北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：1.4.4《誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)》聽評(píng)課記錄x一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時(shí)間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：張明

學(xué)科/課程名稱：數(shù)學(xué)

班級(jí)/年級(jí)：高一（3）班

教學(xué)主題或章節(jié)：北師大版（2019）數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：1.4.4《誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)》

聽課人姓名：李華

聽課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長

聽課目的：教學(xué)研究、新課標(biāo)理念下的教學(xué)實(shí)踐探索

本節(jié)課圍繞誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)展開教學(xué)，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程及其在三角函數(shù)中的應(yīng)用，同時(shí)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力。通過實(shí)例分析，幫助學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式在解決實(shí)際問題中的靈活性，并注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，如數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等。教學(xué)內(nèi)容緊密聯(lián)系教材，同時(shí)適當(dāng)拓展，注重知識(shí)的連貫性和應(yīng)用性，符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，分為知識(shí)理解、技能應(yīng)用和思想方法三個(gè)層次。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括教材、幾何畫板軟件、多媒體課件等。教材內(nèi)容與課件內(nèi)容一致，幾何畫板的應(yīng)用能夠動(dòng)態(tài)展示旋轉(zhuǎn)過程，幫助學(xué)生直觀理解誘導(dǎo)公式的幾何意義。教具準(zhǔn)備簡單，主要使用三角板和量角器進(jìn)行輔助教學(xué)，體現(xiàn)了理論聯(lián)系實(shí)際的思路。

2.教學(xué)過程

開始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）：教師通過復(fù)習(xí)已學(xué)的三角函數(shù)定義和誘導(dǎo)公式的基本概念，以“如何將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)”為問題情境導(dǎo)入新課。通過展示一個(gè)動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)的幾何圖形，引發(fā)學(xué)生思考，導(dǎo)入自然，效果良好，約5分鐘完成。

展開階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：教師采用講授與討論相結(jié)合的方法。首先講解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，結(jié)合幾何畫板演示旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°等特殊情況，幫助學(xué)生理解公式背后的幾何意義。隨后組織學(xué)生分組討論誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，每組完成一個(gè)例題并進(jìn)行展示。教師適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考問題。例如，在講解“sin(α+π)”時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)角π的幾何意義，直觀展示sin(α+π)=-sinα。這一環(huán)節(jié)約25分鐘，學(xué)生參與度高，但部分學(xué)生對(duì)幾何畫板的操作不夠熟練，需要教師加強(qiáng)個(gè)別指導(dǎo)。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）：教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的核心內(nèi)容，包括誘導(dǎo)公式的三個(gè)主要公式及其應(yīng)用場景，并強(qiáng)調(diào)“奇變偶不變，符號(hào)看象限”的口訣。布置作業(yè)時(shí)，分為基礎(chǔ)題和拓展題，基礎(chǔ)題側(cè)重公式直接應(yīng)用，拓展題要求學(xué)生結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決實(shí)際問題?？偨Y(jié)環(huán)節(jié)約10分鐘，作業(yè)布置清晰，符合分層教學(xué)的要求。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師通過提問、追問等方式引導(dǎo)學(xué)生思考，如“為什么sin(α+π)=-sinα？”、“如何判斷誘導(dǎo)公式中的符號(hào)變化？”等。學(xué)生參與度良好，約70%的學(xué)生能夠主動(dòng)回答問題，但課堂發(fā)言較為集中，部分內(nèi)向?qū)W生較少參與。教師注意到這一點(diǎn)，在后續(xù)環(huán)節(jié)通過隨機(jī)點(diǎn)名和小組代表匯報(bào)的方式，逐步提高所有學(xué)生的參與度?；?dòng)質(zhì)量較高，教師能夠根據(jù)學(xué)生的回答調(diào)整講解節(jié)奏，如發(fā)現(xiàn)學(xué)生混淆“α+π”和“α-π”的符號(hào)時(shí)，及時(shí)通過反例糾正。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其是在幾何畫板演示環(huán)節(jié)，學(xué)生表現(xiàn)出濃厚的興趣。專注度方面，前20分鐘課堂紀(jì)律良好，但中間階段部分學(xué)生開始分心，可能與討論環(huán)節(jié)時(shí)間過長有關(guān)。合作學(xué)習(xí)情況良好，分組討論時(shí)學(xué)生能夠互相幫助，但個(gè)別小組討論效率較低，主要原因是組長分配任務(wù)不均。教師發(fā)現(xiàn)后，及時(shí)介入指導(dǎo)，明確要求每組完成一個(gè)例題并推選一名代表展示，有效提升了合作效率。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律整體良好，教師通過眼神示意和表揚(yáng)等方式維持秩序，但偶爾有學(xué)生因操作幾何畫板而發(fā)出輕微的討論聲。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入、展開、總結(jié)各環(huán)節(jié)時(shí)間控制得當(dāng)，但討論環(huán)節(jié)略顯過長，建議適當(dāng)壓縮為20分鐘。課堂節(jié)奏控制平穩(wěn)，教師能夠根據(jù)學(xué)生的反饋調(diào)整講解速度，如發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式后，加快了例題講解的進(jìn)度。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用較為有效，幾何畫板動(dòng)態(tài)演示旋轉(zhuǎn)過程，幫助學(xué)生直觀理解誘導(dǎo)公式的幾何意義，效果顯著。但部分學(xué)生對(duì)軟件操作不熟練，影響了互動(dòng)效率。教師嘗試通過屏幕共享展示操作步驟，但仍有學(xué)生跟不上。建議教師課前增加5分鐘幾何畫板基礎(chǔ)操作培訓(xùn)，或提供操作指南供學(xué)生參考。技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持作用明顯，特別是在幾何直觀的培養(yǎng)方面，但需注意技術(shù)的輔助作用，避免喧賓奪主。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定清晰且適切，符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平和本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。目標(biāo)分為三個(gè)層次：知識(shí)理解、技能應(yīng)用和思想方法滲透。知識(shí)理解層面，目標(biāo)要求學(xué)生掌握誘導(dǎo)公式的三個(gè)核心公式及其推導(dǎo)過程，理解其幾何意義；技能應(yīng)用層面，要求學(xué)生能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)化簡和求值；思想方法層面，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。從課堂觀察和學(xué)生反饋來看，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成。

在知識(shí)理解方面，通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示和教師的逐步講解，大部分學(xué)生能夠理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，并認(rèn)識(shí)到其與旋轉(zhuǎn)的幾何關(guān)系。例如，在講解“sin(α+π)=-sinα”時(shí)，學(xué)生能夠通過觀察旋轉(zhuǎn)180°后的函數(shù)圖像變化，直觀理解符號(hào)變化的原因。課堂提問環(huán)節(jié)，約80%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確回答誘導(dǎo)公式的基本形式，說明學(xué)生對(duì)公式的記憶和理解達(dá)到預(yù)期。

在技能應(yīng)用方面，分組討論環(huán)節(jié)的例題展示表明，大部分學(xué)生能夠初步運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡。例如，在解決“sin(π/3+π)”時(shí)，學(xué)生能夠正確寫出“sin(π/3+π)=-sin(π/3)”并進(jìn)一步計(jì)算結(jié)果。然而，部分學(xué)生在符號(hào)判斷上仍存在混淆，如將“sin(α-π)”誤寫為“sin(π-α)”，反映出技能掌握的熟練度有待提高。教師及時(shí)通過反例講解，幫助學(xué)生區(qū)分不同情況下的符號(hào)變化，效果較好。整體而言，學(xué)生的技能應(yīng)用能力達(dá)到了初步目標(biāo)，但需要更多練習(xí)鞏固。

在思想方法滲透方面，教師通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。例如，在講解誘導(dǎo)公式時(shí)，強(qiáng)調(diào)“旋轉(zhuǎn)”的幾何操作與三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生建立圖形與代數(shù)的聯(lián)系。分組討論環(huán)節(jié)，教師鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度思考問題，如有的小組通過單位圓上的點(diǎn)來推導(dǎo)公式，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想。然而，由于課堂時(shí)間限制，思想方法的滲透較為淺顯，未能深入到更高層次的數(shù)學(xué)抽象層面?？傮w來看，本節(jié)課在思想方法方面的目標(biāo)達(dá)成度較高，但仍有提升空間。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶情況良好，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程得到較好理解。教師通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，將抽象的公式轉(zhuǎn)化為直觀的幾何操作，幫助學(xué)生建立了公式背后的幾何意義。例如，在講解“cos(α+π)=-cosα”時(shí)，學(xué)生能夠觀察到旋轉(zhuǎn)π后的余弦值與原值互為相反數(shù)，從而理解公式成立的直觀依據(jù)。課堂提問和隨堂練習(xí)顯示，約85%的學(xué)生能夠準(zhǔn)確復(fù)述誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)思路，說明學(xué)生對(duì)公式的理解較為深入。

其次，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用能力達(dá)到預(yù)期水平。分組討論環(huán)節(jié)的例題展示表明，大部分學(xué)生能夠運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)化簡。例如，在解決“sin(5π/6-π)”時(shí)，學(xué)生能夠正確寫出“sin(5π/6-π)=-sin(5π/6)”并進(jìn)一步計(jì)算結(jié)果。課后作業(yè)反饋顯示，約75%的學(xué)生能夠獨(dú)立完成類似的化簡題，說明學(xué)生的技能掌握程度符合預(yù)期。然而，仍有部分學(xué)生在符號(hào)判斷和公式選擇上存在錯(cuò)誤，如將“cos(α+2π)”誤寫為“-cosα”，反映出技能應(yīng)用的熟練度有待提高。教師通過課堂講解和作業(yè)批改，針對(duì)性地進(jìn)行了糾正，效果較好。

再次，幾何意義的理解較為直觀。教師通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，將誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)的幾何性質(zhì)聯(lián)系起來，幫助學(xué)生建立了公式的直觀理解。例如，在講解“sin(α-π/2)=-cosα”時(shí)，學(xué)生能夠觀察到旋轉(zhuǎn)π/2后的正弦值與余弦值的關(guān)系，從而理解公式成立的幾何依據(jù)。課堂討論環(huán)節(jié)，有的學(xué)生提出“誘導(dǎo)公式可以看作是單位圓上的點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)幾何意義的深入理解。然而，由于學(xué)生個(gè)體差異，部分學(xué)生仍停留在符號(hào)記憶層面，未能完全建立起幾何直觀。總體來看，學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的幾何意義理解較好，但仍有提升空間。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展方面表現(xiàn)良好，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

首先，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣得到激發(fā)。教師通過動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)的幾何圖形和實(shí)際例題，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為生動(dòng)有趣的內(nèi)容，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師展示一個(gè)旋轉(zhuǎn)的幾何圖形，引發(fā)學(xué)生思考，課堂氣氛活躍。課后反饋顯示，約80%的學(xué)生表示對(duì)誘導(dǎo)公式和旋轉(zhuǎn)的內(nèi)容感興趣，并希望進(jìn)一步探索其應(yīng)用。這表明本節(jié)課在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣方面取得了良好效果。

其次，學(xué)生的合作學(xué)習(xí)意識(shí)得到增強(qiáng)。分組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生需要共同完成例題展示，互相幫助解決難題，培養(yǎng)了團(tuán)隊(duì)合作精神。例如，在討論“sin(α+3π/2)”時(shí)，有的學(xué)生能夠快速寫出答案，有的學(xué)生則在符號(hào)判斷上遇到困難，小組內(nèi)通過互相講解、共同推敲，最終解決了問題。課后反饋顯示，約70%的學(xué)生表示喜歡小組討論的形式，并認(rèn)為這種形式有助于提高學(xué)習(xí)效果。這表明本節(jié)課在培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)意識(shí)方面取得了積極成果。

再次，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)。教師通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示和例題分析，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。例如，在講解誘導(dǎo)公式時(shí)，教師強(qiáng)調(diào)“旋轉(zhuǎn)”的幾何操作與三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生建立了圖形與代數(shù)的聯(lián)系。課后反饋顯示，約65%的學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到誘導(dǎo)公式背后的數(shù)學(xué)思想，并嘗試在后續(xù)學(xué)習(xí)中應(yīng)用這些思想。這表明本節(jié)課在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方面取得了良好效果。

然而，也存在一些不足之處。部分學(xué)生在課堂討論中較為被動(dòng)，未能積極參與到小組活動(dòng)中，反映出學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)有待提高。教師可以通過設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性的問題、增加學(xué)生展示機(jī)會(huì)等方式，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的參與熱情。此外，部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想的理解較為淺顯，未能完全建立起公式的深層含義，需要教師通過更多實(shí)例和引導(dǎo)，幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)思想。總體來看，本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展方面表現(xiàn)良好，但仍有提升空間。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象良好，教學(xué)設(shè)計(jì)思路清晰，目標(biāo)明確，教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生認(rèn)知水平相符，體現(xiàn)了新課標(biāo)理念下的教學(xué)實(shí)踐探索。最突出的優(yōu)點(diǎn)是教師能夠有效利用現(xiàn)代教育技術(shù)（幾何畫板）將抽象的數(shù)學(xué)概念（誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)）直觀化、動(dòng)態(tài)化，幫助學(xué)生建立幾何直觀，理解公式的來龍去脈。同時(shí)，教師注重知識(shí)的生成過程，通過啟發(fā)式提問和小組討論，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與，體現(xiàn)了以學(xué)生為中心的教學(xué)思想。課堂氛圍活躍，學(xué)生參與度高，教學(xué)效果達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。

具體而言，教師的教學(xué)準(zhǔn)備充分，教學(xué)資源（教材、課件、幾何畫板等）準(zhǔn)備到位，能夠支持教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。教學(xué)過程設(shè)計(jì)合理，環(huán)節(jié)過渡自然，時(shí)間分配基本均衡。師生互動(dòng)頻繁，教師能夠通過有效的提問和追問，引導(dǎo)學(xué)生思考，并及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤。學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)積極，能夠跟隨教師的教學(xué)節(jié)奏，并參與到小組討論中。課堂管理有效，教師能夠維持良好的課堂秩序，并合理控制課堂節(jié)奏。教學(xué)技術(shù)的應(yīng)用較為有效，幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示為學(xué)生理解誘導(dǎo)公式的幾何意義提供了有力支持。

然而，本節(jié)課也存在一些可以改進(jìn)的地方。例如，部分學(xué)生在幾何畫板操作上存在困難，影響了互動(dòng)效率；討論環(huán)節(jié)時(shí)間略顯過長，導(dǎo)致部分教學(xué)內(nèi)容未能充分展開；思想方法的滲透較為淺顯，未能深入到更高層次的數(shù)學(xué)抽象層面?？傮w而言，本節(jié)課是一次成功的公開課，值得肯定和學(xué)習(xí)。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問題，提出以下具體改進(jìn)措施，以進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量：

首先，加強(qiáng)教學(xué)技術(shù)的培訓(xùn)和應(yīng)用。針對(duì)學(xué)生幾何畫板操作不熟練的問題，建議教師在課前增加5分鐘的基礎(chǔ)操作培訓(xùn)，或提供操作指南供學(xué)生參考。同時(shí)，教師可以預(yù)先設(shè)計(jì)好幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示文稿，確保演示過程的流暢性。此外，可以探索更多現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用，如在線互動(dòng)平臺(tái)、虛擬現(xiàn)實(shí)技術(shù)等，以豐富教學(xué)手段，提升教學(xué)效果。

其次，優(yōu)化討論環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和時(shí)間管理。建議教師將討論環(huán)節(jié)的時(shí)間控制在20分鐘左右，并提前明確討論任務(wù)和預(yù)期成果，以提高討論效率。同時(shí)，可以采用更靈活的分組方式，如根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行分組，以確保討論的深度和廣度。此外，教師可以增加巡視指導(dǎo)的頻率，及時(shí)了解學(xué)生的討論情況，并提供必要的幫助和引導(dǎo)。

再次，深化數(shù)學(xué)思想方法的滲透。建議教師在講解誘導(dǎo)公式時(shí)，不僅關(guān)注公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，還要引導(dǎo)學(xué)生深入思考其背后的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等。可以通過設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，并嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。此外，可以結(jié)合其他數(shù)學(xué)內(nèi)容，如三角恒等變換、解三角形等，進(jìn)一步滲透數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。

最后，關(guān)注個(gè)體差異，實(shí)施分層教學(xué)。針對(duì)學(xué)生在技能掌握和思想方法理解上的差異，建議教師實(shí)施分層教學(xué)，為不同層次的學(xué)生提供不同難度的問題和任務(wù)。例如，在基礎(chǔ)題和拓展題的基礎(chǔ)上，可以增加一些思考題，供學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)。此外，教師可以通過個(gè)別輔導(dǎo)、小組合作等方式，幫助學(xué)習(xí)困難的學(xué)生克服困難，提升學(xué)習(xí)效果。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)，以評(píng)估改進(jìn)措施的實(shí)施效果。計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長：

首先，安排一次后續(xù)聽課，觀察教師在實(shí)際教學(xué)中如何應(yīng)用改進(jìn)措施。重點(diǎn)關(guān)注教師是否能夠有效利用現(xiàn)代教育技術(shù)，優(yōu)化討論環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和時(shí)間管理，深化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以及關(guān)注個(gè)體差異，實(shí)施分層教學(xué)。聽課結(jié)束后，將進(jìn)行詳細(xì)的評(píng)課，并與教師進(jìn)行深入交流，共同探討改進(jìn)的方向和措施。

其次，組織教學(xué)研討活動(dòng)，分享教學(xué)經(jīng)驗(yàn)?？梢匝?qǐng)優(yōu)秀教師分享其在誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)和方法，供其他教師參考和學(xué)習(xí)。同時(shí)