第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省鄭州四十五中七年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（4月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.小明做題一向比較粗心，下面四個(gè)題他只做對(duì)了一道，他做對(duì)的那道題是（）A.x4+x4=x8 B.a2?a4=a8

C.-a7?a5=-a12 D.（2x2y3）2=-2x5y62.9月11日，中國(guó)企業(yè)聯(lián)合會(huì)、中國(guó)企業(yè)家協(xié)會(huì)發(fā)布“2024中國(guó)企業(yè)500強(qiáng)”名單，其中洛陽(yáng)欒川鉬業(yè)集團(tuán)股份有限公司以2023年全年?duì)I業(yè)收入1862.69億元入榜，1862.69億用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A.1862.69×108 B.1.86269×1011 C.1.86269×1012 D.1.86×10113.如圖，要在河岸上建一個(gè)水泵房，修建引水渠到村莊C處.施工人員的做法是過(guò)點(diǎn)C作CD⊥1于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處.這樣做蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是（）A.垂線段最短

B.兩點(diǎn)之間線段最短

C.兩點(diǎn)確定一條直線

D.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

4.如圖，從邊長(zhǎng)為m的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為n的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開(kāi)拼成右邊的長(zhǎng)方形，根據(jù)圖形的變化過(guò)程，寫(xiě)出一個(gè)正確的等式是（）A.（m-n）2=m2-2mn+n2 B.m2-n2=（m+n）（m-n）

C.（m-n）2=m2-n2 D.m（m-n）=m2-mn5.如圖，直線a，b被直線c所截，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

???????A.∠1與∠2是鄰補(bǔ)角

B.∠1與∠3是對(duì)頂角

C.∠2與∠4是同位角

D.∠3與∠4是內(nèi)錯(cuò)角

6.下列算式能用平方差公式計(jì)算的是（）A.（2a+b）（2b-a） B.

C.（3x-y）（-3x+y） D.（-m-n）（-m+n）7.如圖，矩形紙片ABCD沿EF折疊，A，D兩點(diǎn)分別與A′，D′對(duì)應(yīng)，若∠1=2∠2，則∠AEF的度數(shù)為（）A.60°

B.65°

C.72°

D.75°8.已知a+b-3=0，則3a?3b的值為（）A. B.3 C.9 D.279.如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在直線l上，點(diǎn)M在直線l外，MC⊥l,若MA=5cm,MB=4cm,MC=2cm,MD=3cm,則點(diǎn)M到直線l的距離是（）

A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm10.如圖，將一副三角尺按不同位置擺放，∠α與∠β相等的情況有（）

A.1種 B.2種 C.3種 D.4種二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.計(jì)算：=______.12.一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為a2+4a,若這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為a,則長(zhǎng)為_(kāi)_____.13.如圖，在四邊形ABCD中，在不添加任何輔助線和字母的情況下，添加一個(gè)條件______，使AB∥DC（填一個(gè)即可）．

14.已知a=8131，b=2741，c=961，試比較a,b,c的大小，用“＞”將它們連接起來(lái)：______.15.小明將一副三角尺，按如圖所示的方式疊放在一起.當(dāng)∠ACE＜90°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，他發(fā)現(xiàn)若∠ACE=______，則三角尺BCE有一條邊與斜邊AD平行（寫(xiě)出所有可能）.三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題10分)

化簡(jiǎn)下列各式：

（1）（-a）3?a2+（2a4）2÷a3；

（2）（3x-y）2-（3x+2y）（3x-2y）.17.(本小題7分)

先化簡(jiǎn)，再求值：[（a-2b）2-（a-2b）（a+2b）+4b2]÷2b,其中a=1，b=2.18.(本小題8分)

科學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，利用這個(gè)發(fā)現(xiàn)人們發(fā)明了許多有用的工具，例如潛望鏡等.如圖是潛望鏡工作原理示意圖，潛望鏡中的兩面平面鏡AB，CD是平行放置的，光線經(jīng)過(guò)鏡子反射時(shí)，∠1=∠2，∠3=∠4.請(qǐng)利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明：進(jìn)入潛望鏡的光線m與離開(kāi)潛望鏡的光線n平行.將下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整，并填空（理由）.

解：∵AB∥CD（已知），

∴∠2=∠3（______）.

∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），

∴∠1=∠2=∠3=∠4（______）.

∵∠1+∠2+∠5=180°（______），

∠3+∠4+______=180°.

∴∠5=180°-（∠1+∠2）.

______=180°-（∠3+∠4）.

∴∠5=______（等量代換）.

∴m∥n（______）.19.(本小題7分)

如圖，若每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x,寬為y.

（1）求陰影部分的面積；

（2）當(dāng)x=4，y=2時(shí)，陰影部分的面積是多少？20.(本小題9分)

閱讀下列文字：我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.例如，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，就可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.

（1）模擬練習(xí)：如圖，寫(xiě)出一個(gè)我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：______；

（2）解決問(wèn)題：如果a+b=10，ab=12，求a2+b2的值；

（3）類比探究：如果一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為（9-x）和（x-2），且（9-x）2+（x-2）2=15，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積.21.(本小題9分)

在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律.如圖是2025年1月份的日歷，我們?nèi)我膺x擇其中所示的方框部分，將每個(gè)方框部分中4個(gè)位置上的數(shù)交叉相乘，再用積較大的數(shù)減去較小的數(shù)，例如：3×9-2×10，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

2025年1月

（1）將每個(gè)方框的左上角數(shù)字設(shè)為n,請(qǐng)用含n的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：______.

（2）請(qǐng)利用整式的運(yùn)算對(duì)以上規(guī)律進(jìn)行證明.22.(本小題13分)

閱讀題目，完成下面推理過(guò)程.

問(wèn)題：中國(guó)漢字博大精深，方塊文字智慧靈秀，奧妙無(wú)窮.如圖①是一個(gè)“互”字.如圖②是由圖①抽象的幾何圖形，其中AB∥CD，MG∥FN，點(diǎn)E，M，F(xiàn)在同一直線上，點(diǎn)G，N，H在同一直線上，且∠AEF=∠GHD.

求證：∠EFN=∠G.

證明：如圖（2），延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)P.

∵AB∥CD（______），

∴∠AEF=∠EPD（______），

又∵∠AEF=∠GHD（______），

∴∠EPD=∠______（等量代換），

∴EP∥GH（______），

∴∠EFN+∠FNG=180°（______），

又∵M(jìn)G∥FN（______），

∴∠FNG+∠G=180°（______），

∴∠EFN=∠G（______）.23.(本小題12分)

【問(wèn)題解決】（1）在一次數(shù)學(xué)課上，李老師讓同學(xué)們獨(dú)立完成一道習(xí)題：

如圖1，如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=______.

A.180°

B.270°

C.360°

D.540°

【類比探究】（2）在同學(xué)們解答完這道題后，李老師對(duì)這道題進(jìn)行了改編：如圖2，AB∥EF不變，當(dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)M的位置時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出∠BAM，∠AME，∠MEF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【拓展應(yīng)用】（3）善于思考的南南同學(xué)也對(duì)這道題進(jìn)行了改編：如圖3，將圖1的部分與圖2重合，AB∥EF不變，當(dāng)AM，EM分別平分∠BAC和∠CEF時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出∠ACE與∠AME之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

參考答案1.解：A．x4+x4=2x4，故本選項(xiàng)不合題意；

B．a(chǎn)2?a4=a6，故本選項(xiàng)不合題意；

C．-a7?a5=-a12，正確，故本選項(xiàng)符合題意；

D．（2x2y3）2=4x4y6，故本選項(xiàng)不合題意．

故選：C．

2.解：1862.69億=186269000000=1.86269×1011．

故選：B．

3.解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥l于點(diǎn)D，將水泵房建在了D處，這樣做蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是垂線段最短，

所以只有選項(xiàng)A正確，符合題意，

故選：A．

4.解：根據(jù)題意可知，原來(lái)圖形陰影部分的面積為：m2-n2，

減掉小正方形后陰影部分的面積為：（m+n）（m-n），

∴等式為：m2-n2=（m+n）（m-n）．

故選：B．

5.解：A、∠1與∠2有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線，故A正確；

B、∠1與∠3的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，故B正確；

C、∠2與∠4的位置相同，故C正確；

D、∠3與∠4是同旁內(nèi)角．故D錯(cuò)誤；

故選：D．

6.解：A.（2a+b）（2b-a）=3ab-2a2+2b2不符合平方差公式的形式，故錯(cuò)誤；

B.原式=-（x+1）（x+1）=-（x+1）2不符合平方差公式的形式，故錯(cuò)誤；

C.原式=-（3x-y）（3x-y）=-（3x-y）2不符合平方差公式的形式，故錯(cuò)誤；

D.原式=-（n+m）（n-m）=-（n2-m2）=-n2+m2符合平方差公式的形式，故正確．

故選D．

7.解：∵AB∥DC，

∴∠1=∠AEF，

由折疊的性質(zhì)得出∠AEF=∠FEA′，

∵∠1=2∠2，

∴∠AEF=∠FEA′=2∠2，

∵∠AEF+∠FEA′+∠2=180°，

∴2∠2+2∠2+∠2=180°，

解得∠2=36°．

∴∠AEF=72°．

故選：C．

8.解：由題意得，a+b=3，

∴3a?3b=3a+b=33=27，

故選：D．

9.解：如圖所示：

∵直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段最短，MC⊥l,

∴點(diǎn)M到直線l的距離是垂線段MC的長(zhǎng)度，為2cm,

故選：A．

10.解：第1個(gè)圖中，∠α+∠β=90°，∠α與∠β不一定相等，此情況錯(cuò)誤，不符合題意；

第2個(gè)圖中，根據(jù)同角的余角相等，∠α=∠β，此情況正確，符合題意；

第3個(gè)圖中，根據(jù)三角尺的特點(diǎn)和擺放位置得：∠α+45°=180°，∠β+45°=180°，

∴∠α=∠β，此情況正確，符合題意；

第4個(gè)圖中，∠α=∠β=45°，此情況正確，符合題意；

綜上所述，∠α=∠β的圖形有3個(gè)，只有C選項(xiàng)正確，符合題意．

故選：C．

11.解：原式=5+1=6，

故答案為：6．

12.解：（a2+4a）÷a=a+4，

即這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a+4，

故答案為：a+4．

13.解：添加一個(gè)條件∠BAC=∠DCA（答案不唯一），理由如下：

∵∠BAC=∠DCA，

∴AB∥DC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），

故答案為：∠BAC=∠DCA（答案不唯一）．

14.解：∵a=8131=（34）31=3124，b=2741=（33）41=3123，c=961=（32）61=3122，

∵3122＜3123＜3124，

∴a＞b＞c.

故答案為：a＞b＞c.

15.解：（1）圖1，當(dāng)∠ACE=15°時(shí)，BE∥AD，理由如下：

∵∠ACE=15°，

∴∠FCE=∠DCA-∠ACE=90°-15°=75°，

∵∠E=45°，

∴∠EFC=180°-∠FCE-∠E=180°-75°-45°=60°，

∵∠D=60°，

∴∠EFC=∠D=60°，

∴BE∥AD；

（2）圖2，當(dāng)∠ACE=60°時(shí)，BC∥AD，理由如下：

∵∠ACE=60°，∠BCE=90°，

∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=150°，

∵∠A=30°，

∴∠ACB+∠A=180°，

∴BC∥AD，

故答案為：15°或60°．

16.解：17.解：18.解：∵AB∥CD（已知），

∴∠2=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）

∴∠1=∠2=∠3=∠4（等量代換），

∵∠1+∠2+∠5=180°（平角的定義），

∠3+∠4+∠6=180°，

∴∠5=180°-（∠1+∠2），

∠6=180°-（∠3+∠4），

∴∠5=∠6（等量代換），

∴m∥n（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換；平角定義；∠6；∠6；∠6；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．

19.解：（1）若每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x,寬為y.

則陰影部分的面積是：

=

=5xy；

（2）當(dāng)x=4，y=2時(shí)，

陰影部分面積=5×4×2=40．

20.解：（1）由題意得：（a+b）2=a2+2ab+b2，

故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）∵a+b=10，

∴（a+b）2=100，

∴a2+2ab+b2=100，

∵ab=12，

∴a2+b2=76；

（3）設(shè)9-x=a,x-2=b,則a+b=9-x+x-2=7，

∴（a+b）2=49，

∴a2+2ab+b2=49，

∵（9-x）2+（x-2）2=15，

∴a2+b2=15，

∴2ab=49-15=34，

∴ab=（9-x）（x-2）=17，

∴這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為17．

21.（1）解：設(shè)日歷中所示的方框左上角數(shù)字為n,則其余三個(gè)數(shù)從小到大依次是：n+1，n+7，n+8，

∴規(guī)律用含n的式子可表示為（n+1）（n+7）-n（n+8）=7，

故答案為：（n+1）（n+7）-n（n+8）=7；

（2）證明：∵（n+1）（n+7）-n（n+8）

=n2+8n+7-n2-8n

=7，

∴（n+1）（n+7）-n（n+8）=7成立．

22.證明：根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，

如圖，延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)P．

由條