已知，，，則的最大值為（

）A． B．4 C．6 D．8【提分秘籍】基本規(guī)律如果x＋y是定值q，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(q2,4)(簡記：和定積最大)【變式訓練】1.若，則當取得最大值時，x的值為（

）A．1 B． C． D．2.若，，，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．3.已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，則(1＋x)(1＋2y)的最大值為（

）A．36 B．4 C．16 D．9【題型四】“積定求和”型【典例分析】已知，，且，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【提分秘籍】基本規(guī)律如果xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡記：積定和最小)【變式訓練】1.若實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．82.已知為正實數(shù)，且，則的最小值是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【題型五】單元（單變量）分離常數(shù)型【典例分析】函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【提分秘籍】基本規(guī)律分離常數(shù)可以從兩方面考慮：1.以分母為主元構造分子2.直接換元分母（一般式一次型）【變式訓練】1.若，則有（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值 D．最大值2.已知x>1，則的最小值是（

）A．2＋2 B．2－2C．2 D．23.已知，函數(shù)的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【題型六】“常數(shù)”因子法：【典例分析】若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C．5 D．6【提分秘籍】基本規(guī)律利用常數(shù)代換法。多稱之為“1”的代換【變式訓練】1.已知，，若不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．2.已知，，且，則的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．43.已知，，且，則的最小值是（

）A．10 B．15 C．18 D．23【題型七】“單分母”構造因子法【典例分析】已知正實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律以分式分母為主元進行構造【變式訓練】1.若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．12.若，，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3.若正實數(shù)、滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A．或 B．或C． D．【題型八】“雙分母”構造法【典例分析】已知，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【提分秘籍】基本規(guī)律一般情況下，可以把分母相加（或者倍系數(shù)后再相加），與條件所給的等式，存在倍數(shù)關系【變式訓練】1.已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．322.若實數(shù)，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．23.若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型九】有和有積無常數(shù)型【典例分析】若兩個正實數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律利用同除，可以得到“1”的代換形式均值【變式訓練】1.若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．112.已知，則和的最小值分別是（

）A．16，32 B．16，64 C．18，32 D．18，64【題型十】有和有積有常數(shù)型：求“積”型【典例分析】設，，，則ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【提分秘籍】基本規(guī)律求積，對“和”用均值，化為關于“積”的一元二次不等式，解不等式可得?！咀兪接柧殹?.設，，若，則ab的最小值是（

）A．5 B．9 C．16 D．252.已知，，且，則的最大值為____________．【題型十一】有和有積有常數(shù)型：求“和”型【典例分析】若，且，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律求“和”，對“積”用均值，化為關于“和”的一元二次不等式，解不等式可得。此類題型的基礎形式，多是所求的“和”與所給的“和”是相同的。不然，此法不成立?！咀兪接柧殹?.已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2.若正實數(shù)，滿足，且存在實數(shù)，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3.已知，，，則（）A．的最大值為2 B．的最小值為4C．的最小值為3 D．的最小值為【題型十二】多元分離型【典例分析】已知，且，則的最小值是（

）A．11 B．9 C．8 D．6【提分秘籍】基本規(guī)律多元分式型，構造分母達到分離的目的。換元構造常數(shù)代換狗仔湊配構造【變式訓練】1.若，，則的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．222.已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．1 B．6 C．7 D．3.已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【題型十三】反解消元型【典例分析】正實數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B．1 C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律反解代入：多元變量有二次有一次，反解一次代換消元為單變量式子有些高次可以因式分解，然后再反解代入。達到消元的目的【變式訓練】1.已知實數(shù)a＞0，b＞0，且滿足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，則（a+1）（b+2）的最小值為（

）A．24 B．313 C．913 D．252.已知，，，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．13.已知正數(shù)a和b滿足ab+a+2b=7，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型十四】換元型【典例分析】對任意正數(shù)x，y，不等式恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.復雜的分式型，可以把分母換元（雙換元），達到化簡的目的。2.能因式分解的高次多元式子，可以借助因式分解后再換元化簡【變式訓練】1.已知實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．2.已知實數(shù)滿足，且，則的值最小時，實數(shù)（

）A． B．C． D．1【題型十五】較簡單的三元均值【典例分析】已知都是正實數(shù)，若，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【變式訓練】1.設正實數(shù)、、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2.若a，b，c均為正實數(shù)，則三個數(shù)，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于23.正實數(shù)滿足，當取得最大時，的最大值為（

）A． B． C． D．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎過關練1.當時，的最小值為（

）A．3 B． C． D．2.函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．03.已知，，且，則的最小值為（

）A．B．C．D．4.已知x>0，y>0，且xy=10，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．65.已知則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．6.已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．67.已知，，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．8.已知都是正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．39.已知，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．910.已知，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．411.已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．612.已知正數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．13.負實數(shù)、滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．14.已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．15.設x，y，z為正實數(shù)，滿足，則的最小值是（）A．4 B．2 C． D．培優(yōu)第二階——能力提升練1.，在處取最小值，則（

）A．1 B． C．3 D．92.函數(shù)y＝3x2＋的最小值是(

)A．3－3 B．3C．6 D．6－33.已知m，n∈R，m2+n2=100，則mn的最大值是（

）A．25 B．50 C．20 D．4.已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．10 B．20 C．15 D．255.若，則函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．7 D．96.已知，.且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7.已知，且，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．18.設，為正數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．9.若正數(shù)x，y滿足x+4y-xy=0，則當x+y取得最小值時，x的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．310.若，，且，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．49 D．8111.已知正實數(shù)，滿足等式，若對任意滿足條件的，，求的最小值（

）A． B． C． D．12.已知兩正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A．7 B． C． D．13.已知a＞0，且a2－b＋4＝0，則（

）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值14.實數(shù)a，b滿足，，，則的最小值是（

）A．4 B．6 C． D．15.若不等式對滿足條件的恒成立，則實數(shù)k的最大值為（

）A．2 B．4C．6 D．8培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1.已知命題，，若為假命題，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2.若關于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為（

）A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]3.設正實數(shù)，滿足(其中為正常數(shù))，若的最大值為3，則（

）A．3 B． C． D．4.已知，則的最大值為（

）A． B． C． D．5.若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．6.設自變量x對應的因變量為y，在滿足對任意的x，不等式y(tǒng)≤M都成立的所有常數(shù)M中，將M的最小值叫做y的上確界．若a，b為正實數(shù)，且a＋b＝1，則－－的上確界為（

）A．－ B． C． D．－47.若，則的最小值為（

）A． B． C． D．48.已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）