專題訓練四一次函數(shù)與方案設計問題1．[2023·荊門期末]為了落實“鄉(xiāng)村振興”政策，A，B兩城決定向C，D兩鄉(xiāng)運送水泥建設美麗鄉(xiāng)村，已知A，B兩城分別有水泥200噸和300噸，從A城往C，D兩鄉(xiāng)運送水泥的費用分別為20元/噸和25元/噸；從B城往C，D兩鄉(xiāng)運送水泥的費用分別為15元/噸和24元/噸，現(xiàn)C鄉(xiāng)需要水泥240噸，D鄉(xiāng)需要水泥260噸．(1)設從A城運往C鄉(xiāng)的水泥x噸，總運費為y元，寫出y與x的函數(shù)關系式并求出最少總運費；(2)為了更好地支援鄉(xiāng)村建設，A城運往C鄉(xiāng)的運費每噸減少a(0<a<7)元，這時A城運往C鄉(xiāng)的水泥多少噸時總運費最少？解：(1)設從A城運往C鄉(xiāng)水泥x噸，則運往D鄉(xiāng)(200－x)噸，從B城運往C鄉(xiāng)水泥(240－x)噸，則運往D鄉(xiāng)(60＋x)噸，設總運費為y元，根據(jù)題意，得y＝20x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24(60＋x)＝4x＋10040(0≤x≤200)，因為k＝4>0，所以y隨x的增大而增大，所以當x＝0時，總運費最少，且最少的總運費為10040元．答：y與x的函數(shù)關系式為y＝4x＋10040(0≤x≤200)，最少總運費為10040元；(2)設減少運費后，總運費為w元，則w＝(20－a)x＋25(200－x)＋15(240－x)＋24(60＋x)＝(4－a)x＋10040(0≤x≤200)，因為0<a<7，所以分以下三種情況進行討論：①當0<a<4時，4－a>0，此時w隨x的增大而增大，所以當x＝0時，w最?。?0040；②當a＝4時，w＝10040，所以不管怎樣調運，費用一樣多，均為10040元；③當4<a<7時，4－a<0，此時w隨x的增大而減小，所以當x＝200時，w最?。?0840－200a；綜上所述，當0<a<4時，A城運往C鄉(xiāng)0噸，總運費最少；當a＝4時，無論從A城運往C鄉(xiāng)多少噸水泥(不超過200噸)，總運費都是10040元；當4<a<7時，A城運往C鄉(xiāng)200噸，總運費最少．2．哈爾濱至名山風景區(qū)的高鐵工程已經進入施工階段，現(xiàn)要把248噸物資從伊春運往綏化和鶴崗兩地，用大、小兩種貨車共20輛恰好能一次性滿載運完這批貨物，已知大、小兩種貨車的載重量分別是每輛16噸和10噸，運往綏化和鶴崗的運費如表：綏化(元/輛)鶴崗(元/輛)大貨車620700小貨車400550(1)兩種貨車各有多少輛？(2)若安排9輛貨車前往綏化，其余貨車前往鶴崗，設前往綏化的大貨車為a輛，且運往綏化的物資不少于120噸，那么一共有多少種運送方案？其中哪種方案運費最省錢？解：(1)設大貨車有x輛，則小貨車有(20－x)輛，根據(jù)題意得16x＋10(20－x)＝248，解得x＝8，20－x＝20－8＝12.答：大貨車用8輛，小貨車用12輛；(2)前往綏化的大貨車是a輛，那么前往鶴崗的大貨車是(8－a)輛，前往綏化的小貨車是(9－a)輛，前往鶴崗的小貨車是(3＋a)輛，設總運費為w元，w＝620a＋700(8－a)＋400(9－a)＋550(3＋a)＝70a＋10850，則w＝70a＋10850(0≤a≤8且為整數(shù))．根據(jù)題意得16a＋10(9－a)≥120，解得a≥5，又因為0≤a≤8，所以5≤a≤8且為整數(shù)．所以a＝5，6，7，8共有4種方案，因為w＝70a＋10850，k＝70＞0，w隨a的增大而增大，所以當a＝5時，w最?。穑汗灿?種方案，使總運費最少的調配方案是：5輛大貨車、4輛小貨車前往綏化；3輛大貨車、8輛小貨車前往鶴崗．3．[2023·廈門期末]“雙減”政策頒布后，各校重視了延時服務，并在延時服務中加大了體育活動的力度．某體育用品商店抓住商機，計劃購進300套乒乓球拍和羽毛球拍進行銷售，其中購進乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，他們的進價和售價如表：進價售價乒乓球拍(元/套)3545羽毛球拍(元/套)4052該店面根據(jù)以往的銷售經驗，決定購進乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半．設購進乒乓球拍x套，售完這批體育用品獲利y元．(1)求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；(2)該商品實際采購時，恰逢“618”購物節(jié)，乒乓球拍的進價每套降低了n元(0<n<10)，羽毛球拍的進價不變．已知商店的售價不變，這批體育用品能夠全部售完，則如何購貨才能獲利最大？(2)由題意得y＝(45－35＋n)x＋(52－40)(300－x)＝(n－2)x＋3600，因為0<n<10，所以當0<n<2，即n－2<0時，y隨x的增大而減小，所以當x＝100時，y有最大值100(n－2)＋3600，所以當0<n<2時，乒乓球拍購進100套，羽毛球拍購進200套能獲利最大；當2<n<10時，即n－2>0時，y隨x的增大而增大，所以當x＝150時，y有最大值150(n－2)＋3600，所以當2<n<10時，乒乓球拍購進150套，羽毛球拍購進150套能獲利最大；當n＝2時，無論購多少套，只要滿足100≤x≤150，利潤都是3600.4．[2022·襄陽]為了振興鄉(xiāng)村經濟，某鎮(zhèn)鼓勵廣大農戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產品．某經銷商購進甲、乙兩種產品，甲種產品進價為8元/kg；乙種產品的進貨總金額y(單位：元)與乙種產品進貨量x(單位：kg)之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產品的售價分別為12元/kg和18元/kg.(1)求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數(shù)關系式；(2)若該經銷商購進甲、乙兩種產品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產品所獲總利潤為w元(利潤＝銷售額－成本)，請求出w(單位：元)與乙種產品進貨量x(單位：kg)之間的函數(shù)關系式，并為該經銷商設計出獲得最大利潤的進貨方案；(3)為回饋廣大客戶，該經銷商決定對兩種產品進行讓利銷售．在(2)中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．解：(1)當0≤x≤2000時，設y＝k′x，根據(jù)題意，得2000k′＝30000，解得k′＝15，所以y＝15x；當x>2000時，設y＝kx＋b，將(2000，30000)，(4000，56000)代入y＝kx＋b，得30000＝2000k＋b，56000＝4000k＋b，(2)根據(jù)題意，得購進甲種產品(6000－x)kg，因為1600≤x≤4000，當1600≤x≤2000時，w＝(12－8)×(6000－x)＋(18－15)·x＝－x＋24000，因為－1<0，所以當x＝1600時，w的最大值為－1×1600＋24000＝22400；當2000<x≤4000時，w＝(12－8)×(6000－x)＋18x－(13x＋4000)＝x＋20000，(3)由(2)得降價后，w＝(12－8－a)×2000＋(18－2a)×4000－(13×4000＋4000)＝24000－10000a，所以24000－10000a≥15000，解得a≤0.9.所以a的最大值為0.9.5．[2024·臺州期中]閱讀素材：素材1：某班級組織志愿者活動，需提前為同學們訂購午餐，現(xiàn)有A，B兩種套餐可供選擇，套餐信息及團購優(yōu)惠方案如表所示：套餐類別套餐單價團體訂購優(yōu)惠方案A30元方案一：A套餐滿20份及以上每份均打9折；方案二：B套餐滿12份及以上每份均打8折；方案三：總費用滿850元立減90元．(方案三不可與方案一、方案二疊加使用)B25元素材2：該班級共31位同學，每人都從A，B兩種套餐中選擇一種，一人一份訂餐，拒絕浪費．經統(tǒng)計，有20人已經確定A或B套餐，其余11人兩種套餐皆可．若已經確定套餐的20人先下單，三種團購優(yōu)惠條件均不滿足，費用合計為565元．解決問題：(1)已知確定套餐的20人中，有

人選擇A套餐，

人選擇B套餐；(2)設兩種套餐皆可的同學中有m人選擇A套餐，該班訂餐總費用為w元，當全班選擇A套餐人數(shù)不少于20人時，請求出w與m之間的函數(shù)關系式；(3)要使得該班訂餐總費用最低，則A，B套餐應各訂多少份？并求出最低總費用．解：(1)設20人中有x人選擇A套餐，由題意得30x＋25(20－x)＝565，解得x＝13，20－x＝20－13＝7，即20人中有13人選擇A套餐，7人選擇B套餐，故答案為：13，7；(2)因為兩種套餐皆可的11人中有m人選擇A套餐，所以當A套餐人數(shù)不少于20人時，13＋m≥20，所以m≥7，則選擇B套餐人數(shù)為7＋11－m＝18－m≤11，不滿足優(yōu)惠方案二的條件，所以訂餐總費用w＝30×0.9×(13＋m)＋25(7＋11－m)＝2m＋801；(3)兩種套餐皆可的11人中有m人選擇A套餐，①當7≤m≤11時，由(2)，得w＝2m＋801，因為k＝2>0，所以w隨m的增大而增大，所以當m＝7時，w最小為2×7＋801＝815；②當0≤m<7時，13＋m<20，18－m>11，所以訂餐總費用w＝30×(13＋m)＋25×0.8×(7＋11－m)＝10m＋750，因為k＝10>0，所以w隨m的增