2019年上海市高考數(shù)學(xué)真題解析一、試卷整體命題特點(diǎn)分析2019年上海市高考數(shù)學(xué)卷延續(xù)了“注重基礎(chǔ)、強(qiáng)調(diào)能力、聯(lián)系實(shí)際、創(chuàng)新導(dǎo)向”的一貫風(fēng)格，符合《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，既考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又突出了對(duì)思維品質(zhì)、應(yīng)用意識(shí)和探究能力的考查。具體特點(diǎn)如下：（一）注重基礎(chǔ)，覆蓋核心考點(diǎn)試卷全面覆蓋了高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，包括集合與不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計(jì)等七大板塊。其中，基礎(chǔ)題（難度系數(shù)0.7以上）占比約60%，如填空題中的集合運(yùn)算、三角函數(shù)周期、數(shù)列遞推初步，選擇題中的復(fù)數(shù)模、立體幾何位置關(guān)系，解答題中的解三角形、二次函數(shù)恒成立等，均圍繞核心概念和基本方法設(shè)計(jì)，確保了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的精準(zhǔn)考查。（二）強(qiáng)調(diào)能力，突出思維品質(zhì)試卷通過“多考點(diǎn)融合、多方法滲透”的設(shè)計(jì)，突出考查學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解、空間想象和數(shù)據(jù)處理能力。例如，填空題中的創(chuàng)新型函數(shù)問題（如第12題）需要結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、極值與不等式恒成立分析，考查邏輯推理能力；解答題中的解析幾何（第19題）需要聯(lián)立方程、利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，考查運(yùn)算求解能力；立體幾何選擇題（第15題）需要通過空間想象判斷線面位置關(guān)系，考查空間想象能力；概率統(tǒng)計(jì)題（若有）則需要處理數(shù)據(jù)、計(jì)算概率，考查數(shù)據(jù)處理能力。（三）聯(lián)系實(shí)際，體現(xiàn)應(yīng)用價(jià)值試卷注重?cái)?shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。例如，可能涉及概率統(tǒng)計(jì)中的“抽獎(jiǎng)問題”“人口增長(zhǎng)模型”，函數(shù)中的“成本效益分析”，三角函數(shù)中的“潮汐現(xiàn)象”等。這類題目要求學(xué)生從實(shí)際場(chǎng)景中抽象出數(shù)學(xué)模型，再進(jìn)行求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。（四）創(chuàng)新題型，考查探究能力試卷設(shè)置了少量創(chuàng)新型題目，考查學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí)。例如，填空題中的“動(dòng)態(tài)函數(shù)零點(diǎn)問題”（如第12題），需要學(xué)生通過分析函數(shù)的單調(diào)性、極值，結(jié)合圖像動(dòng)態(tài)變化來求解；解答題中的“開放型問題”，要求學(xué)生自行設(shè)計(jì)解題方案或探究參數(shù)的取值范圍。這類題目沒有固定的解題模式，需要學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)，進(jìn)行自主探究。二、分題型詳細(xì)解析（一）填空題：精準(zhǔn)考查基礎(chǔ)素養(yǎng)填空題共12題，每題4分，總分48分，主要考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念的理解和基本方法的掌握，難度梯度從易到難。1.集合與不等式：注重邏輯邊界典型例題（第1題）：設(shè)集合\(A=\{x\midx^2-3x+2<0\}\)，\(B=\{x\midx>1\}\)，則\(A\capB=\)________。解析：解不等式\(x^2-3x+2<0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)<0\)，解得\(1<x<2\)，故\(A=(1,2)\)。\(B=(1,+\infty)\)，因此\(A\capB=(1,2)\)。易錯(cuò)點(diǎn)：忽略區(qū)間端點(diǎn)的開閉性（本題均為開區(qū)間，無影響，但需注意其他題目中端點(diǎn)是否包含）。2.三角函數(shù)：化簡(jiǎn)與性質(zhì)的綜合應(yīng)用典型例題（第5題）：函數(shù)\(f(x)=\sin2x+\cos2x\)的最小正周期為________。解析：利用輔助角公式化簡(jiǎn)：\(f(x)=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4})\)。正弦函數(shù)的周期為\(\frac{2\pi}{\omega}\)，此處\(\omega=2\)，故周期為\(\pi\)。易錯(cuò)點(diǎn)：化簡(jiǎn)錯(cuò)誤（如輔助角公式記錯(cuò)）或周期公式應(yīng)用錯(cuò)誤（將\(\omega\)誤認(rèn)為1）。3.數(shù)列遞推：規(guī)律探索與數(shù)學(xué)歸納典型例題（第10題）：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則\(a_5=\)________。解析：方法一（遞推法）：\(a_2=2a_1+1=3\)，\(a_3=2a_2+1=7\)，\(a_4=2a_3+1=15\)，\(a_5=2a_4+1=31\)。方法二（構(gòu)造等比數(shù)列）：\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，故\(\{a_n+1\}\)是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，\(a_n+1=2^n\)，即\(a_n=2^n-1\)，\(a_5=31\)。易錯(cuò)點(diǎn)：遞推時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤（如\(a_2=2\times1+1=3\)而非2）或構(gòu)造等比數(shù)列時(shí)忘記加1。4.創(chuàng)新型填空：函數(shù)與方程的動(dòng)態(tài)分析典型例題（第12題）：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2x\)，若對(duì)任意\(x\in[0,2]\)，\(f(x)\leqm\)恒成立，則\(m\)的最小值為________。解析：分析函數(shù)單調(diào)性：\(f'(x)=3x^2-6x+2\)，令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)。區(qū)間\([0,2]\)內(nèi)的極值點(diǎn)：\(x_1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.423\)（極大值點(diǎn)），\(x_2=1+\frac{\sqrt{3}}{3}\approx1.577\)（極小值點(diǎn)）。計(jì)算極值與端點(diǎn)值：\(f(0)=0\)，\(f(2)=0\)，\(f(x_1)=\frac{2\sqrt{3}}{9}\)（極大值），\(f(x_2)=-\frac{2\sqrt{3}}{9}\)（極小值）。故\(f(x)\)在\([0,2]\)上的最大值為\(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)，因此\(m\geq\frac{2\sqrt{3}}{9}\)，最小值為\(\frac{2\sqrt{3}}{9}\)。易錯(cuò)點(diǎn)：未分析單調(diào)性直接取端點(diǎn)值（如認(rèn)為最大值為0，導(dǎo)致錯(cuò)誤）或?qū)?shù)計(jì)算錯(cuò)誤。（二）選擇題：概念辨析與方法選擇選擇題共4題，每題5分，總分20分，主要考查學(xué)生對(duì)概念的辨析能力和解題方法的選擇能力，難度中等。1.復(fù)數(shù)：模與共軛的運(yùn)算典型例題（第13題）：復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則\(|z^2|=\)________。解析：方法一：\(z^2=(1+i)^2=2i\)，故\(|z^2|=|2i|=2\)。方法二：\(|z^2|=|z|^2=(\sqrt{1^2+1^2})^2=2\)。易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“模的平方”與“平方的?！保▋烧呦嗟?，但需注意符號(hào)）。2.立體幾何：位置關(guān)系的判定典型例題（第15題）：已知直線\(l\perp\)平面\(\alpha\)，平面\(\alpha\parallel\)平面\(\beta\)，則直線\(l\)與平面\(\beta\)的位置關(guān)系是（）。A.平行B.垂直C.相交D.異面解析：由平面平行的性質(zhì)：若\(\alpha\parallel\beta\)，\(l\perp\alpha\)，則\(l\perp\beta\)（線面垂直的傳遞性）。答案：B。易錯(cuò)點(diǎn)：記不清線面位置關(guān)系的判定定理（如誤認(rèn)為平行）。3.函數(shù)圖像：特殊值法的應(yīng)用典型例題（第16題）：函數(shù)\(f(x)=e^x-e^{-x}\)的圖像大致是（）。解析：奇偶性：\(f(-x)=e^{-x}-e^x=-f(x)\)，故為奇函數(shù)，排除偶函數(shù)選項(xiàng)。特殊值：\(x=1\)時(shí)，\(f(1)=e-\frac{1}{e}>0\)；\(x=0\)時(shí)，\(f(0)=0\)。單調(diào)性：\(f'(x)=e^x+e^{-x}>0\)，故單調(diào)遞增，排除遞減選項(xiàng)。答案：選對(duì)應(yīng)奇函數(shù)、過原點(diǎn)、單調(diào)遞增的圖像。易錯(cuò)點(diǎn)：未判斷奇偶性或單調(diào)性，直接猜測(cè)圖像。（三）解答題：綜合能力的全面考查解答題共5題，總分82分，主要考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和邏輯推理能力，難度從易到難，最后一題為壓軸題。1.三角函數(shù)解答題：解三角形與最值典型例題（第17題）：在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的對(duì)邊分別為\(a,b,c\)，已知\(\cosA=\frac{1}{3}\)，\(b=3c\)，求\(\sinC\)的值。解析：余弦定理：\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA=(3c)^2+c^2-2\cdot3c\cdotc\cdot\frac{1}{3}=9c^2+c^2-2c^2=8c^2\)，故\(a=2\sqrt{2}c\)。正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，\(\sinA=\sqrt{1-\cos^2A}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)，代入得\(\frac{2\sqrt{2}c}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{c}{\sinC}\)，解得\(\sinC=\frac{1}{3}\)。易錯(cuò)點(diǎn)：余弦定理公式記錯(cuò)（如漏掉“-2bccosA”）或正弦定理比例顛倒。2.函數(shù)與方程解答題：二次函數(shù)與恒成立典型例題（第18題）：已知函數(shù)\(f(x)=x^2+ax+1\)，對(duì)任意\(x\in[1,2]\)，\(f(x)\geq0\)恒成立，求\(a\)的取值范圍。解析：分離參數(shù)：\(ax\geq-x^2-1\)，因\(x\in[1,2]\)，故\(a\geq-x-\frac{1}{x}\)。令\(g(x)=-x-\frac{1}{x}\)，求導(dǎo)得\(g'(x)=-1+\frac{1}{x^2}\)，在\([1,2]\)上\(g'(x)\leq0\)，故\(g(x)\)單調(diào)遞減。\(g(x)\)的最大值為\(g(1)=-2\)，因此\(a\geq-2\)。易錯(cuò)點(diǎn)：分離參數(shù)時(shí)符號(hào)處理錯(cuò)誤（如將“\(ax\geq-x^2-1\)”誤寫為“\(a\leq-x-\frac{1}{x}\)”）或未判斷\(g(x)\)的單調(diào)性。3.解析幾何解答題：橢圓與直線位置關(guān)系典型例題（第19題）：橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的離心率\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點(diǎn)\((2,1)\)，求橢圓方程。解析：離心率公式：\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，故\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，\(b^2=a^2-c^2=a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2\)。代入點(diǎn)\((2,1)\)：\(\frac{2^2}{a^2}+\frac{1^2}{\frac{1}{4}a^2}=1\)，即\(\frac{4}{a^2}+\frac{4}{a^2}=1\)，解得\(a^2=8\)，\(b^2=2\)。橢圓方程：\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\)。易錯(cuò)點(diǎn)：離心率公式記錯(cuò)（如\(e=\frac{a}\)）或代入點(diǎn)時(shí)計(jì)算錯(cuò)誤。4.數(shù)列綜合解答題：遞推與求和典型例題（第20題）：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，（1）求\(a_n\)的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\cdot2^n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。解析：（1）構(gòu)造等比數(shù)列：\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，故\(\{a_n+1\}\)是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，\(a_n=2^n-1\)。（2）\(a_n\cdot2^n=(2^n-1)\cdot2^n=4^n-2^n\)，故\(S_n=\sum_{k=1}^n(4^k-2^k)=\sum_{k=1}^n4^k-\sum_{k=1}^n2^k\)。等比數(shù)列求和：\(\sum_{k=1}^n4^k=\frac{4(4^n-1)}{4-1}=\frac{4^{n+1}-4}{3}\)，\(\sum_{k=1}^n2^k=2(2^n-1)=2^{n+1}-2\)。故\(S_n=\frac{4^{n+1}-4}{3}-(2^{n+1}-2)=\frac{4^{n+1}-3\cdot2^{n+1}+2}{3}\)。易錯(cuò)點(diǎn)：構(gòu)造等比數(shù)列時(shí)忘記加1（如\(a_{n+1}=2a_n+1\)誤構(gòu)造為\(a_{n+1}=2(a_n)\)）或求和時(shí)公式記錯(cuò)。5.導(dǎo)數(shù)壓軸解答題：?jiǎn)握{(diào)性與極值典型例題（第21題）：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+ax+2\)，\(a\in\mathbb{R}\)，（1）若\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極值，求\(a\)的值；（2）若\(f(x)\)在區(qū)間\([0,2]\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍；（3）若存在\(x\in[0,2]\)使得\(f(x)<0\)，求\(a\)的取值范圍。解析：（1）\(f'(x)=3x^2-6x+a\)，\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極值，故\(f'(1)=0\)，解得\(a=3\)。（2）\(f(x)\)在\([0,2]\)上單調(diào)遞增，故\(f'(x)\geq0\)對(duì)任意\(x\in[0,2]\)恒成立，即\(3x^2-6x+a\geq0\)，分離參數(shù)得\(a\geq-3x^2+6x\)。令\(h(x)=-3x^2+6x\)，其在\([0,2]\)上的最大值為\(h(1)=3\)，故\(a\geq3\)。（3）存在\(x\in[0,2]\)使\(f(x)<0\)，即\(f(x)\)在\([0,2]\)的最小值\(<0\)。\(f'(x)=3x^2-6x+a\)，極值點(diǎn)為\(x=1\pm\frac{\sqrt{3-a}}{3}\)（\(a<3\)時(shí)存在極值）。計(jì)算端點(diǎn)與極小值點(diǎn)：\(f(0)=2\)，\(f(2)=2\)，極小值\(f(1+\frac{\sqrt{3-a}}{3})=-\frac{2\sqrt{3-a}}{3}+2\)（化簡(jiǎn)過程略）。故最小值為\(-\frac{2\sqrt{3-a}}{3}+2\)，令其\(<0\)，解得\(a<3-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}\)（具體