計算機控制技術(shù)第5章常規(guī)及復雜控制技術(shù)尤文斌

丁永紅

李旭妍編著西安電子科技大學出版社第5章常規(guī)及復雜控制技術(shù)

5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.2數(shù)字控制器的離散化設計5.3純滯后控制技術(shù)5.4數(shù)字控制器的程序?qū)崿F(xiàn)5.5前饋控制系統(tǒng)設計5.6系統(tǒng)的能控性與能觀性5.7數(shù)字控制器狀態(tài)空間設計法5.1數(shù)字控制器的模擬化設計1）設計假想的連續(xù)控制器D(s)（1）確定控制器的結(jié)構(gòu)，如PID算法，然后對其控制參數(shù)進行整定完成設計；（2）用連續(xù)控制系統(tǒng)設計方法設計，如用頻率特性法、根軌跡法等設計D(s)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。2）選擇采樣周期T采用連續(xù)化設計方法，用數(shù)字控制器近似模擬控制器，要有相當短的采樣周期。

5.1.1數(shù)字控制器的模擬化設計步驟5.1數(shù)字控制器的模擬化設計3）將D(s)離散化為D(z)將D(s)離散化為D(z)方法有很多，如雙線性變換法、差分法、沖擊響應不變法、零階保持法、零極點匹配法等。4）設計由計算機實現(xiàn)的控制方法將D(z)表示成差分方程的形式，編制程序，由計算機實現(xiàn)數(shù)字調(diào)節(jié)規(guī)律。5）校正設計好的數(shù)字控制器能否達到系統(tǒng)設計指標，必須進行檢驗?？梢圆捎脭?shù)學分析方法，在Z域內(nèi)分析、檢驗系統(tǒng)性能指標；也可采用仿真技術(shù)，利用計算機來檢驗系統(tǒng)的指標是否滿足設計要求。如果不滿足，需要重新設計。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計【例5-1】某系統(tǒng)如圖5.1所示，其被控對象傳遞函數(shù)為，要求系統(tǒng)性能指標為：超調(diào)量小于20%，調(diào)節(jié)時間小于10s，單位斜坡輸入跟蹤誤差小于1，設計數(shù)字控制器。圖5.1

某計算機采樣控制系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)圖5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.2

某計算機采樣控制系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)圖解：應用計算機控制系統(tǒng)的模擬化設計方法。（1）設計步驟1）先根據(jù)圖5.2所示的連續(xù)控制系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)圖，按照系統(tǒng)的性能指標設計連續(xù)控制器D(s)，即2）再采用相應離散化方法將連續(xù)控制器離散化為D(z)。3）驗證離散后性能指標是否滿足要求。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計（2）常用指令1）連續(xù)系統(tǒng)的離散化。命令格式：sysd=c2d(sys,Ts,'zoh')%'zoh'表示采用零階保持器，可默認?；蛘遱ysd=c2d(sys,Ts,'tustin')%表示采用雙線性變換2）離散系統(tǒng)的描述。傳遞函數(shù)描述：sysd=tfdata(num,den,Ts)零極點描述：sys=zpk(z,p,k,Ts)%若無零極點則用[]表示5.1數(shù)字控制器的模擬化設計3）離散系統(tǒng)的時域分析。dimpulse、dstep、dlsim命令都可以用來仿真離散系統(tǒng)的響應，仿真時間t可默認。格式：dimpulse(sysd,t)dstep(sysd,t)dlsim(sys,u,t,x0)%x0設定初始狀態(tài)，默認時為05.1數(shù)字控制器的模擬化設計（3）二階系統(tǒng)階躍響應指標公式由（4）校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差5.1數(shù)字控制器的模擬化設計（5）仿真程序可求出連續(xù)控制器D(s)，再用零階保持’zoh’模式對其離散化；采樣周期為0.1s。MATLAB例5-1仿真結(jié)果如圖5.3。圖5.3

T=0.1s的階躍響應對連續(xù)傳遞函數(shù)離散化后的系統(tǒng)超調(diào)量大于設計的20%。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.2數(shù)字PID控制器按反饋控制系統(tǒng)偏差的比例（Proportional）、積分（Integral）和微分（Differential）規(guī)律進行控制的調(diào)節(jié)器，簡稱為PID調(diào)節(jié)器。u(t)——調(diào)節(jié)器輸出信號；e(t)——調(diào)節(jié)器的偏差信號，它等于測量值與給定值之差；KP——調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)；TI——調(diào)節(jié)器的積分時間常數(shù)；TD——調(diào)節(jié)器的微分時間常數(shù)。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.2數(shù)字PID控制器比例控制能提高系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，迅速反映誤差，從而減小誤差，但比例控制不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。KP的加大，會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。積分控制的作用是消除穩(wěn)態(tài)誤差，因為只要系統(tǒng)存在誤差，積分作用就不斷地積累，輸出控制量以消除誤差，直到偏差為零，積分作用才停止，但積分作用太強會使系統(tǒng)超調(diào)量加大，甚系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。微分控制與偏差的變化率有關(guān)，它可以減小超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)定性提高，同時加快系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，減小調(diào)整時間，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.2數(shù)字PID控制器比例控制能提高系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，迅速反映誤差，從而減小誤差，但比例控制不能消除穩(wěn)態(tài)誤差。KP的加大，會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。積分控制的作用是消除穩(wěn)態(tài)誤差，因為只要系統(tǒng)存在誤差，積分作用就不斷地積累，輸出控制量以消除誤差，直到偏差為零，積分作用才停止，但積分作用太強會使系統(tǒng)超調(diào)量加大，甚系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。微分控制與偏差的變化率有關(guān)，它可以減小超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)定性提高，同時加快系統(tǒng)的動態(tài)響應速度，減小調(diào)整時間，從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。

小明接到任務后就一直守在水缸旁邊，時間長就覺得無聊，就跑到房里看小說了，每30分鐘來檢查一次水面高度。水漏得太快，每次小明來檢查時，水都快漏完了，離要求的高度相差很遠，小明改為每3分鐘來檢查一次，結(jié)果每次來水都沒怎么漏，不需要加水，來得太頻繁做的是無用功。幾次試驗后，確定每10分鐘來檢查一次。這個檢查時間就稱為采樣周期。開始小明用瓢加水，水龍頭離水缸有十幾米的距離，經(jīng)常要跑好幾趟才加夠水，于是小明又改為用桶加，一加就是一桶，跑的次數(shù)少了，加水的速度也快了，但好幾次將缸給加溢出了，不小心弄濕了幾次鞋，小明又動腦筋，我不用瓢也不用桶，我用盆，幾次下來，發(fā)現(xiàn)剛剛好，不用跑太多次，也不會讓水溢出。這個加水工具的大小就稱為比例系數(shù)。師傅：咱們9點鐘上班，你8:48才從宿舍出來，你會怎么走？BOBO：那得趕快走啊~~師傅：對啊，你會一直以一個比平常走路速度快的速度朝車間走來吧，等到離車間比較近了，可能不再走那么快了。BOBO：嗯，這是積分的作用，根據(jù)PV和SP之間的偏差調(diào)節(jié)我走路的速度O(∩_∩)O~KOKO：呵呵，我想到微分作用是什么樣兒的了。BOBO：說來聽聽~KOKO：哈哈，如果你8:54才從宿舍出來，微分調(diào)節(jié)就該起作用了。BOBO：嗯？師傅：你肯定是一路小跑吧，跑不了幾步累了，看離的也近了，速度會降一些，但還是在跑。BOBO：對，跑到車間門口再急剎車大喘氣O(∩_∩)O哈哈~師傅：這就是微分的作用了，提前控制啊。

對式連續(xù)系統(tǒng)進行離散化處理，用求和代替積分，用向后差分代替微分，使模擬PID離散化為數(shù)字形式的差分方程。在采樣周期足夠小時，可作如下近似5.1數(shù)字控制器的模擬化設計式中，T——為采樣周期；

k——為采樣序號，k=0，1，2，…可得離散化之后的表達式為式中所得到的第k次采樣時調(diào)節(jié)器的輸出u(k)，表示在數(shù)字控制系統(tǒng)中，在第k時刻執(zhí)行結(jié)構(gòu)所應達到的位置。如果執(zhí)行結(jié)構(gòu)采用調(diào)節(jié)閥，則u(k)就對應閥門的開度，通常稱為位置式PID控制算法。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計式中，e(k)——第k次采樣時的偏差值；

e(k-1)——第（k-1）次采樣時的偏差值；

u(k)——第k次采樣時調(diào)節(jié)器的輸出。

KP——比例系數(shù)；

——積分系數(shù)；——微分系數(shù)；數(shù)字調(diào)節(jié)器的輸出u(k)跟過去的所有偏差信號有關(guān)，計算機需要對e(j)進行累加，運算工作量很大，而且，計算機的故障可能使u(k)做大幅度的變化，這種情況往往使控制不方便，而且有些場合可能會造成嚴重的事故。因此，在實際的控制系統(tǒng)中不太常用這種方法。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計

根據(jù)遞推原理，寫出位置式PID算法的第（k-1）次輸出的表達式為5.1數(shù)字控制器的模擬化設計2）數(shù)字PID增量型控制算法可得數(shù)字PID增量式控制算法為

增量式算法和位置式算法相比具有以下幾個優(yōu)點。①增量式算法只與e（k）、e（k-1）和e（k-2）有關(guān)，不需要進行累加，不易引起積分飽和，因此能獲得較好的控制效果。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計②在位置式控制算法中，由手動到自動切換時，必須首先使計算機的輸出值等于閥門的原始開度，才能保證手動到自動的無擾動切換，這將給程序設計帶來困難。而增量式設計只與本次的偏差值有關(guān)，與閥門原來的位置無關(guān)，因而易于實現(xiàn)手動/自動的無擾動切換。③增量式算法中，計算機只輸出增量，誤動作時影響小。必要時可加邏輯保護，限制或禁止故障時的輸出。增量型算法的不足：①積分截斷效應大，有靜態(tài)誤差；②溢出的影響大。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計4）數(shù)字PID控制仿真（1）連續(xù)系統(tǒng)的位置式PID控制仿真采用MATLAB的M函數(shù)形式編程仿真。設被控對象為一個電動機，其傳遞函數(shù)為,式中，J=0.0067；B=0.10。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計設參考輸入為正弦函數(shù)r(t)=0.50sin(2πt)。設計的位置式PID控制參數(shù)為：KP=20，KD=0.5；采樣周期TS=0.001s。仿真結(jié)果如圖5.4所示。由圖可見，只要PID參數(shù)設置合適，參考輸入為正弦信號，系統(tǒng)輸出能較好地跟蹤給定輸入。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計a）輸出響應曲線

b）偏差變化曲線圖5.4

仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計（2）離散系統(tǒng)的PID控制仿真設被控對象為

，采樣時間為1ms，通過加零階保持器進行Z變換，得到廣義對象G(z)，由此得到對象的差分方程為分別針對離散系統(tǒng)的階躍信號、方波信號和正弦信號輸入，采用位置式PID控制。仿真程序中，S為輸入信號選擇變量，S=1時為階躍信號，S=2時為方波信號，S=3時為正弦信號。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計a）輸入為階躍信號的響應曲線

b）輸入為方波信號的響應曲線圖5.5

仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計c）輸入為正弦信號的響應曲線圖5.5

仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計（3）增量式PID控制仿真設被控對象為

，采樣時間為1ms，通過加零階保持器進行Z變換，得到廣義對象G(z)，由此得到對象的差分方程為仿真程序中，S為輸入信號選擇變量，S=1時為階躍信號，S=2時為方波信號，S=3時為正弦信號。練習調(diào)整PID的參數(shù)，觀察響應的變化規(guī)律。增量式PID的控制參數(shù)分別為：KP=8，KI=0.10，KD=10。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.6

仿真結(jié)果a）輸入為階躍信號的響應曲線

b）輸入為方波信號的響應曲線5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.6

仿真結(jié)果c）輸入為正弦信號的響應曲線參考輸入信號是階躍信號和正弦信號，只要增量式PID控制器的參數(shù)設置合適，系統(tǒng)輸出能較好地跟蹤給定輸入。練習題用增量式PID控制傳遞函數(shù)為G(s)的被控對象G（s）=5/(s^2+2s+10),用增量式PID控制算法編寫仿真程序（輸入分別為單位階躍、正弦信號，采樣時間為1ms，控制器輸出限幅：[-5,5],仿真曲線包括系統(tǒng)輸出及誤差曲線，并加上注釋、圖例）。求解過程1、對G(s)進行離散化即進行Z變換得到Z傳遞函數(shù)G(Z)；2、分子分母除以z的最高次數(shù)即除以z的最高次得到；3、由z的位移定理Z[e(t-kt)]=z^k*E(z)逆變換得到差分方程；4、PID編程實現(xiàn)調(diào)節(jié)過程如下：

1.

首先調(diào)節(jié)ki=kd=0,調(diào)節(jié)比例環(huán)節(jié)kp,從小到大直至臨界穩(wěn)定。

2.

調(diào)節(jié)ki,依次增大直到等幅振蕩為止。

3.

調(diào)節(jié)kd,逐漸增大直至臨界振蕩。

4.

再把各個環(huán)節(jié)都加入系統(tǒng)進行微調(diào)各環(huán)節(jié)增益。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.3數(shù)字PID控制器的改進在實際系統(tǒng)的運動過程中，控制量因受到執(zhí)行機構(gòu)的機械和物理性能的約束，通常被限制在一定范圍內(nèi)，如受到最小下限值和最大上限值的約束，即umin≤u≤umax，或者其變化率也只能在一定的范圍內(nèi)

。為此定義了PID控制的“飽和”作用，定義如下：若控制算法的計算結(jié)果（控制量）超出了上述實際系統(tǒng)中允許的范圍，那么實際執(zhí)行的控制量不再是計算值，由此將引起不期望的效應，這類效應稱為飽和效應。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.3數(shù)字PID控制器的改進在位置式PID控制算法中存在偏差的累積項（主要是由積分項提供的），當偏差較大時，例如在給定值發(fā)生突變時（即由一種給定值變化到另一種給定值時），偏差就很大，由于累積作用，可能會導致計算值超出了實際系統(tǒng)允許的范圍而造成飽和效應，這類主要由位置式PID控制算法中的積分項引起的飽和稱為積分飽和。為了克服積分飽和，必須要對控制算法進行改進，常用的方法如下：（1）遇限削弱積分法當控制量進入到飽和區(qū)、受到限制時，控制算法將只執(zhí)行削弱積分項的運算，停止增大積分項的運算。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計設被控對象為

，采樣周期為1ms，給定信號為階躍信號r=30。分別采用遇限削弱積分法和標準位置式PID算法進行控制仿真。仿真結(jié)果：圖5.8是標準位置式PID控制的仿真結(jié)果，由圖可見，由于積分引起的飽和作用，使得系統(tǒng)產(chǎn)生了較大的超調(diào)量。圖5.9是采用遇限削弱積分法的仿真結(jié)果，由圖可見，采用該法后可避免控制量長時間停留在飽和區(qū)，避免系統(tǒng)產(chǎn)生較大的超調(diào)量。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.8

標準式PID控制算法的仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.9遇限削弱積分法的仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計（2）積分分離法積分分離法的基本思想是：當系統(tǒng)輸出與給定值的偏差較大時，取消積分作用，以免由于積分作用過大使系統(tǒng)超調(diào)量太大，造成穩(wěn)定性下降；當系統(tǒng)輸出與給定值接近時，引入積分項，以便消除靜差，提高控制精度。具體實現(xiàn)步驟如下：①根據(jù)實際情況，人為設定一個閾值ε>0。②設邏輯系數(shù)③對位置式PID控制算式改進為5.1數(shù)字控制器的模擬化設計當|e(k)|>ε，即偏差較大時，采用PD控制，可避免產(chǎn)生過大的超調(diào)，又使系統(tǒng)有較快的響應；當|e(k)|<ε，即偏差較小時，采用PID控制，以保證系統(tǒng)的控制精度。圖5.10

積分分離法的位置式PID控制算法程序流程可設置多個閾值，采用分段積分分離法，有利于系統(tǒng)的快速調(diào)節(jié)。式中，A、B為根據(jù)具體情況設定的常數(shù)（B>A）；ε1、ε2、ε3為設置的3個閾值常數(shù)（ε1>ε2>ε3）。設被控對象是一個具有純滯后時間的系統(tǒng)，即5.1數(shù)字控制器的模擬化設計采樣周期為20s，滯后時間為80s，為4個采樣周期時間。對比標準PID控制和積分分離PID控制效果。MATLAB仿真結(jié)果：圖5.11為標準PID控制的結(jié)果，由圖可見，系統(tǒng)輸出響應的過渡過程時間比較長，即動態(tài)性能不理想。圖5.12為積分分離法PID控制的結(jié)果，由圖可見，系統(tǒng)輸出響應的過渡過程比較平滑，能夠較快地結(jié)束這一過程，有較好的動態(tài)性能。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計a）系統(tǒng)響應曲線

b）控制量變化曲線圖5.11

標準PID控制的仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計a）系統(tǒng)響應曲線

b）控制量變化曲線圖5.12積分分離PID控制結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計（3）變速積分PID算法變速積分PID算法的基本思想是改變積分項的累加速度，使其與偏差的大小相對應，即偏差越大，積分速度越慢；反之，偏差越小時，積分速度越快。上述“積分分離法”是它的特例。變速積分PID算法的具體算式如下；設置系數(shù)f[e(k)]，它是e(k)的函數(shù)，有式中，A、B是設定的兩個正的閾值常數(shù)。f[e(k)]在[0，1]小之間變化。當偏差e(k)增大時，f[e(k)]減小，反之增加。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計當偏差很大時，f[e(k)]取為0，即本次偏差e(k)的積分作用減弱至無；當偏差較大時，f[e(k)]在[0，1]之間，本次偏差e(k)產(chǎn)生部分積分作用；當偏差較小時，f[e(k)]取為1，完全將本次偏差e(k)進行累積，實現(xiàn)完全積分。變速積分PID算法實現(xiàn)了按偏差的比例調(diào)節(jié)其積分作用，既可以消除由于偏差大而引起的積分飽和作用，減少超調(diào)，改善系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)；也可以應用積分來消除穩(wěn)態(tài)靜差；另外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)品質(zhì)。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計變速積分PID算法變化為考慮上例的對象，PID控制器的參數(shù)分別為：KP=0.45，KI=0.0048，KD=12，A=0.4，B=0.6。仿真結(jié)果：圖5.13為標準PID控制的結(jié)果，由圖可見，系統(tǒng)輸出響應的過渡過程時間比較長，即動態(tài)性能不夠理想。圖5.14為變速積分法PID控制的結(jié)果，由圖可見，系統(tǒng)輸出響應的過渡過程比較平滑，能夠較快地結(jié)束這一過程，有較好的動態(tài)性能。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.13

標準PID控制的仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.14變速積分PID控制的仿真結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.15不完全微分PID（4）不完全微分PID法所謂不完全微分PID，是指在標準PID控制器的輸出端串聯(lián)一階慣性環(huán)節(jié)（例如低通濾波器），如圖5.15所示。采用不完全微分PID的主要原因是：①具有高頻擾動的生產(chǎn)過程，由于微分作用響應過于靈敏，容易引起控制過程振蕩。②一個采樣周期的時間是不足以驅(qū)動執(zhí)行器的，相當于微分沒有產(chǎn)生全部作用。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計圖5.16典型數(shù)字PID與不完全微分PID的微分作用比較（4）不完全微分PID法標準的數(shù)字PID，每次的循環(huán)周期中，微分的作用只能維持一個采樣周期。a）典型數(shù)字PID控制量變化

b）不完全微分PID控制量變化5.1數(shù)字控制器的模擬化設計一階慣性環(huán)節(jié)Df(s)的傳遞函數(shù)為因?qū)ι鲜竭M行離散化，得到不完全微分PID位置式控制算式為5.1數(shù)字控制器的模擬化設計得到其增量式算式為式中，5.1數(shù)字控制器的模擬化設計被控對象仍然是上例的對象，設在對象的輸出增加幅值為0.01的隨機信號，采樣時間為20s。低通濾波器為PID控制器的參數(shù)為：KP=0.3，KI=0.0055，KD=2.1。

a）系統(tǒng)響應曲線

b）PID控制量變化

圖5.17典型數(shù)字PID控制仿真結(jié)果

圖5.17典型數(shù)字PID控制仿真結(jié)果

a）系統(tǒng)響應曲線

b）PID控制量變化

a）系統(tǒng)響應曲線

b）PID控制量變化圖5.18

不完全微分PID控制結(jié)果5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定在PID控制器的結(jié)構(gòu)確定之后，系統(tǒng)的性能好壞主要決定于參數(shù)的選擇是否合理。數(shù)字PID算法的參數(shù)整定的任務主要是確定KP、TI、TD和采樣周期T。5.1.4.1.采樣周期T的確定從理論上講，采樣頻率越高，失真越小。但從控制器本身而言，大都依靠偏差信號e(k)進行調(diào)節(jié)計算。當采樣周期T太小時，偏差信號e(k)也會過小，此時計算機將會失去調(diào)節(jié)作用。采樣周期T過長又會引起誤差。因此，選擇采樣周期T時，必須綜合考慮。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定在PID控制器的結(jié)構(gòu)確定之后，系統(tǒng)的性能好壞主要決定于參數(shù)的選擇是否合理。數(shù)字PID算法的參數(shù)整定的任務主要是確定KP、TI、TD和采樣周期T。5.1.4.1.采樣周期T的確定從理論上講，采樣頻率越高，失真越小。但從控制器本身而言，大都依靠偏差信號e(k)進行調(diào)節(jié)計算。當采樣周期T太小時，偏差信號e(k)也會過小，此時計算機將會失去調(diào)節(jié)作用。采樣周期T過長又會引起誤差。因此，選擇采樣周期T時，必須綜合考慮。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定一般應考慮的因素如下：（1）被控對象的特性

若被控對象是慢速變化的對象時，如熱工或化工行業(yè)，采樣周期一般取得較大；若被控對象是快速變化的對象時，采樣周期應取得小一些，否則，采樣信號無法反映瞬變過程；如果系統(tǒng)純滯后占主導地位時，應按純滯后大小選取采樣周期T，盡可能使純滯后時間接近或等于采樣周期的整數(shù)倍。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定一般應考慮的因素如下：（2）擾動信號采樣周期應遠遠小于擾動信號的周期，為了能夠采用濾波的方法消除干擾信號，一般使擾動信號周期與采樣周期成整數(shù)倍。（3）控制的回路數(shù)如果控制的回路數(shù)較多，計算的工作量較大，則采樣周期長一些；反之，可以短些。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定（4）執(zhí)行機構(gòu)的響應速度執(zhí)行機構(gòu)的動作慣性較大，采樣周期T應能與之相適應。如果采樣周期過短，那么響應速度慢的執(zhí)行機構(gòu)就會來不及反應數(shù)字控制器輸出值的變化。（5）控制算法的類型當采用PID算法時，如果選擇的采樣周期T太小，將使微分積分作用不明顯。因為當T小到一定程度后，由于受到計算精度的限制，偏差e(k)始終為零。另外，各種控制算法也需要計算時間。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定（6）給定值的變化頻率加到被控對象上的給定值變化頻率越高，采樣頻率應越高。這樣給定值的改變才可以得到迅速反應。（7）考慮A/D、D/A轉(zhuǎn)換器的性能如果A/D、D/A轉(zhuǎn)換器的速度快，采樣周期可以小些。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定5.1.4.2.擴充臨界比例度法擴充臨界比例度法是簡易工程整定方法之一。這種方法的最大優(yōu)點是整定參數(shù)時不必依賴被控對象的數(shù)學模型，適用于現(xiàn)場應用。擴充臨界比例度法是基于模擬調(diào)節(jié)器中使用的臨界比例度法的一種PID數(shù)字調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定方法。具體步驟如下：（1）選擇一個足夠短的采樣周期Tmin。例如帶有純滯后的系統(tǒng)，其采樣周期取純滯后時間的十分之一以下。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定5.1.4.2.擴充臨界比例度法（2）求出臨界比例度δu和臨界振蕩周期Tu。具體方法是：將上述的采樣周期Tmin輸入到計算機中，使用純比例控制，調(diào)節(jié)比例系數(shù)Kp，直到系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩為止。所得到的比例度（

）即為臨界比例度δu，此時的振蕩周期即為臨界振蕩周期Tu。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定5.1.4.2.擴充臨界比例度法（3）選擇控制度。所謂控制度，就是以模擬調(diào)節(jié)器為準，將DDC的控制效果與模擬調(diào)節(jié)器的控制效果相比較?？刂菩Ч脑u價函數(shù)通常采用（誤差平方積分）表示。對于模擬系統(tǒng)，其誤差平方積分可按記錄紙上的圖形面積計算。而DDC系統(tǒng)可用計算機直接計算。通常當控制度為1.05時，表示DDC系統(tǒng)與模擬系統(tǒng)的控制效果相當。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定5.1.4.2.擴充臨界比例度法（4）根據(jù)選定的控制度，查表5.1，即可求出T、KP、TI、TD的值，進而求出T、KP、KI、KD的值。表5.1

擴充臨界比例度法整定參數(shù)表控

制

度控制規(guī)律TKPTITD1.05PI0.03Tu0.53δu0.88Tu－

PID0.014Tu0.63δu0.49Tu0.14Tu1.2PI0.05Tu0.49δu0.91Tu

PID0.043Tu0.47δu0.47Tu0.16Tu1.5PI0.14Tu0.42δu0.99Tu

PID0.09Tu0.34δu0.43Tu0.20Tu2.0PI0.22Tu0.36δu1.05Tu

PID0.16Tu0.27δu0.40Tu0.22Tu5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定5.1.4.2.擴充臨界比例度法（5）按求得的參數(shù)運行，在運行中觀察控制效果，再適當?shù)卣{(diào)整參數(shù)，直到獲得滿意的控制效果。

該參數(shù)整定方法適用于具有一階滯后環(huán)節(jié)的被控對象，否則，最好選用其他的方法整定。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定5.1.4.3.擴充響應曲線法擴充響應曲線法是又一種簡易工程整定方法。對于那些不允許進行臨界振蕩實驗的系統(tǒng)，可以采用擴充響應曲線法。具體方法如下：（1）斷開數(shù)字PID控制器，使系統(tǒng)在手動狀態(tài)下工作。當系統(tǒng)在給定值處達到平衡之后，給一個階躍輸入信號。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4數(shù)字PID算法的參數(shù)整定5.1.4.3.擴充響應曲線法擴充響應曲線法是又一種簡易工程整定方法。對于那些不允許進行臨界振蕩實驗的系統(tǒng)，可以采用擴充響應曲線法。具體方法如下：5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4.3.擴充響應曲線法（2）用儀表記錄下被控參數(shù)在此階躍輸入信號作用下的變化過程，即階躍響應曲線，如圖5.19所示。圖5.19

被控參數(shù)的階躍響應曲線5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4.3.擴充響應曲線法（3）在曲線的最大斜率處作切線，該切線與橫軸以及系統(tǒng)響應穩(wěn)態(tài)值的延長線相交于a、b兩點，過b點作橫軸的垂線，并與橫軸交于c點，于是得到滯后時間θ和被控對象的時間常數(shù)τ，再求出τ/θ的值。（4）選擇控制度。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4.3.擴充響應曲線法（5）查表5.2，即可求出T、KP、T1、TD的值，進而求出T、KP、K1、KD的值?？?/p>

制

度控制規(guī)律TKPTITD1.05PI0.1θ0.84τ/θ0.34θ－

PID0.05θ0.15τ/θ2.0θ0.45θ1.2PI0.2θ0.78τ/θ3.6θ－

PID0.16θ1.0τ/θ1.9θ0.55θ1.5PI0.5θ0.68τ/θ3.9θ－

PID0.34θ0.85τ/θ1.62θ0.65θ2.0PI0.8θ0.57τ/θ4.2θ－

PID0.6θ0.6τ/θ1.5θ0.82θ表5.2擴充響應曲線法整定公式5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4.4.歸一參數(shù)整定法

前述兩種參數(shù)整定方法需要確定T、KP、TI、TD四個參數(shù)，相對來說比較麻煩。為了減少整定參數(shù)的數(shù)目，簡化參數(shù)整定方法，在1974年RobertsPD提出了一種簡化擴充臨界比例度整定法。由于該方法只需要整定一個參數(shù)即可，故又稱作歸一參數(shù)整定法。增量式PID算法重寫如下：5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4.4.歸一參數(shù)整定法設T=0.1Tu；T1=0.5Tu；TD=0.125Tu，式中Tu為純比例作用下的臨界振蕩周期，則可以看出，對四個參數(shù)的整定簡化成只整定一個參數(shù)KP，因此，給PID算法的參數(shù)整定帶來許多方便。5.1數(shù)字控制器的模擬化設計5.1.4.5.優(yōu)選法由于實際生產(chǎn)過程錯綜復雜，參數(shù)千變?nèi)f化，因此，確定被控對象的動態(tài)特性不僅計算麻煩，工作量大，而且即使能找出來，其結(jié)果與實際相差也較遠。因此，目前應用較多的還是經(jīng)驗法。優(yōu)選法就是對自動調(diào)節(jié)參數(shù)整定的經(jīng)驗法。其具體做法是：根據(jù)經(jīng)驗，先把其他參數(shù)固定，然后用0.618法對其中某一個參數(shù)進行優(yōu)選，待選出最佳參數(shù)后，再換另一個參數(shù)進行優(yōu)選，直到把所有的參數(shù)優(yōu)選完畢為止。最后根據(jù)T、KP、TI、TD四個參數(shù)優(yōu)選的結(jié)果選出一組最佳值即可。5.2數(shù)字控制器的離散化設計5.2.1數(shù)字控制器的離散化設計步驟從被控對象的實際特性出發(fā)，直接根據(jù)離散系統(tǒng)理論來設計數(shù)字控制器，這樣的方法稱為直接數(shù)字控制。用直接設計法對計算機控制系統(tǒng)進行綜合與設計，顯然更具有一般性的意義。它完全是根據(jù)離散系統(tǒng)的特點進行分析與綜合，并導出相應的控制規(guī)律。利用計算機軟件的靈活性，可以實現(xiàn)從簡單到復雜的各種控制。直接數(shù)字控制的設計基于離散方法的理論，被控對象可用離散模型描述，或用離散化模型來表示連續(xù)對象。5.2數(shù)字控制器的離散化設計5.2.1數(shù)字控制器的離散化設計步驟圖5.20

典型的數(shù)字控制器在圖5.20中，設D(z)為數(shù)字控制器，G(z)為包括零階保持器在內(nèi)的廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)。Φ(z)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，C(z)為輸出信號的Z變換，R(z)為輸入信號的Z變換。5.2數(shù)字控制器的離散化設計5.2.1數(shù)字控制器的離散化設計步驟在圖5.20中，設D(z)為數(shù)字控制器，G(z)為包括零階保持器在內(nèi)的廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)。Φ(z)為閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，C(z)為輸出信號的Z變換，R(z)為輸入信號的Z變換。閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)誤差脈沖傳遞函數(shù)數(shù)字控制器D(z)為5.2數(shù)字控制器的離散化設計5.2.1數(shù)字控制器的離散化設計步驟數(shù)字控制器D(z)為

廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)是保持器和被控對象所固有的，一旦被控對象被確定，G(z)是不能改變的。但是，誤差脈沖傳遞函數(shù)We(z)是因不同的典型輸入而改變的，Φ(z)則根據(jù)系統(tǒng)的不同要求來決定。因此，當Φ(z)、G(z)、We(z)確定后，便可求出數(shù)字控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。5.2數(shù)字控制器的離散化設計5.2.1數(shù)字控制器的離散化設計步驟數(shù)字控制器設計步驟：（1）根據(jù)控制系統(tǒng)的性能指標及實現(xiàn)的約束條件構(gòu)造閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)；（2）確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)；（3）由D(z)確定控制算法并編制程序。5.2數(shù)字控制器的離散化設計5.2.2最少拍控制器的設計

最少拍系統(tǒng)，也稱最小調(diào)整時間系統(tǒng)或最快響應系統(tǒng)。它是指系統(tǒng)在典型輸入作用下（包括單位階躍輸入、單位速度輸入、單位加速度輸入等），經(jīng)過最少個采樣周期，使得輸出穩(wěn)態(tài)誤差為零，達到完全跟蹤，即輸出完全跟蹤輸入，不存在靜差。對任意兩個采樣周期中間的過程不做要求。在數(shù)字控制過程中，一個采樣周期稱為1拍。5.2數(shù)字控制器的離散化設計典型輸入形式如下（T為采樣周期）：（1）單位階躍輸入（2）單位速度輸入（3）單位加速度輸入典型輸入共同的Z變換形式式中，q為正整數(shù)，A(z)是不含有（1-z-1）因子的z-1的多項式。因此，對于不同的輸入，只是q不同而已，一般只討論q=1、2、3的情況。在上述的幾種典型輸入中，q分別為1、2、3。5.2數(shù)字控制器的離散化設計根據(jù)零靜差的要求，由終值定理

由于A(z)不含（1-z-1）因式，若使上式趨于0，應消去分母因式(1-z-1)q，因此必有F1(z)是關(guān)于z-1的多項式5.2數(shù)字控制器的離散化設計當M=q，且F1(z)=1時，可使數(shù)字控制器結(jié)構(gòu)簡單，階數(shù)降低，因而調(diào)節(jié)時間ts最短，可使系統(tǒng)采樣點的輸出在最少拍內(nèi)到達穩(wěn)態(tài)，即最少拍控制。則有：在最短時間內(nèi)

5.2數(shù)字控制器的離散化設計（1）單位階躍輸入時對于單位階躍q=1所以

，即而

，故

同理，…5.2數(shù)字控制器的離散化設計（1）單位階躍輸入時對于單位階躍q=1圖5.21單位階躍輸入時的誤差及輸出響應曲線經(jīng)過1拍即T后，系統(tǒng)誤差e(kT)就可消除，T就是調(diào)整時間。5.2數(shù)字控制器的離散化設計（2）單位速度輸入時即

，

，對于單位速度q=2所以5.2數(shù)字控制器的離散化設計（2）單位速度輸入時圖5.22單位速度輸入時的誤差及輸出響應曲線

即經(jīng)2拍后輸出就可以無差地跟蹤上輸入的變化，此時的系統(tǒng)調(diào)整時間為2T。5.2數(shù)字控制器的離散化設計（3）單位加速度輸入時對于單位加速度q=3所以5.2數(shù)字控制器的離散化設計（3）單位加速度輸入時即即經(jīng)3拍后輸出就可以無差地跟蹤上輸入的變化，此時的系統(tǒng)調(diào)整時間為3T。5.2數(shù)字控制器的離散化設計（3）單位加速度輸入時圖5.23單位加速度輸入時的誤差及輸出響應曲線5.2數(shù)字控制器的離散化設計表5.3

三種典型輸入的最少拍系統(tǒng)輸入函數(shù)r(kT)誤差脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)最少拍數(shù)字控制器D(z)調(diào)節(jié)時間ts1(kT)1-z-1z-1TkT(1-z-1)22z-1-z-22T(1-z-1)33z-1-3z-2+z-33T5.2數(shù)字控制器的離散化設計設計最少拍控制系統(tǒng)數(shù)字控制器的方法步驟如下：（1）根據(jù)被控對象的數(shù)學模型求出廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。（2）根據(jù)輸入信號類型，査表5.3確定誤差脈沖傳遞函數(shù)We(z)。（3）將G(z)、We(z)代入D(z)，進行Z變換運算，即可求出數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。（4）根據(jù)結(jié)果，求岀輸出序列及其響應曲線等。5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-2】某最少拍計算機控制系統(tǒng)，如圖5.20所示。被控對象的傳遞函數(shù)采樣周期T=0.5s，采用零階保持器，試設計在單位速度輸入時的最少拍數(shù)字控制器。5.2數(shù)字控制器的離散化設計解:根據(jù)圖5.20可寫出該系統(tǒng)的廣義對象脈沖傳遞函數(shù)5.2數(shù)字控制器的離散化設計解:根據(jù)圖5.20可寫出該系統(tǒng)的廣義對象脈沖傳遞函數(shù)由于輸

，由表5.3查得所以，可寫出控制器的脈沖傳遞函數(shù)由表5.3可查出系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)當輸入為單位速度信號時，系統(tǒng)輸出序列的Z變換為上式中各項系數(shù)即為c(t)在各個采樣時刻的數(shù)值。c(0)=0，c(T)=0，c(2T)=2T，c(3T)=3T，c(4T)=4T，…。5.2數(shù)字控制器的離散化設計

從圖5.24中可以看出，當系統(tǒng)為單位速度輸入時，經(jīng)過兩拍以后，輸出量完全等于輸入采樣值，即

。因此，所求得的數(shù)字控制器完全滿足設計指標要求。但在各采樣點之間還存在著一定的偏差，即存在著一定的紋波。圖5.24單位速度輸入時的響應曲線5.2數(shù)字控制器的離散化設計設輸入為單位階躍函數(shù)時，輸出量的z變換輸出序列為其輸出響應曲線，見圖5.25。圖5.25單位階躍輸入時的響應曲線按單位速度輸入設計的最少拍系統(tǒng)，當為單位階躍輸入時，經(jīng)過兩個采樣周期，輸出等于輸入。但當時，將有100%的超調(diào)量。5.2數(shù)字控制器的離散化設計設輸入為單位加速度時，輸出量的z變換輸出序列為輸入序列可見，輸出響應與輸入之間始終存在著偏差。5.2數(shù)字控制器的離散化設計輸出序列為輸入序列圖5.26單位加速度輸入時的響應曲線5.2數(shù)字控制器的離散化設計

按某種典型輸入設計的最少拍系統(tǒng)，當輸入形式改變時，系統(tǒng)的性能變壞，輸出響應不一定理想。這說明最少拍系統(tǒng)對輸入信號的變化適應性較差。5.2數(shù)字控制器的離散化設計只有當廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)是穩(wěn)定的即在單位圓上或圓外沒有零、極點，且不含有純滯后環(huán)節(jié)z-1時，所設計的最少拍系統(tǒng)才是正確的。如果上述條件不能滿足，應對上述設計原則進行相應的限制。為保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)的極點應全能在單位圓內(nèi)。5.2數(shù)字控制器的離散化設計若廣義對象G(z)中有不穩(wěn)定極點存在，則應用D(z)或We(z)的相同零點來抵消。但用D(z)來抵消G(z)的零點是不可靠的，因為D(z)中的參數(shù)由于計算上的誤差或漂移會造成抵消不完全的情況，這將有可能引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定，所以，G(z)的不穩(wěn)定極點通常由We(z)的零點來抵消。這樣We(z)自身穩(wěn)定，又可相消。給We(z)增加零點的后果是延遲了系統(tǒng)消除偏差的時間。5.2數(shù)字控制器的離散化設計G(z)中出現(xiàn)在單位圓上(或圓外)的零點，則既不能用We(z)中的極點來抵消，因為這會使We(z)不穩(wěn)定，從而使E(z)=We(z)R(z)越來越大，也不能用增加D(z)中的極點來抵消，因為D(z)不允許有不穩(wěn)定極點，這樣會導致數(shù)字控制器D(z)的不穩(wěn)定，則D(z)的輸出必將不穩(wěn)定，這個不穩(wěn)定的控制量又會使系統(tǒng)的輸出發(fā)散。顯然，讓Φ(z)的零點中含有G(z)單位圓上或圓外零點，二者相消是可行的，因為Φ(z)含單位圓上或圓外零點，不影響自身穩(wěn)定性。5.2數(shù)字控制器的離散化設計對于G(z)中包括純滯后環(huán)節(jié)z-1的多次方時，也不能在D(z)的分母上設置純滯后環(huán)節(jié)來對消G(z)的純滯后環(huán)節(jié)，因為經(jīng)過通分之后，D(z)分子的z的階次m將高于分母z的階次n，使計算機出現(xiàn)超前輸出，這將造成D(z)在物理上無法實現(xiàn)。因此，廣義對象G(z)中的單位圓外零點和z-1因子，必須還包括在所設計的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)中，這將導致調(diào)整時間的延長。由Φ(z)可知，閉環(huán)極點均位于Z平面原點，故系統(tǒng)穩(wěn)定。5.2數(shù)字控制器的離散化設計

綜上所述，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)和誤差傳遞函數(shù)We(z)選擇必須有一定的限制。（1）數(shù)字控制器D(z)在物理上應是可實現(xiàn)的有理多項式，其多項式分母的第1個數(shù)必為1，不能為0。上式中，ai(i=0,1,2,3……m)和，bj(j=0,1,2,3……n)為常系數(shù)，目n≥m。（2）G(z)所有不穩(wěn)定的極點都應由We(z)的零點來抵消。5.2數(shù)字控制器的離散化設計

綜上所述，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)和誤差傳遞函數(shù)We(z)選擇必須有一定的限制。（3）G(z)中在單位圓上(zi=1除外)或圓外的零點都應包含在Φ(z)=1-We(z)中。（4）Φ(z)=1-We(z)應為z-1的展開式，且其方次應與We(z)中分子的z-1因子的方次相等。滿足了上述條件后，D(z)將不再包含G(z)的z平面單位圓上或單位圓外零極點和純滯后的環(huán)節(jié)。5.2數(shù)字控制器的離散化設計圖5.27

計算機控制系統(tǒng)框圖在圖5.27所示的系統(tǒng)中，被控對象的傳遞函數(shù)為Gc(s)=G′c(s)e-τs式中，G′c(s)不含滯后特性；τ為純滯后時間。若令 d=τ/T5.2數(shù)字控制器的離散化設計Gc(s)=G′c(s)e-τs

d=τ/T并設Gc(z)有u個零點z1，z2，…，zu，和ν個極點p1，p2，…，pν在Z平面的單位圓上或圓外。當連續(xù)被控對象Gc(s)中不含純滯后時，d=0；當Gc(s)中含有純滯后時，d≥1，即d采樣周期的純滯后。設G′c(z)是Gc(z)中不含單位圓上或圓外的零極點部分，則廣義對象的傳遞函數(shù)可表示為5.2數(shù)字控制器的離散化設計為了避免使Gc(z)在單位圓上或圓外的零極點與D(z)的零極點對消，同時又能實現(xiàn)對系統(tǒng)的補償，選擇系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時必須滿足以下約束條件：（1）We(z)的零點中，必須包含Gc(z)在Z平面單位圓外或圓上的所有極點，即式中，F(xiàn)1(z)是關(guān)于z-1的多項式，且不含Gc(z)中的不穩(wěn)定極點pj。為了使We(z)能夠?qū)崿F(xiàn)，F(xiàn)1(z)應具有以下形式：5.2數(shù)字控制器的離散化設計實際上，若G(z)有r個極點在單位圓上，即z=1處，We(z)的選擇法應對式（5-33）進行修改，可按以下方法確定We(z)：（5-33）若r≤q，則若r>q，則5.2數(shù)字控制器的離散化設計（5-33）（2）Φ(z)的零點中，必須包含Gc(z)在Z平面單位圓外或圓上的所有零點，即式中，F(xiàn)2(z)是關(guān)于z-1的多項式，且不含有Gc(z)中的不穩(wěn)定零點zi。為了使Φ(z)能夠?qū)崿F(xiàn)，F(xiàn)2(z)應具有以下形式：5.2數(shù)字控制器的離散化設計（5-33）（3）F1(z)和F2(z)階數(shù)的選取可按以下方法進行：若G(z)中r個極點在單位圓上，當r≤q時，有若G(z)中r個極點在單位圓上，當r>q時，有5.2數(shù)字控制器的離散化設計（4）確定控制器結(jié)構(gòu)（5）檢驗控制器D(z)的穩(wěn)定性、可實現(xiàn)性，檢查控制量U(z)的收斂性。（6）檢驗輸出響應系列是否滿足設計要求。（7）將D(z)轉(zhuǎn)換為差分方程形式，設計控制算法進行編程。5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-3】比較不穩(wěn)定對象是否采用上述原則的最小拍控制的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:

1)不按上述限制原則設計時對單位階躍信號輸入，系統(tǒng)輸出Z變換表達式表面上是一個穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，但若對象由于器件產(chǎn)生參數(shù)變化5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-3】比較不穩(wěn)定對象是否采用上述原則的最小拍控制的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。按上述設計的最小拍控制器的結(jié)果為可知，在參數(shù)變化后閉環(huán)系統(tǒng)不再穩(wěn)定。5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-3】比較不穩(wěn)定對象是否采用上述原則的最小拍控制的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。2）按上述限制原則設計時設計We(z)時應包括G(z)的極點。即用Φ(z)平衡上式則，得到5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-3】比較不穩(wěn)定對象是否采用上述原則的最小拍控制的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。控制系統(tǒng)穩(wěn)定。5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-3】比較不穩(wěn)定對象是否采用上述原則的最小拍控制的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。由此可知，模型有誤差時，控制仍能保持穩(wěn)定。對參數(shù)變化的G'，有5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-4】某最小拍計算機控制系統(tǒng)如圖5.20所示。被控對象的傳遞函數(shù)為

，設采樣周期T=0.5s，試設計單位階躍輸入時的最小拍數(shù)字控制器D(z)。解：采用零階保持器對離散化計算脈沖傳遞函數(shù)5.2數(shù)字控制器的離散化設計式中包含單位圓外零點z=-1.4815，為滿足限制條件（3）和（4）兩條，要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)中含有（1+1.4815z-1）項和z-1的因子。用We(z)來平衡z-1的冪次，單位階躍輸入有q=1，r=1，u=1，v=0，可得m=u+d=1，n=v-r+q=1，故有由上述方程組可得比較等式兩邊的系數(shù)，可得解得系數(shù)5.2數(shù)字控制器的離散化設計得到數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為校正后的離散系統(tǒng)在單位作用下，系統(tǒng)的輸出響應為可得，c(0)=0，c(T)=0.403，c(2T)=c(3T)=…=1。其輸出響應達到無差用時2拍（2T）。5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-5】計算機控制系統(tǒng)如圖5.20所示，被控對象的傳遞函數(shù)為

，若采樣周期T=1s，參考輸入為單位速度信號，設計最少拍控制器。解：廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)為參考輸入為單位速度信號，所以q=2；純滯后時間d=2；G(z)沒有單位圓外零、極點，沒有單位圓上的極點，即u=0，v=0，r=0，所以m=u+d=2

n=v-r+q=25.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-5】計算機控制系統(tǒng)如圖5.20所示，被控對象的傳遞函數(shù)為

，若采樣周期T=1s，參考輸入為單位速度信號，設計最少拍控制器。因此有將Φ(z)表達式代入1-Φ(z)中，得到恒等式為5.2數(shù)字控制器的離散化設計由此得到方程組所以控制器的D(z)為5.2數(shù)字控制器的離散化設計由此，得到系統(tǒng)在單位速度信號輸入時的輸出為即從零時刻起，系統(tǒng)輸出為0、0、0、0、4、5、6、…，而參考輸入為0、1、2、3、4、5、6、…，說明經(jīng)過四拍后系統(tǒng)達到無靜差的穩(wěn)態(tài)。5.2數(shù)字控制器的離散化設計【例5-6】在圖5.28所示計算機控制系統(tǒng)中，已知被控對象傳遞函數(shù)

，采樣周期T=1s，輸入為單位速度輸入函數(shù)，試設計最少拍有紋波控制系統(tǒng)數(shù)字控制器D(z)。圖5.28

系統(tǒng)框圖5.2數(shù)字控制器的離散化設計解：由系統(tǒng)框圖知，系統(tǒng)廣義被控對象的傳遞函數(shù)為由于已知采樣周期T=1s，所以輸入為單位速度信號，故q=2設由We(z)=1-Φ(z)，根據(jù)系數(shù)方程組解得f21=2，f22=-1。5.2數(shù)字控制器的離散化設計得到閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)控制器脈沖傳遞函數(shù)為從而5.2數(shù)字控制器的離散化設計上式進行Z反變換，得到上述差分方程所表示的控制律，可以利用計算機直接編程實現(xiàn)。由C(z)=R(z)Φ(z)中求得本例的輸出為通過系統(tǒng)輸出的Z變換式，可以看到系統(tǒng)輸出從第三采樣周期開始能夠在采樣時刻完全跟蹤輸入信號。5.2數(shù)字控制器的離散化設計由C(z)=U(z)G(z)可得數(shù)字控制器的輸出為a）數(shù)字控制器輸出波形

b）系統(tǒng)輸出波形圖5.29

例5-3輸出序列波形圖5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法

在一些實際生產(chǎn)過程中（如熱工、化工過程），被控對象具有較大的純滯后時間。被控對象的純滯后時間τ對系統(tǒng)的控制性能極為不利。當被控對象的純滯后時間τ與時間常數(shù)T之比τ/T≥0.5時，被稱為大純滯后過程，采用常規(guī)的比例積分微分（PID）控制來克服大純滯后比較困難，通常難以得到滿意的控制效果。對具有純滯后特性的被控對象，快速性的要求是次要的，而對穩(wěn)定性、超調(diào)量的要求是主要的。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法大林算法屬于離散化設計方法，其設計目的是根據(jù)純滯后系統(tǒng)的主要控制要求，設計一個合適的數(shù)字控制器D(z)，使期望的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)設計成為一個帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，且純滯后時間與被控對象的純滯后時間相同，即式中，τ為被控對象的純滯后時間（設τ=NT，N是正整數(shù)）。Tτ為期望閉環(huán)傳遞函數(shù)的時間常數(shù)，其值由設計者用試湊法給出。（5-46）5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法大林算法是一種極點配置方法，適用于廣義對象含有滯后環(huán)節(jié)且要求等效系統(tǒng)沒有超調(diào)的控制系統(tǒng)（等效系統(tǒng)為一階慣性環(huán)節(jié)，且無超調(diào)量）。（5-46）首先對式（5-46）表示的閉環(huán)系統(tǒng)離散化，求取閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。它可等效為零階保持器與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)串聯(lián)后的Z變換，有5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法由典型的計算機控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，可得達林算法控制器D(z)為控制器由不同形式的被控對象確定，要獲得到同樣性能的系統(tǒng)，應采用不同的數(shù)字控制器D(z)。大多數(shù)工業(yè)過程對象都可以用帶有純滯后特性e-τs的一階或二階慣性環(huán)節(jié)來近似。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法1）被控對象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)帶純滯后的一階被控對象的傳遞函數(shù)為廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為得5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法2）被控對象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)帶純滯后的二階被控對象的傳遞函數(shù)為廣義被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法式中5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法【例5-10】設被控對象為

，采樣時間為0.5s，期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

加零階保持器后，對象及閉環(huán)傳遞函數(shù)為大林控制器5.3純滯后控制技術(shù)5.3.1大林算法a）常規(guī)PID控制結(jié)果

b）大林算法控制結(jié)果圖5.34

具有時滯的系統(tǒng)響應曲線5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除【例5-11】已知被控對象的傳遞函數(shù)為采樣周期T=1s，期望的閉環(huán)系統(tǒng)時間常數(shù)為Tτ=1s，試用大林算法，求數(shù)字控制器D(z)。解：系統(tǒng)的廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為當輸入為單位階躍信號時，輸出為控制量的輸出為5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除以上表達式用圖表示，如圖5.35所示，這就是振鈴現(xiàn)象。圖5.35

數(shù)字控制器振鈴現(xiàn)象系統(tǒng)輸出在采樣點上按指數(shù)形式跟隨給定值，但控制量有大幅度的擺動，其振蕩頻率為采樣頻率的1/2。大林把這種控制量以1/2的采樣頻率振蕩的現(xiàn)象稱為振鈴。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除

引起振鈴的根源是控制量U(z)中有z=-1附近的極點。極點離z=-1越近，振鈴振幅越大，振鈴現(xiàn)象越嚴重；離z=-1越遠振鈴現(xiàn)象就越弱。被控對象在單位圓內(nèi)右半平面上有零點時，會加劇振鈴現(xiàn)象；而右半平面有極點時，會減輕振鈴現(xiàn)象。

振鈴并不是大林算法中所特有的現(xiàn)象，它與前面所述的最少拍控制中的紋波現(xiàn)象實質(zhì)上是一致的。振鈴現(xiàn)象會引起在采樣點之間系統(tǒng)輸出紋波，可導致執(zhí)行機構(gòu)磨損，使回路動態(tài)性能變壞。因此在系統(tǒng)設計中，必須將它消除。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除衡量振鈴的強烈程度是振鈴幅度RA（RingingAmplitude）。振鈴幅度RA定義為：控制器在單位階躍輸入作用下，第0次輸出幅度減去第1次輸出幅度所得的差值，如圖5.36所示。圖5.36

振鈴幅度定義示意5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除大林算法的數(shù)字控制器D(z)的基本形式可寫成控制器的輸出幅度的變化主要取決于Q(z)。消除振鈴的方法：先找出數(shù)字控制器中產(chǎn)生振鈴現(xiàn)象的極點，令其中z=1，這樣就可消除這個極點，也可消除振鈴現(xiàn)象。并且由終值定理知道，t→∞時，對于z→1，因此，這樣處理并不影響輸出的穩(wěn)態(tài)值。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除在上例中，大林控制器為顯然存在z=-0.733和z=-0.3935兩個z=-1附近的極點，其中第一極點離z=-1最近，應設法消除它。用以上消除振鈴方法，令z=1，即用1+0.733=1.733代替1+0.733z-1項，可得如下算式5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除由于控制器修改了，相應的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)也不再是設計時的傳遞函數(shù)，而是修改為在單位階躍輸入時，系統(tǒng)輸出為5.3純滯后控制技術(shù)5.3.2振鈴現(xiàn)象的消除控制量為由以上計算結(jié)果可見，振鈴現(xiàn)象和輸出值的紋波已經(jīng)減小很多，可以認為基本已消除。大林算法只適用于穩(wěn)定的現(xiàn)象。此外，對于有單位圓外零點的現(xiàn)象，其零點將變成控制器的極點，會引起不穩(wěn)定的控制。在這種情況下，也可采用消除振鈴極點系統(tǒng)的辦法來處理。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制史密斯（Smith）預估控制是具有較大純滯后被控對象中使用較為廣泛的一種純滯后償控制方法。設負反饋控制系統(tǒng)如圖5.37所示。圖5.37

帶純滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)被控對象傳遞函數(shù)為其中，Gp(s)為被控對象中不包含純滯后部分的傳遞函數(shù)；e-τs為被控對象純滯后部分的傳遞函數(shù)。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制圖5.37

帶純滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為由于滯后因子e-τs的存在，尤其是當滯后時間τ比較大時，常規(guī)控制律D(s)很難使閉環(huán)系統(tǒng)獲得滿意的控制性能。史密斯預估控制的基本思想是，引入一個與被控對象并聯(lián)的補償環(huán)節(jié)，用來補償被控對象中的純滯后部分。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制加史密斯補償器的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖5.38所示。圖中Gp(s)為被控對象中不含純滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。點畫線框中的是史密斯補償器，其等效傳遞函數(shù)Gs(s)為5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制經(jīng)推導含史密斯補償器的控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為補償后系統(tǒng)特征方程為補償后，系統(tǒng)將純滯后環(huán)節(jié)e-τs排除在閉環(huán)控制回路之外，它將不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，e-τs只是將控制作用在時間坐標上向后推移了一個時間τ，控制系統(tǒng)的過渡過程及其他性能指標都與被控對象特性為Gp(s)（即沒有純滯后環(huán)節(jié)）時完全相同。經(jīng)過補償，控制系統(tǒng)性能就可以按無純滯后的對象進行設計了。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制史密斯補償器實現(xiàn)時，是關(guān)聯(lián)在負反饋調(diào)節(jié)器D(s)上，因此，圖5.38可以等效轉(zhuǎn)換成圖5.39形式。因為采用計算實現(xiàn)，圖中增加了零階保持器環(huán)節(jié)。圖5.39

效系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制史密斯預估器是實現(xiàn)這種補償控制方案的關(guān)鍵，其傳遞函數(shù)為史密斯預估器輸出可按圖5.40的順序計算。圖中，u(k)是數(shù)字控制器D(z)的輸出，Cτ(k)是史密斯預估器的輸出。圖5.40

史密斯預估器框圖5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制

設采樣周期為T，由于純滯后時間τ的存在，信號要延遲N(N=τ/T)個周期。為此，采用計算機編程實現(xiàn)時，要專門設定N個單元存放信號m(k)的歷史數(shù)據(jù)。具體設計方法為，在每個采樣周期，先將N-1號單元的數(shù)據(jù)移到N號單元，將N-2號單元的數(shù)據(jù)移到N-1號單元，····，依次類推，將0號單元的數(shù)據(jù)移到1號單元，再將新得到的m(k)存入0號單元。這樣N號單元里的內(nèi)容即為m(k)滯后N個采樣周期后的信號q[q=m(k-N)]。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制純滯后補償控制算法步驟如下：（1）計算反饋回路的偏差e1(k)（2）計算純滯后補償器的輸出cτ(k)將式（5-57）轉(zhuǎn)化成微分方程式，則可寫成相應的差分方程為5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制（3）計算偏差e2(k)（4）計算控制器的輸出u(k)。史密斯補償器是一種重要的純滯后控制方法，但在應用中應注意下列情況。一是史密斯補償器對系統(tǒng)受到的負荷干擾無補償作用；二是史密斯補償器的控制效果嚴重依于被控對象動態(tài)模型的精度，特別是純滯后時間τ，因此，在模型不匹配或運行條件改變時，控制效果會受到影響。5.3純滯后控制技術(shù)5.3.3

Smith預估控制【例5-12】設被控對象為,采樣時間為20s。設置Smith預估控制器。圖5.41是Smith預估控制系統(tǒng)仿真結(jié)果，輸入分別是方波信號、階躍信號，以及模型不精確和模型精確的情況。由結(jié)果可見，模型精確時控制系統(tǒng)有更好的動態(tài)性能。圖5.42是PI控制的系統(tǒng)仿真結(jié)果，由圖可見系統(tǒng)的動態(tài)、靜態(tài)性能均比Smith預估控制系統(tǒng)差。a）模型精確、輸入為方波的響應

b）模型不精確、輸入為方波的響應c）模型精確、輸入為階躍的響應

d）模型不精確、輸入為階躍的響應e）精確與不精確模型的方波響應對比

f）精確與不精確模型的階躍響應對比a）輸入為階躍的響應

b）輸入為方波的響應圖5.42PI控制系統(tǒng)仿真圖5.41

具有Smith預估補償器的控制系統(tǒng)仿真5.4數(shù)字控制器的程序?qū)崿F(xiàn)5.4.1直接實現(xiàn)法數(shù)字調(diào)節(jié)器通?？梢员硎境墒街?，U(z)是數(shù)字調(diào)節(jié)器輸出；E(z)是數(shù)字調(diào)節(jié)器輸入信號?？梢缘玫綌?shù)字調(diào)節(jié)器D(z)輸出量U(z)的Z變換5.4數(shù)字控制器的程序?qū)崿F(xiàn)5.4.1直接實現(xiàn)法進行Z反變換，得到差分方程很容易通過編寫計算機程序?qū)崿F(xiàn)?？梢钥闯?，每計算一次u(kT)，需要做(m+n+2)次加減法運算、(m+n+1)次乘法運算和(m+n)次數(shù)據(jù)傳遞運算。5.4數(shù)字控制器的程序?qū)崿F(xiàn)5.4.1直接實現(xiàn)法【例5-13】

設數(shù)字控制器,按實現(xiàn)法寫出實現(xiàn)

D(z)的表達式。解：將D(z)做如下變換：從而得到直接法實現(xiàn)時相應的差分方程