15.2.3整數(shù)指數(shù)冪第1課時負整數(shù)指數(shù)冪教學目標課題15.2.3第1課時負整數(shù)指數(shù)冪授課人素養(yǎng)目標1.知道負整數(shù)指數(shù)冪a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n是正整數(shù)).2.了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)，會用文字和符號語言表述整數(shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)，能根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)進行冪的運算.3.通過探索負整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，讓學生體會到從特殊到一般是研究數(shù)學的一個重要方法，培養(yǎng)學生抽象、歸納的能力.教學重點負整數(shù)指數(shù)冪的運算．教學難點運用整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算.教學活動教學步驟師生活動活動一：復習導入，引入新課設計意圖溫故知新，喚醒學生的知識體系，為本節(jié)課做知識的鋪墊.【復習導入】溫故知新，喚醒學生的知識體系，為本節(jié)課做知識的鋪墊.我們知道，當n是正整數(shù)時，你能補全以下正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)嗎？(1)同底數(shù)冪的乘法：am·an＝am＋n(m，n是正整數(shù))；(2)冪的乘方：(am)n＝amn(m，n是正整數(shù))；(3)積的乘方：(ab)n＝anbn(n是正整數(shù))；(4)同底數(shù)冪的除法：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整數(shù)，m>n)；(5)商的乘方：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n是正整數(shù))；(6)0指數(shù)冪：a0＝1(a≠0).思考am中指數(shù)m可以是負整數(shù)嗎？如果可以，那么負整數(shù)指數(shù)冪am表示什么？【教學建議】教師需待學生獨立思考完成后再公布答案，激活學生原有的知識，體現(xiàn)學生的學習是在原有知識上自我生成的過程.活動二：實踐探究、交流新知設計意圖由問題引入，再從數(shù)到式，層層深入，通過可操作的數(shù)學活動讓學生體驗從特殊到一般的探究方法．并在探究中找到活動一的問題的答案，前后呼應.探究點1負整數(shù)指數(shù)冪問題在am÷an中，當m＝n時，產(chǎn)生0次冪，那么當m<n時，會出現(xiàn)怎樣的情況呢？我們先來看看具體的例子：53÷55＝53－5＝5－2，53÷55＝eq\f(53,55)＝eq\f(1,52)，發(fā)現(xiàn)5－2＝eq\f(1,52).同樣地，將數(shù)字換成字母，算一算“a3÷a5＝？”，你發(fā)現(xiàn)了什么？eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a3÷a5＝\f(a3,a5)＝\f(a3,a3·a2)＝\f(1,a2),a3÷a5＝a3－5＝a－2))eq\o(→,\s\up7(（a≠0）))a－2＝eq\f(1,a2)所以，我們想到如果規(guī)定a－2＝eq\f(1,a2)(a≠0)，就能使am÷an＝am－n這條性質(zhì)也適用于像a3÷a5這樣的情形．為使上述運算性質(zhì)適用范圍更廣，同時也可以更簡便地表示分式，數(shù)學中規(guī)定：【教學建議】教學中，應注意不要讓學生產(chǎn)生誤解，以為a－n＝eq\f(1,an)(n是正整數(shù))是證明出來的，而要使學生認識到這是一種規(guī)定，這種規(guī)定是合理的.這樣可以擴大原有的指數(shù)運算法則的適用范圍.教學步驟師生活動設計意圖例題的設計，底數(shù)由整數(shù)到負數(shù)再到分數(shù)，并讓學生逐步掌握和理解底數(shù)符號與指數(shù)符號的差別.一般地，當n是正整數(shù)時，a－n＝eq\f(1,an)(a≠0)．這就是說，a－n(a≠0)是an的倒數(shù)．引入負整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的取值范圍就推廣到全體整數(shù)．你現(xiàn)在能說出當m分別是正整數(shù)、0、負整數(shù)時，am各表示什么意思嗎？答：對于am，設a≠0，則：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m為正整數(shù)時，am＝am；,m為0時，am＝1；,m為負整數(shù)時，am＝\f(1,a－m).))例計算：6－2＝eq\f(1,36)；－2－2＝－eq\f(1,4)；(－2)－3＝－eq\f(1,8)；(eq\f(1,3))－3＝27；(－eq\f(3,2))－1＝－eq\f(2,3)；b－4＝eq\f(1,b4)(b≠0)．解析：6－2＝eq\f(1,62)＝eq\f(1,36)；－2－2＝－eq\f(1,22)＝－eq\f(1,4)；(－2)－3＝eq\f(1,（－2）3)＝－eq\f(1,8)；(eq\f(1,3))－3＝eq\f(1,（\f(1,3)）3)＝27；(－eq\f(3,2))－1＝eq\f(1,－\f(3,2))＝－eq\f(2,3)；b－4＝eq\f(1,b4)(b≠0)．【對應訓練】教材P145上面練習第1題．【教學建議】教師需提醒學生數(shù)學中定義a－n＝eq\f(1,an)(n是正整數(shù))，從這個意義上說a－n屬于分式．若學生不好理解，教師可以結(jié)合具體的例子加以說明．設計意圖隨著指數(shù)的取值范圍由正整數(shù)推廣到全體整數(shù)，通過逐一驗證的方式，將正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到整數(shù)指數(shù)冪．讓學生體驗自主探究獲得結(jié)論的成就感和愉悅感，從而牢固地掌握所學知識．探究點2整數(shù)指數(shù)冪及其運算問題1引入負整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后，am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))這條性質(zhì)能否推廣到m，n是任意整數(shù)的情形？a3·a－5＝eq\f(a3,a5)＝eq\f(1,a2)＝a－2＝a3＋(－5)，即a3·a－5＝a3＋(－5)．a(chǎn)－3·a－5＝eq\f(1,a3)·eq\f(1,a5)＝eq\f(1,a8)＝a－8＝a(－3)＋(－5)，即a－3·a－5＝a(－3)＋(－5)．a(chǎn)0·a－5＝1·eq\f(1,a5)＝eq\f(1,a5)＝a－5＝a0＋(－5)，即a0·a－5＝a0＋(－5)．教師歸納am·an＝am＋n這條性質(zhì)對于m，n是任意整數(shù)的情形仍然適用．問題2不僅僅是上面這個性質(zhì)，活動一中的另外4個性質(zhì)也都限定了指數(shù)的范圍為正整數(shù)，現(xiàn)在我們希望把指數(shù)的范圍擴大到全體整數(shù)，原來適合于正整數(shù)指數(shù)冪的其他運算性質(zhì)，是否適合于全體整數(shù)指數(shù)冪？大家試著驗證看看！驗證冪的乘方(a－3)2＝(eq\f(1,a3))2＝eq\f(1,a6)＝a－6＝a(－3)×2，即(a－3)2＝a(－3)×2.歸納：(am)n＝amn這條性質(zhì)，對于m，n是任意整數(shù)的情形仍適用．驗證同底數(shù)冪的除法a－2÷a－4＝eq\f(1,a2)÷eq\f(1,a4)＝eq\f(1,a2)·a4＝a2＝a(－2)－(－4)，即a－2÷a－4＝a(－2)－(－4)【教學建議】大部分學生會忘記附上對指數(shù)取值范圍的規(guī)定，學生對冪的指數(shù)的理解并不透徹，所以可以此為契機，引發(fā)學生對冪的指數(shù)的思考．【教學建議】在這個探究過程中，學生可能存在三個問題，老師需要引導解決：1．有些學生可能會選取2個正整數(shù)來進行驗證，需要引導學生認識到，當數(shù)域進行推廣之后，只要驗證新推廣的數(shù)對于性質(zhì)是成立的就可以了．2．在驗證冪的乘方教學步驟師生活動通過例題鞏固知識點，使學生掌握基本的數(shù)學語言，規(guī)范其解題書寫格式.對應訓練是為鞏固整數(shù)指數(shù)運算性質(zhì)而設計的.歸納：am÷an＝am－n這條性質(zhì)，對于m，n是任意整數(shù)的情形仍適用.驗證分式的乘方(eq\f(a,b))－2＝(eq\f(b,a))2＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,a2)·b2＝a－2·eq\f(1,b－2)＝eq\f(a－2,b－2)，即(eq\f(a,b))－2＝eq\f(a－2,b－2).歸納：(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)這條性質(zhì)，對于n是任意整數(shù)的情形仍適用.教師歸納：指數(shù)的范圍擴大到全體整數(shù)后，活動一中所列的性質(zhì)仍適用.即，整數(shù)指數(shù)冪有以下運算性質(zhì)：(1)am·an＝am＋n(m，n是整數(shù))；(2)(am)n＝amn(m，n是整數(shù))；(3)(ab)n＝anbn(n是整數(shù))；(4)am÷an＝am－n(a≠0，m，n是整數(shù))；(5)(eq\f(a,b))n＝eq\f(an,bn)(n是整數(shù))；(6)當a≠0時，a0＝1.由于負整數(shù)指數(shù)的出現(xiàn)，使得am÷an＝am·a－n＝am－n，(同底數(shù)冪的除法eq\o(→,\s\up7(轉(zhuǎn)化))同底數(shù)冪的乘法)(eq\f(a,b))n＝(ab－1)n＝anb－n.(分式的乘方eq\o(→,\s\up7(轉(zhuǎn)化))積的乘方)于是，整數(shù)指數(shù)冪的前5條運算性質(zhì)，實際上可以合并為3條，即(1)am·an＝am＋n(m，n是整數(shù))；(2)(am)n＝amn(m，n是整數(shù))；(3)(ab)n＝anbn(n是整數(shù)).例(教材P144例9)計算：(1)a－2÷a5；(2)(eq\f(b3,a2))－2；(3)(a－1b2)3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝eq\f(1,a7)；(2)(eq\f(b3,a2))－2＝eq\f(b－6,a－4)＝a4b－6＝eq\f(a4,b6)；(3)(a－1b2)3＝a－3b6＝eq\f(b6,a3)；(4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝eq\f(b8,a8).【對應訓練】教材P145上面練習第2題.這條性質(zhì)時，學生可能會列舉出(a－2)3和(a2)－3這兩種形式，要幫助學生理解符號和指數(shù)在這里的含義.3.在驗證分式的乘方這條性質(zhì)時，要用到an＝eq\f(1,a－n)這個公式，需要給學生講解.【教學建議】解對應訓練中的習題時應直接應用這些性質(zhì)，而不要先急于轉(zhuǎn)化為分式形式，具體解題過程可以參考例題．但最后的結(jié)果通常要轉(zhuǎn)化為分式的形式.活動三：知識延伸，補充新知設計意圖例題是為補充和強化0次冪、負整數(shù)指數(shù)冪有意義的條件而設計的.知識，學會規(guī)范答題，感悟幾何計算的嚴謹性，明白學習本節(jié)知識點的意義.例若(x－3)0－2(3x－6)－2有意義，則x的取值范圍是什么？思路分析：解：根據(jù)題意，若(x－3)0有意義，則x－3≠0，即x≠3.若(3x－6)－2有意義，則3x－6≠0，即x≠2.所以x≠3且x≠2.【對應訓練】若(x－1)－1＋x0有意義，則x取值范圍應是x≠0且x≠1.【教學建議】教師強調(diào)：若要原式有意義，則底數(shù)不能為0.教學步驟師生活動活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié)【隨堂訓練】見《》“隨堂小練”冊子相應課時隨堂訓練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.負整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么？2.an的倒數(shù)是什么？3.整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么？【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P147習題15.2第7題.2.《》主體本部分相應課時訓練．板書設計15.2.3整數(shù)指數(shù)冪第1課時負整數(shù)指數(shù)冪 1.負整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì). 2.冪的運算性質(zhì)的推廣．教學反思本節(jié)課是在學生學習了分式的基本性質(zhì)及運算之后的教學，在復習正整數(shù)指數(shù)冪的有關(guān)運算性質(zhì)后精心設置問題讓學生探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論并學習如何描述，加深學生對結(jié)論的理解，讓學生自己發(fā)現(xiàn)與前面所學知識的不同，逐步完善運算性質(zhì)的限制條件，不但調(diào)動了學生學習的積極性，同時也達到了預期效果.解題大招一含整數(shù)指數(shù)冪、0指數(shù)冪與絕對值的混合運算分別根據(jù)有理數(shù)的乘方、0指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪及絕對值的性質(zhì)計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)的運算法則進行計算．例1計算：－22＋(－eq\f(1,2))－2－(2060－π)0－|－eq\r(9)|.解：－22＋(－eq\f(1,2))－2－(2060－π)0－|－eq\r(9)|＝－4＋4－1－3＝－4.解題大招二負整數(shù)指數(shù)冪比較大小的方法方法①：直接計算后進行比較．方法②：先轉(zhuǎn)化為正整數(shù)指數(shù)冪，再將其化為底數(shù)或指數(shù)相同的冪進行比較．例2若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，則a，b，c的大小關(guān)系是a＞c＞b.解析：∵a＝(－eq\f(2,3))－2＝(－eq\f(3,2))2＝eq\f(9,4)，b＝(－1)－1＝－1，c＝(－eq\f(3,2))0＝1，∴a＞c＞b.例3比較大?。?1－31＜27－41.解析：81－31＝eq\f(1,8131)＝eq\f(1,34×31)＝eq\f(1,3124)，27－41＝eq\f(1,2741)＝eq\f(1,33×41)＝eq\f(1,3123).∵3124＞3123，∴eq\f(1,3124)＜eq\f(1,3123)，∴81－31＜27－41.培優(yōu)點運用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)求待定字母的值例已知3m＝eq\f(1,27)，(eq\f(1,2))n＝16，求