第02講兩條直線的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：直線平行與垂直的判定 4知識點2：三種距離 4解題方法總結(jié) 5題型一：兩直線位置關(guān)系的判定 6題型二：兩直線的交點與距離問題 8題型三：有關(guān)距離的最值問題 9題型四：點關(guān)于點對稱 11題型五：點關(guān)于線對稱 11題型六：線關(guān)于點對稱 12題型七：線關(guān)于線對稱 13題型八：直線系方程 1304真題練習·命題洞見 1405課本典例·高考素材 1506易錯分析·答題模板 17易錯點：兩平行直線間的距離公式應用錯誤 17答題模板：已知兩直線平行或垂直求參數(shù) 17

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）兩條直線的平行與垂直（2）兩直線的交點與距離問題2022年上海卷第7題，5分2020年III卷第8題，5分2020年上海卷第7題，5分高考對兩條直線的位置關(guān)系的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握兩條直線的位置關(guān)系、距離公式、對稱問題等，特別要重視兩條直線的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式這兩個考點．復習目標：（1）能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直．（2）能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標．（3）掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離．

知識點1：直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．兩直線方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一個為0，另一個不存在．【診斷自測】（多選題）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交知識點2：三種距離1、兩點間的距離平面上兩點的距離公式為．特別地，原點O（0，0）與任一點P（x，y）的距離2、點到直線的距離點到直線的距離特別地，若直線為l：x=m，則點到l的距離；若直線為l：y=n，則點到l的距離3、兩條平行線間的距離已知是兩條平行線，求間距離的方法：（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離．（2）設，則與之間的距離注：兩平行直線方程中，x，y前面對應系數(shù)要相等．4、雙根式雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點間的距離，或者利用單調(diào)性求解．【診斷自測】（多選題）已知點到直線的距離為3，則實數(shù)等于（

）A．0 B． C．3 D．2解題方法總結(jié)1、點關(guān)于點對稱點關(guān)于點對稱的本質(zhì)是中點坐標公式：設點關(guān)于點的對稱點為，則根據(jù)中點坐標公式，有可得對稱點的坐標為2、點關(guān)于直線對稱點關(guān)于直線對稱的點為，連接，交于點，則垂直平分，所以，且為中點，又因為在直線上，故可得，解出即可．3、直線關(guān)于點對稱法一：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；法二：求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．4、直線關(guān)于直線對稱求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點第二步：在上任找一點（非交點），利用點關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點第三步：利用兩點式寫出方程5、常見的一些特殊的對稱點關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為．點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．點關(guān)于點的對稱點為．點關(guān)于直線的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為．6、過定點直線系過已知點的直線系方程（為參數(shù)）．7、斜率為定值直線系斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．8、平行直線系與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．9、垂直直線系與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．10、過兩直線交點的直線系過直線與的交點的直線系方程：（為參數(shù)）．題型一：兩直線位置關(guān)系的判定【典例1-1】（湖北省“宜荊荊恩”2024屆高三9月起點考試數(shù)學試題）已知兩條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例1-2】已知，，直線和垂直，則的最小值為（

）A． B． C． D．【方法技巧】【解題方法總結(jié)】判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設（不全為0），（不全為0），則：當時，直線相交；當時，直線平行或重合，代回檢驗；當時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．【變式1-1】直線與直線相交，則實數(shù)的值為（）A．或 B．或C．且 D．且【變式1-2】點為直線上不同的兩點，則直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．不確定【變式1-3】（2024·高三·廣東·開學考試）已知直線，直線，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【變式1-4】（2024·高三·上海寶山·開學考試）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在，使得B．當時，C．當時，D．對任意的，都有題型二：兩直線的交點與距離問題【典例2-1】（2024·高三·江蘇蘇州·開學考試）已知直線與直線交于，則原點到直線距離的最大值為（

）A．2 B． C． D．1【典例2-2】若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】兩點間的距離，點到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．【變式2-1】已知點，，，則的面積為．【變式2-2】已知平面上點和直線，點P到直線l的距離為d，則.【變式2-3】已知直線，則點到直線的距離的最大值為.【變式2-4】已知點，若直線l過點，且A、B到直線l的距離相等，則直線l的方程為.【變式2-5】，與直線平行，則直線與的距離為.【變式2-6】若恰有兩組的實數(shù)對滿足關(guān)系式，則符合題意的的值為.【變式2-7】（2024·全國·模擬預測）已知直線和與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則k的取值不可能為（

）A． B． C． D．題型三：有關(guān)距離的最值問題【典例3-1】我國著名數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點，當取得最小值時，實數(shù)的值為（

）A． B．3 C． D．4【典例3-2】設，其中.則的最小值為（

）A．8 B．9 C． D．【方法技巧】數(shù)學結(jié)合，利用距離的幾何意義進行轉(zhuǎn)化．【變式3-1】已知，，，為四個實數(shù)，且，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．5【變式3-2】已知為直線上的一點，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．【變式3-3】的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3-4】已知實數(shù)，滿足，，，則的最小值是．【變式3-5】已知點分別在直線與直線上，且，點，，則的最小值為.【變式3-6】（多選題）已知兩點，點是直線：上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．存在使最小 B．存在使最小C．存在使最小 D．存在使最小【變式3-7】（多選題）已知直線和三點，，，過點C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點．下列結(jié)論正確的是（

）A．P在直線l上，則的最小值為B．直線l上一點使最大C．當最小時的方程是D．當最小時的方程是【變式3-8】已知點在直線，點在直線上，且，的最小值為（

）A． B． C． D．5【變式3-9】過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點M，則的最大值是（

）A． B．3 C． D．【變式3-10】已知，為實數(shù)，代數(shù)式的最小值是.題型四：點關(guān)于點對稱【典例4-1】直線l經(jīng)過點，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時，.【典例4-2】已知，，點是線段的中點，則.【方法技巧】求點關(guān)于點中心對稱的點，由中點坐標公式得【變式4-1】已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標為，則線段的長度為.【變式4-2】設點A在x軸上，點B在y軸上，的中點是，則等于【變式4-3】已知直線l與直線及直線分別交于點P，Q．若PQ的中點為點，則直線l的斜率為．【變式4-4】已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為.題型五：點關(guān)于線對稱【典例5-1】將一張坐標紙對折，如果點與點重合，則點與點重合.【典例5-2】點關(guān)于直線對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．【方法技巧】求點關(guān)于直線對稱的點方法一：（一中一垂），即線段的中點M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點方法二：先求經(jīng)過點且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點，從而得【變式5-1】若直線和直線關(guān)于直線對稱，則直線恒過定點（

）A． B． C． D．【變式5-2】一條光線從點射出，經(jīng)直線反射后經(jīng)過點，則反射光線所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式5-3】在等腰直角三角形ABC中，，點P是邊AB上異于A，B的一點，光從點P出發(fā)經(jīng)反射后又回到點P，反射點為Q，R，若光線QR經(jīng)過的重心，則.題型六：線關(guān)于點對稱【典例6-1】直線關(guān)于點對稱的直線方程為．【典例6-2】直線關(guān)于點對稱的直線方程為．【方法技巧】求直線l關(guān)于點中心對稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點關(guān)于點中心對稱得，再利用，由點斜式方程求得直線的方程（或者由，且點到直線l及的距離相等來求解）．【變式6-1】直線關(guān)于點對稱的直線的方程為．【變式6-2】直線恒過定點，則直線關(guān)于點對稱的直線方程為．【變式6-3】在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點（2，3）對稱，則直線l的方程是.題型七：線關(guān)于線對稱【典例7-1】若直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的一般式方程為.【典例7-2】直線與直線關(guān)于直線對稱，則直線的傾斜角是．【方法技巧】求直線l關(guān)于直線對稱的直線若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．此時分別為，由，求得，從而得．若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點，然后求得關(guān)于直線對稱的點，再由兩點確定直線（其中）．【變式7-1】已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．【變式7-2】若直線l與直線的夾角平分線為，則直線l的方程為.【變式7-3】直線：關(guān)于直線：的對稱直線方程為．【變式7-4】直線關(guān)于直線的對稱直線的方程為.題型八：直線系方程【典例8-1】過兩直線和的交點且過原點的直線方程為．【典例8-2】經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為.【方法技巧】利用直線系方程求解．【變式8-1】已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為.【變式8-2】設直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為.【變式8-3】已知直線的方程為，求坐標原點到的距離的最大值.1．（2021年全國新高考II卷數(shù)學試題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．42．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標Ⅲ））點(0，﹣1)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．21．已知點和，點P在x軸上，且為直角，求點P的坐標.2．已知四邊形ABCD的四個頂點是，，，，求證：四邊形ABCD為矩形．3．如圖，已知直線與直線，在上任取一點A，在上任取一點B，連接AB，取AB的靠近點A的三等分點C，過點C作的平行線，求與間的距離．4．三條直線，與相交于一點，求a的值．5．已知AO是邊BC的中線，用坐標法證明．6．已知，．（1）求證：，并求使等式成立的條件．（2）說明上述不等式的幾何意義．7．已知為任意實數(shù)，當變化時，方程表示什么圖形？圖形有何特點？易錯點：兩平行直線間的距離公式應用錯誤易錯分析：應用兩平行直線間的距離公式一定要注意兩平行直線的方程對應x，y的系數(shù)相等時，才可利用兩平行線間的距離公式求解.【易錯題1】，與直線平行，則直線與的距離為.【易錯題2】兩平行直線與之間的距離為