第7章數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)7.1數(shù)字基帶信號(hào)7.2數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜7.3無(wú)碼間串?dāng)_傳輸系統(tǒng)與奈奎斯特(Nyquist)準(zhǔn)則7.4部分響應(yīng)系統(tǒng)7.5基帶系統(tǒng)的最佳化7.6基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能7.7均衡器原理7.8眼圖本章仿真實(shí)驗(yàn)舉例習(xí)題數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)模型如圖7.1所示。該模型主要包括碼型變換器、發(fā)送濾波器、信道、接收濾波器、均衡器和取樣判決器等部分。圖7.1數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)模型

7.1數(shù)字基帶信號(hào)

7.1.1數(shù)字基帶信號(hào)的要求

一般來(lái)說(shuō)，選擇數(shù)字基帶信號(hào)碼型時(shí)，應(yīng)遵循以下基本原則：

(1)數(shù)字基帶信號(hào)應(yīng)不含直流分量，且低頻及高頻分量也應(yīng)盡量地少。在基帶傳輸系統(tǒng)中，往往存在著隔直電容及耦合變壓器，不利于直流及低頻分量的傳輸。此外，高頻分量的衰減隨傳輸距離的增加會(huì)快速地增大。另一方面，過(guò)多的高頻分量還會(huì)引起話(huà)路之間的串?dāng)_，因此希望數(shù)字基帶信號(hào)中的高頻分量也要盡量地少。

(2)數(shù)字基帶信號(hào)中應(yīng)含有足夠大的定時(shí)信息分量?；鶐鬏斚到y(tǒng)在接收端進(jìn)行取樣、判決、再生原始數(shù)字基帶信號(hào)時(shí)，必須有取樣定時(shí)脈沖。一般來(lái)說(shuō)，這種定時(shí)脈沖信號(hào)是從數(shù)字基帶信號(hào)中直接提取的。這就要求數(shù)字基帶信號(hào)中含有或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單處理后含有定時(shí)脈沖信號(hào)的線(xiàn)譜分量，以便同步電路提取。實(shí)際經(jīng)驗(yàn)表明，所傳輸?shù)男盘?hào)中不僅要有定時(shí)分量，而且定時(shí)分量還必須具有足夠大的能量，才能保證同步提取電路穩(wěn)定可靠地工作。

(3)基帶傳輸?shù)男盘?hào)碼型應(yīng)對(duì)任何信源都具有透明性，即與信源的統(tǒng)計(jì)特性無(wú)關(guān)。這一點(diǎn)也是為了便于定時(shí)信息的提取而提出的。信源的編碼序列中，有時(shí)候會(huì)出現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)間連“0”的情況，這使接收端在較長(zhǎng)的時(shí)間段內(nèi)無(wú)信號(hào)，因而同步提取電路無(wú)法工作。為避免出現(xiàn)這種現(xiàn)象，基帶傳輸碼型必須保證在任何情況下都能使序列中“1”和“0”出現(xiàn)的概率基本相同，且不出現(xiàn)長(zhǎng)連“1”或“0”的情況。當(dāng)然，這要通過(guò)碼型變換過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。碼型變換實(shí)際上是把數(shù)字信息用電脈沖信號(hào)重新表示的過(guò)程。7.1.2數(shù)字基帶信號(hào)的波形

對(duì)不同的數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)，應(yīng)根據(jù)不同的信道特性及系統(tǒng)指標(biāo)要求，選擇不同的數(shù)字脈沖波形。原則上可選擇任意形狀的脈沖作為基帶信號(hào)波形，如矩形脈沖、三角波、高斯脈沖及升余弦脈沖等。但實(shí)際系統(tǒng)常用的數(shù)字波形是矩形脈沖，這是因?yàn)榫匦蚊}沖易于產(chǎn)生和處理。下面就以矩形脈沖為例，介紹常用的幾種數(shù)字基帶信號(hào)波形，如圖7.2所示。圖7.2幾種常用的基帶信號(hào)波形

1．單極性非歸零碼波形

這是一種最簡(jiǎn)單的二進(jìn)制數(shù)字基帶信號(hào)波形。這種波形用正(或負(fù))電平和零電平分別表示二進(jìn)制碼元的“1”碼和“0”碼，也就是用脈沖的有無(wú)來(lái)表示碼元的“1”和“0”，如圖7.2(a)所示。

這種波形的特點(diǎn)是脈沖的極性單一，有直流分量，且脈沖之間無(wú)空隙，即脈沖的寬度等于碼元寬度，故這種脈沖又稱(chēng)為不歸零碼(NRZ，NonReturntoZero)。NRZ波形一般用于近距離的電傳機(jī)之間的信號(hào)傳輸。

2．雙極性非歸零碼波形

在雙極性波形中，用正電平和負(fù)電平分別表示二進(jìn)制碼元的“1”碼和“0”碼，如圖7.2(b)所示。這種波形的脈沖之間也無(wú)空隙。從信源的統(tǒng)計(jì)規(guī)律來(lái)看，“1”碼和“0”碼出現(xiàn)的概率相等，所以這種波形無(wú)直流分量。此外，這種波形具有較強(qiáng)的抗干擾能力。雙極性波形在基帶傳輸系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛。

3．單極性歸零碼波形

這種波形如圖7.2(c)所示。它的特點(diǎn)是脈沖的寬度(τ)小于碼元的寬度(T)，每個(gè)電脈沖在小于碼元寬度的時(shí)間內(nèi)總要回到零電平，故這種波形又稱(chēng)為歸零波形(RZ，ReturntoZero)。

由于歸零波形的碼元間隔明顯，因此有利于定時(shí)信息的提取。但單極性RZ波形中仍含有直流分量，且由于脈沖變窄，碼元能量減小，因而在匹配接收時(shí)，其輸出信噪比較不歸零波形低。

4．雙極性歸零碼波形

雙極性歸零碼波形中，用正電平和負(fù)電平分別表示二進(jìn)制碼元的“1”碼和“0”碼，但每個(gè)電脈沖在小于碼元寬度的時(shí)間內(nèi)都要回到零電平，如圖7.2(d)所示。這種波形兼有雙極性波形和歸零波形的特點(diǎn)。

5．差分碼波形(相對(duì)碼波形)

差分波形也可以看成是差分碼序列{bn}對(duì)應(yīng)的絕對(duì)碼波形，差分碼bn與絕對(duì)碼an之間的關(guān)系可用以下的編碼方程表示:

(7.1)

式中，為模2和運(yùn)算符號(hào)。

由式(7.1)可以看出，絕對(duì)碼an每出現(xiàn)一個(gè)“1”碼，差分碼

bn電平變化一次；當(dāng)an出現(xiàn)“0”碼時(shí)，差分碼bn電平與前一碼元bn-1相同?？梢?jiàn)，bn前后碼元取值的變化代表了原信碼an中的“1”和“0”。由式(7.1)可以導(dǎo)出譯碼方程為

(7.2)

由式(7.2)可看出，譯碼時(shí)只要檢查前后碼元電平是否有變化就可以判決發(fā)送的是“1”碼還是“0”碼。

編譯碼電路和波形的變化關(guān)系如圖7.3所示。圖7.3編譯碼電路和波形的變化關(guān)系

6.多電平脈沖波形(多進(jìn)制波形)

上述各種波形都是二進(jìn)制波形，實(shí)際上還存在多電平脈沖波形，也稱(chēng)為多進(jìn)制波形。這種波形的取值不是兩值，而是多值。例如，代表四種狀態(tài)的四電平脈沖波形，每種電平可用兩位二進(jìn)制碼元來(lái)表示，如00代表－3E，01代表－E，10代表+E，11代表+3E，如圖7.2(f)所示。這種波形一般在高速數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)中用來(lái)壓縮碼元速率，提高系統(tǒng)的頻帶利用率。但在相同信號(hào)功率的條件下，多進(jìn)制傳輸系統(tǒng)的抗干擾性能不如二進(jìn)制系統(tǒng)。7.1.3常用的基帶傳輸碼型

1．AMI碼

AMI(AlternateMarkInversion)碼又稱(chēng)為平衡對(duì)稱(chēng)碼。這種碼的編碼規(guī)則是：把碼元序列中的“1”碼變?yōu)闃O性交替變化的傳輸碼+1，－1，+1，－1，…，而碼元序列中的“0”碼保持不變。

例如：

碼元序列：10011010111100

AMI碼：+100－1+10－10+1－1+1－100

對(duì)應(yīng)的波形如圖7.4所示。圖7.4

AMI碼波形由AMI碼的編碼規(guī)則可以看出，由于+1和－1各占一半，因此，這種碼中無(wú)直流分量，且其低頻和高頻分量也較少，信號(hào)的能量主要集中在fT/2處，其中fT為碼元速率。AMI碼的功率譜如圖7.5所示。此外，AMI碼編碼過(guò)程中，將一個(gè)二進(jìn)制符號(hào)變成了一個(gè)三進(jìn)制符號(hào)，即這種碼脈沖有三種電平，因此把這種碼稱(chēng)為偽三電平碼，也稱(chēng)為1B/1T碼型。圖7.5

NRZ、AMI碼及HDB3碼的功率譜

2.HDB3碼

HDB3碼的編碼規(guī)則如下：

(1)把碼元序列進(jìn)行AMI編碼，然后檢查AMI碼中連0的個(gè)數(shù)，如果沒(méi)有4個(gè)以上(包括4個(gè))連0串，則這時(shí)的AMI碼就是HDB3碼。

(2)如果出現(xiàn)4個(gè)以上連0串，則將每4個(gè)連0小段的第4個(gè)0變成與其前一個(gè)非0碼(+1或－1)相同的碼。顯然，這個(gè)碼破壞了“極性交替反轉(zhuǎn)”的規(guī)則，因而稱(chēng)其為破壞碼，用符號(hào)V表示(即+1記為+V，－1記為－V)。

(3)為了使附加V碼后的序列中仍不含直流分量，必須保證相鄰的V碼極性交替。這一點(diǎn)在相鄰的V碼之間有奇數(shù)個(gè)非0碼時(shí)是能得到保證的，但當(dāng)相鄰的V碼之間有偶數(shù)個(gè)非0碼時(shí)，則得不到保證。這時(shí)再將該連0小段中的第1個(gè)0變成+B或－B，B的極性與其前一個(gè)非0碼相反，并讓后面的非零碼從V碼后開(kāi)始極性交替變化。

其中，第1個(gè)V碼和第2個(gè)V碼之間有2個(gè)非0碼(偶數(shù))，故將第2個(gè)4連0小段中的第1個(gè)0變成－B；第2個(gè)V碼和第3個(gè)V碼之間有1個(gè)非0碼(奇數(shù))，不需變化。此外還可看出，HDB3碼中，V碼與其前一個(gè)非0碼(+1或－1)極性相同，起破壞作用；相鄰的V碼極性交替；除V碼外，包括B碼在內(nèi)的所有非0碼極性交替。

HDB3碼的波形如圖7.6所示。圖7.6

HDB3碼波形

3.曼徹斯特(Manchester)碼

曼徹斯特碼又稱(chēng)數(shù)字雙相碼或分相碼，其波形如圖7.7(b)所示，圖7.7(a)為對(duì)應(yīng)的NRZ碼波形。曼徹斯特碼用一個(gè)周期的方波來(lái)代表碼元“1”，而用它的反相波形來(lái)代表碼元“0”。這種碼在每個(gè)碼元的中心部位都發(fā)生電平跳變，因此有利于定時(shí)同步信號(hào)的提取，而且定時(shí)分量的大小不受信源統(tǒng)計(jì)特性的影響。曼徹斯特碼中，由于正負(fù)脈沖各占一半，因此無(wú)直流分量，但這種碼占用的頻帶增加了一倍。曼徹斯特碼適合在較短距離的同軸電纜信道上傳輸。圖7.7曼徹斯特碼和CMI碼波形

4.差分曼徹斯特(DifferentialManchester)碼

差分曼徹斯特碼與曼徹斯特碼的編碼規(guī)則相同，在每個(gè)碼元的中心部位都發(fā)生電平跳變；不同之處在于用碼元開(kāi)始處有無(wú)跳變來(lái)表示碼元“0”和“1”，即碼元開(kāi)始處有跳變表示“0”，碼元開(kāi)始處無(wú)跳變表示“1”。同樣在差分曼徹斯特碼中，由于正負(fù)脈沖各占一半，因此無(wú)直流分量，但頻帶增加了一倍。

5.CMI碼

CMI碼稱(chēng)為傳號(hào)反轉(zhuǎn)碼。在CMI碼中，“1”碼(傳號(hào))交替地用正、負(fù)電平脈沖來(lái)表示，而“0”碼則用固定相位的一個(gè)周期方波表示，如圖7.7(c)所示。CMI碼和曼徹斯特碼相似，不含有直流分量，且易于提取同步信號(hào)。CMI碼的另一個(gè)特點(diǎn)是具有一定的誤碼檢測(cè)能力。這是因?yàn)?，CMI碼中的“1”碼相當(dāng)于用交替的“00”和“11”兩位碼組表示，而“0”碼則固定地用“01”碼組表示。正常情況下，序列中不會(huì)出現(xiàn)“10”碼組，且“00”和“11”碼組連續(xù)出現(xiàn)的情況也不會(huì)發(fā)生，這種相關(guān)性可以用來(lái)檢測(cè)因干擾而產(chǎn)生的部分錯(cuò)碼。

6.4B/3T碼

4B/3T碼是1B/1T碼的改進(jìn)型，它把4個(gè)二進(jìn)制碼元變換為3個(gè)三進(jìn)制碼元。顯然，在相同信息速率的條件下，4B/3T碼的碼元傳輸速率要比1B/1T碼的低，因而提高了系統(tǒng)的傳輸效率。

4B/3T碼的變換過(guò)程中需要同步信號(hào)，變換電路比較復(fù)雜，故一般較少采用。有關(guān)4B/3T碼的編碼規(guī)則，讀者可參考有關(guān)資料。

圖7.8為數(shù)字序列01001100011的5種編碼波形。圖7.8數(shù)字序列的5種編碼波形7.2數(shù)字基帶信號(hào)的功率譜

下面分析二進(jìn)制數(shù)字基帶脈沖序列的功率譜。二進(jìn)制數(shù)字基帶脈沖序列波形如圖7.9所示。該隨機(jī)序列可表示為

(7.3)

式中:

(7.4)

這里g1(t)和g2(t)分別表示碼元符號(hào)的0和1，T表示碼元的寬度。圖7.9中，雖然g1(t)和g2(t)都畫(huà)成了三角形(高度不同)，但實(shí)際上g1(t)和g2(t)可以是任意脈沖。圖7.9二進(jìn)制數(shù)字基帶脈沖序列波形一般來(lái)說(shuō)，對(duì)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的典型分析方法是用隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)去求過(guò)程的功率譜。但圖7.9中所示的二進(jìn)制數(shù)字基帶脈沖序列并不是嚴(yán)格的廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)該隨機(jī)序列的功率譜分析采用另一種簡(jiǎn)便的方法：根據(jù)功率譜的定義，先截取序列的有限項(xiàng)，然后用求極限的方法得到序列的功率譜密度函數(shù)Ps(f)，即有：

(7.5)

(7.6)

式中，SN(f)為截?cái)嘈盘?hào)sN(t)的頻譜密度函數(shù)。觀察隨機(jī)序列s(t)可以發(fā)現(xiàn)，它由兩部分組成：一部分為序列的統(tǒng)計(jì)平均分量(又稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)分量)μ(t)，另一部分為交變分量(變動(dòng)部分)v(t)。μ(t)分量取決于每個(gè)碼元內(nèi)出現(xiàn)g1(t)和g2(t)的概率加權(quán)平均。每個(gè)碼元的統(tǒng)計(jì)平均波形μn(t)是相同的，所以穩(wěn)態(tài)分量μ(t)是周期信號(hào)，周期為碼元的寬度T。交變分量v(t)取決于g1(t)和g2(t)隨機(jī)出現(xiàn)的情況，它可用序列信號(hào)與穩(wěn)態(tài)分量的差表示，即統(tǒng)計(jì)平均分量μ(t)為

(7.7)

式中，第n個(gè)碼元μn(t)為

(7.8)交變分量v(t)為

(7.9)

式中，第n個(gè)碼元vn(t)為

(7.10)由式(7.4)及式(7.8)，可將式(7.10)寫(xiě)為

(7.11)于是序列的交變分量v(t)可寫(xiě)為

(7.12)

式中:

(7.13)下面分別計(jì)算穩(wěn)態(tài)分量μ(t)和交變分量v(t)的功率譜。由于穩(wěn)態(tài)分量μ(t)是周期為T(mén)的周期信號(hào)，所以其功率譜可以直接寫(xiě)為

(7.14)

式中:G1(f)和G2(f)分別為g1(t)和g2(t)的傅立葉變換;fT=1/T為碼元速率。對(duì)于交變分量v(t)，先考慮其有限項(xiàng)vN(t)

(7.15)

對(duì)式(7.15)求傅立葉變換得:

(7.16)

式中，G1(f)和G2(f)分別為g1(t)和g2(t)的傅立葉變換。接下來(lái)計(jì)算VN(f)的模平方的統(tǒng)計(jì)平均值E［|VN(f)|2］。由式(7.16)可得：

(7.17)由于只有bm、bn是隨機(jī)變量，因此式(7.17)可寫(xiě)為

(7.18)

由式(7.13)可知，當(dāng)m=n時(shí)，有

這時(shí)有：

(7.19)當(dāng)m≠n時(shí)，有：

這時(shí)有：

(7.20)由以上計(jì)算可見(jiàn)，由于當(dāng)m≠n時(shí)，E［bm·bn］=0，所以式(7.18)的值只在m=n時(shí)存在，即

(7.21)由式(7.6)可得到交變分量v(t)的功率譜Pv(f)為

(7.22)將式(7.22)與式(7.14)相加，得到二進(jìn)制隨機(jī)數(shù)字基帶脈沖序列的單邊功率譜密度函數(shù)Ps(f)為

(7.23)式中,第一、二項(xiàng)為離散分量，第三項(xiàng)為連續(xù)分量。由此可見(jiàn)，隨機(jī)基帶序列的功率譜中包括離散譜和連續(xù)譜兩部分，其中離散譜可直接提取作為時(shí)鐘定時(shí)信號(hào)使用。對(duì)連續(xù)譜來(lái)說(shuō)，由于代表碼元符號(hào)的g1(t)和g2(t)不能完全相同，則G1(f)≠G2(f)，因而連續(xù)譜總是存在的。對(duì)離散譜來(lái)說(shuō)，一般情況下，它也是存在的，但在有些情況下可能不存在。例如，當(dāng)g1(t)和g2(t)出現(xiàn)的概率相等，即P=1－P=1/2，且采用雙極性脈沖，即g1(t)=－g2(t)=g(t)，G1(f)=－G2(f)=G(f)

時(shí)，式(7.23)可寫(xiě)為

(7.24)

式(7.24)說(shuō)明，雙極性全占空隨機(jī)序列中不含有離散分量，因而無(wú)法直接提取時(shí)鐘定時(shí)信號(hào)。此時(shí)必須將雙極性信號(hào)整流，并處理成歸零脈沖，才可以進(jìn)行時(shí)鐘定時(shí)信號(hào)的提取。7.3無(wú)碼間串?dāng)_傳輸系統(tǒng)與

奈奎斯特(Nyquist)準(zhǔn)則

7.3.1基帶系統(tǒng)傳輸特性及碼間串?dāng)_

根據(jù)圖7.1所示的基帶傳輸系統(tǒng)模型，圖中基帶傳輸系統(tǒng)總的傳輸特性H(ω)可寫(xiě)為

(7.25)

相應(yīng)地，基帶傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

(7.26)設(shè)系統(tǒng)輸入的二進(jìn)制隨機(jī)序列為{an}，an的取值為0、1或－1、+1。為便于分析，把序列對(duì)應(yīng)的輸入信號(hào)波形x(t)表示為

(7.27)

即輸入信號(hào)是由an決定的一系列沖激函數(shù)。這樣基帶傳輸系統(tǒng)的輸出(接收濾波器的輸出)信號(hào)

(7.28)考慮信道加性噪聲n(t)的影響后，基帶傳輸系統(tǒng)總的輸出波形y(t)為

(7.29)

式中，nR(t)為加性噪聲n(t)通過(guò)接收濾波器后輸出的帶限噪聲。

y(t)被送入取樣判決電路，并由該電路確定an的取值。取樣時(shí)刻為tk=kT+t0，其中，k為整數(shù)，t0為可能的時(shí)間偏移(時(shí)偏)。y(t)在t=tk時(shí)刻的取樣值是判決an取值的依據(jù)，將tk=kT

(設(shè)t0=0)代入式(7.29)中，有

(7.30)式中，akh(0)為第k個(gè)碼元ak在接收判決時(shí)刻的取值，是判決ak取值的依據(jù)；是接收信號(hào)中除第k個(gè)碼元以外的其他碼元產(chǎn)生的波形在t=tk時(shí)刻的總和，它對(duì)ak的正確判決產(chǎn)生的干擾稱(chēng)為碼間串?dāng)_(ISI，InterSymbolInterference)，ISI的大小取決于系統(tǒng)的傳輸特性H(ω)；

nR(kT)是隨機(jī)噪聲在t=tk時(shí)刻對(duì)第k個(gè)碼元的干擾，它取決于信道加性噪聲及接收濾波器的特性。7.3.2無(wú)碼間串?dāng)_系統(tǒng)的特性

滿(mǎn)足無(wú)碼間串?dāng)_條件的系統(tǒng)稱(chēng)為理想基帶傳輸系統(tǒng)。為了設(shè)計(jì)理想基帶傳輸系統(tǒng)，先不考慮噪聲的影響，即假設(shè)nR(t)為零。由式(7.30)可看出，系統(tǒng)無(wú)碼間串?dāng)_的條件應(yīng)為

(7.31)即系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿(mǎn)足

(7.32)

式(7.32)說(shuō)明，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)除t=0處不為零外，在其他所有抽樣時(shí)刻上的取值都為零。下面就由這一條件導(dǎo)出無(wú)碼間串?dāng)_的基帶傳輸系統(tǒng)特性H(ω)。由于:

因此有:

(7.33)

將式(7.33)用分段積分來(lái)表示，每段寬度為2π/T，則有:

(7.34)對(duì)式(7.34)作變量代換，令，則式(7.34)變?yōu)?/p>

(7.35)式中，i=0,±1,±2。由式(7.35)可見(jiàn)，h(kT)是

在區(qū)間［－π/T,π/T］上的反變換。此外，由傅立葉變換關(guān)系可知，h(kT)是頻域函數(shù)的指數(shù)型傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，即有:

(7.36)將式(7.32)中要求的條件代入上式，得到無(wú)碼間串?dāng)_時(shí)基帶傳輸系統(tǒng)的特性為

(7.37)

或

(7.38)令等效低通傳輸特性Heq(ω)為

(7.39)式中，的物理意義為將H(ω)頻移

后再相加。式(7.39)表明,若H(ω)頻移相加后能在區(qū)間［－π/T,π/T］內(nèi)得到某一常數(shù)(不一定為T(mén))，則這樣的基帶傳輸系統(tǒng)可以完全消除碼間串?dāng)_(碼元速率為1/T)。以上結(jié)論給出了一種檢驗(yàn)H(ω)是否會(huì)產(chǎn)生碼間串?dāng)_的方法，但并沒(méi)有給出構(gòu)造H(ω)的手段。7.3.3奈奎斯特第一準(zhǔn)則(抽樣值無(wú)失真條件)

最簡(jiǎn)單的一種就是H(ω)為理想低通傳輸系統(tǒng)，即

(7.40)

式中，Heq(ω)對(duì)應(yīng)于式(7.39)取i=0的情況，即按式(7.39)的條件去檢驗(yàn)H(ω)時(shí)，H(ω)是符合無(wú)碼間串?dāng)_傳輸特性要求的。H(ω)如圖7.10(a)所示，圖(b)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。圖7.10理想低通傳輸系統(tǒng)7.3.4奈奎斯特第二準(zhǔn)則(轉(zhuǎn)換點(diǎn)無(wú)失真條件)

轉(zhuǎn)換點(diǎn)無(wú)失真條件的含義是：給定電平對(duì)接收信號(hào)波形限幅，使產(chǎn)生的方脈沖的寬度正好等于碼元寬度，被判決信號(hào)與限幅電平相等的時(shí)刻為轉(zhuǎn)換點(diǎn)，如在轉(zhuǎn)換點(diǎn)(如)處符號(hào)間不影響(見(jiàn)圖7.11)，則稱(chēng)轉(zhuǎn)換點(diǎn)無(wú)失真條件。接收碼元的再生波形如圖7.12所示。圖7.11轉(zhuǎn)換點(diǎn)無(wú)失真圖7.12接收碼元的再生碼元波形再生波形碼元為

利用傅立葉變換可得，無(wú)失真的頻域表達(dá)式為

(7.41)若，G(ω)=0，則轉(zhuǎn)換不失真條件為

(7.42)7.3.5奈奎斯特第三準(zhǔn)則(脈沖波形面積保持不變條件)

脈沖波形面積保持不變的含義是：如果接收波形在一個(gè)碼元寬度內(nèi)的面積正比于發(fā)送矩形脈沖的值，而其他碼元發(fā)送的脈沖對(duì)此碼元寬度內(nèi)的面積的貢獻(xiàn)為零，則接收端也能無(wú)失真地恢復(fù)原始信號(hào)。為此，要求傳輸函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7.43)利用傅立葉反變換可求出s(t)，再求出碼元寬度(間隔)

(

)內(nèi)的面積(積分)A，可得:

(7.44)

式(7.44)也證明了第三準(zhǔn)則的正確性。關(guān)于奈奎斯特準(zhǔn)則關(guān)系式的詳細(xì)分析見(jiàn)7.4節(jié)。7.3.6無(wú)碼間串?dāng)_的滾降系統(tǒng)特性

根據(jù)式(7.39)中的條件，考察定義在［－2π/T,2π/T］區(qū)間內(nèi)的H(ω)。把H(ω)按區(qū)間［－π/T,π/T］的寬度分為三段，頻移后在區(qū)間［－π/T,π/T］內(nèi)疊加，即在式(7.39)中取i=0,±1。這時(shí)有

(7.45)令式(7.45)滿(mǎn)足以下條件:

(7.46)

則這樣的H(ω)是能消除碼間串?dāng)_的。以上疊加過(guò)程如圖7.13(a)所示。圖中的H(ω)具有升余弦滾降特性，這里“滾降”是指頻譜的過(guò)渡特性。顯然，滿(mǎn)足式(7.42)特性要求的H(ω)不是唯一的。事實(shí)上，只要H(ω)具有以|ω|=π/T軸為中心的奇對(duì)稱(chēng)特性，那么這樣的基帶傳輸系統(tǒng)就滿(mǎn)足無(wú)碼間串?dāng)_條件，如圖7.13(b)所示。圖7.13

Heq(ω)特性的構(gòu)成由圖7.13(b)可看出，圖中的H(ω)可視為Heq(ω)和H1(ω)疊加的結(jié)果，H1(ω)具有以|ω|=π/T軸為中心的奇對(duì)稱(chēng)特性。設(shè)H(ω)超出π/T的帶寬部分為ω1，定義描述H(ω)滾降程度的滾降系數(shù)α為

(7.47)可見(jiàn)，滾降系數(shù)是小于等于1的數(shù)。圖7.14畫(huà)出了α=0,

0.5,1時(shí)無(wú)碼間串?dāng)_的升余弦滾降特性及對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h(t)。滾降系數(shù)為α的升余弦特性H(ω)為

(7.48)圖7.14升余弦滾降特性及其沖激響應(yīng)波形其沖激響應(yīng)h(t)可表示為

(7.49)

當(dāng)滾降系數(shù)α=1時(shí)，有

(7.50)其沖激響應(yīng)h(t)可表示為

(7.51)由圖7.14可看出，當(dāng)α=0時(shí)，為理想低通特性；當(dāng)α=1時(shí)，為式(7.50)表示的升余弦特性，這時(shí)沖激響應(yīng)波形h(t)除了在t=0時(shí)不為零外，在t=kT的其他抽樣時(shí)刻的取值均為零，消除了碼間串?dāng)_。不僅如此，當(dāng)α=1時(shí)，h(t)波形在各采樣點(diǎn)之間又增加了一個(gè)零點(diǎn)，這樣可使“拖尾”衰減得更快，從而有利于減小由于定時(shí)誤差造成的碼間串?dāng)_。由式(7.49)中h(t)的表示式可看出，具有升余弦特性的系統(tǒng)沖激響應(yīng)是按1/t3衰減的，這比理想低通系統(tǒng)的(按1/t)要快得多。但是系統(tǒng)的這種優(yōu)點(diǎn)是用降低頻帶利用率換來(lái)的。由圖7.14可看出，升余弦系統(tǒng)的頻譜帶寬為B=(1+α)/2T(Hz)，比理想低通系統(tǒng)帶寬大，由于系統(tǒng)最高無(wú)碼間串?dāng)_的傳輸速率為R=1/T(Baud)，因此系統(tǒng)的最高頻帶利用率為

(7.52)

式中，當(dāng)α=0時(shí)，ρ=2Baud/Hz；當(dāng)α=1時(shí)，ρ=1Baud/Hz。雖然升余弦滾降特性系統(tǒng)的頻帶利用率是理想系統(tǒng)的一半，但這種系統(tǒng)的確是一種滿(mǎn)足無(wú)碼間串?dāng)_條件的可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。(Baud/Hz)

7.4部分響應(yīng)系統(tǒng)

7.4.1余弦譜傳輸特性

為了得到部分響應(yīng)波形，間隔為T(mén)(碼元間隔)的兩個(gè)奈奎斯特脈沖疊加得到的合成波形為

(7.53)

g(t)稱(chēng)為部分響應(yīng)波形，其頻譜特性為

(7.54)

g(t)及G(ω)如圖7.15所示。圖7.15余弦譜特性及響應(yīng)由圖7.15可見(jiàn)，g(t)波形的振蕩衰減加快了，這是因?yàn)橄嗑嘁粋€(gè)碼元的奈奎斯特脈沖的振蕩正負(fù)相反且互相抵消；G(ω)具有滾降的余弦譜特性。

從圖7.15中還可以看出，g(t)在各取樣點(diǎn)(取樣間隔為T(mén))上的值為

(7.55)由以上分析可知：

(1)g(t)的“尾巴”按1/t2的速度變化，比sinx/x波形收斂快，衰減大。

(2)若用g(t)作為傳輸波形，且碼元間隔為T(mén)，則在抽樣時(shí)刻僅發(fā)生傳輸碼元與其前后碼元相互串?dāng)_，而與其他碼元不發(fā)生串?dāng)_，如圖7.16所示。由于這種串?dāng)_是確定的，因此可以消除其影響，使系統(tǒng)成為無(wú)碼間串?dāng)_的系統(tǒng)，這就是可控碼間串?dāng)_。

(3)由于余弦譜特性的帶寬，而傳輸速率為，因而這種系統(tǒng)的頻帶利用率達(dá)到了2Baud/Hz。圖7.16可控碼間串?dāng)_示意圖但是要注意，這種系統(tǒng)會(huì)造成誤碼擴(kuò)散，即前一碼元判錯(cuò)后，會(huì)影響后幾個(gè)碼元的判決(直到連“0”碼出現(xiàn)為止)。例如，設(shè)發(fā)送碼元為ak，接收碼元為ck，則有:

ck=ak+ak－1或ak=ck－ak－1

(7.56)

顯然，若前一碼元ak－1判錯(cuò)，則會(huì)使ak也出現(xiàn)錯(cuò)判。

為防止誤碼擴(kuò)散，可進(jìn)行預(yù)編碼。所謂預(yù)編碼，是指在發(fā)送端將ak變?yōu)閎k，使

(7.57)然后發(fā)送bk,而不是ak，這樣接收碼元為

ck=bk+bk－1

(7.58)

接收端對(duì)收到的ck進(jìn)行模2和運(yùn)算，就可以恢復(fù)ak，即

(7.59)

式(7.59)說(shuō)明，接收端不必經(jīng)過(guò)求差運(yùn)算就可得到ak，因而不會(huì)造成誤碼擴(kuò)散。通常把式(7.57)稱(chēng)為預(yù)編碼，而把式(7.58)稱(chēng)為相關(guān)編碼。7.4.2正弦譜特性

余弦譜特性有一個(gè)明顯的缺陷，就是信號(hào)波形中含有直流分量，這是數(shù)字基帶傳輸系統(tǒng)中不希望的。但可以用類(lèi)似的方法構(gòu)成不含有直流分量的部分響應(yīng)波形。將間隔為2T的兩個(gè)奈奎斯特脈沖相減，可得到合成波形為

(7.60)其頻譜特性為

(7.61)

g(t)及G(ω)如圖7.17所示。由圖7.17可見(jiàn),G(ω)具有滾降的正弦譜特性，且G(0)=0，因而g(t)波形中不含直流分量；碼元波形g(t)僅對(duì)隔一個(gè)碼元有串?dāng)_，對(duì)其他碼元無(wú)串?dāng)_，但由于串?dāng)_是確定的，因而可以消除其影響；系統(tǒng)的頻帶利用率同樣可達(dá)到2Baud/Hz。圖7.17正弦譜特性及響應(yīng)7.4.3部分響應(yīng)系統(tǒng)特性

上面介紹了余弦譜和正弦譜特性的構(gòu)成方法，將其推廣為更多個(gè)不同間隔的奈奎斯特脈沖的加權(quán)組合，就得到部分響應(yīng)波形的一般形式，其表示式為

(7.62)式(7.62)為N+1個(gè)相繼延時(shí)出現(xiàn)的奈奎斯特脈沖的加權(quán)組合，其中Ri為加權(quán)系數(shù)，取整數(shù)值。式(7.62)所示的部分響應(yīng)波形的頻譜為

(7.63)

根據(jù)加權(quán)系數(shù)Ri的不同，可以得到不同種類(lèi)的部分響應(yīng)波形。表7.1中列出了常用的五類(lèi)部分響應(yīng)波形及其頻譜。為便于比較，將理想的sinx/x波形也列入表7.1中，稱(chēng)為0類(lèi)響應(yīng)波形。實(shí)際系統(tǒng)中，Ⅳ類(lèi)部分響應(yīng)波形的應(yīng)用最廣。表7.1部分響應(yīng)波形及其頻譜表7.1中共有五類(lèi)部分響應(yīng)波形可用，但常用的只有兩類(lèi)，即第一類(lèi)和第四類(lèi)。第一類(lèi)就是前面講過(guò)的余弦特性響應(yīng)，即表中類(lèi)型Ⅰ，R0=1，R1=1。第四類(lèi)是表中類(lèi)型Ⅳ，

R0=1，R1=0，R2=－1。第四類(lèi)部分響應(yīng)的波形函數(shù)為

(7.64)其頻譜為

(7.65)設(shè)發(fā)送數(shù)字序列為{ak}，則接收端在t=kT時(shí)刻的抽樣值{ck}為

(7.66)

式(7.66)說(shuō)明，ck不僅與ak有關(guān)，而且與ak以前的N個(gè)碼元有關(guān)。這就是相關(guān)編碼的含義。加權(quán)系數(shù)Ri不同，會(huì)產(chǎn)生不同的編碼(注意，在這里會(huì)出現(xiàn)多電平波形)。為了消除接收端的誤碼擴(kuò)散，發(fā)送端也應(yīng)采取預(yù)編碼，把a(bǔ)k變換為bk后再發(fā)送。編碼規(guī)則如下：

(模L)(7.67)

式中，L為ak和bk所取的多電平數(shù)目。然后將預(yù)編碼后的{bk}序列進(jìn)行相關(guān)編碼，得:

(算術(shù)加)

(7.68)

接收端對(duì)ck作模L運(yùn)算，則有:

(7.69)

式中，［·］modL為模L運(yùn)算符號(hào)。由此可見(jiàn)，通過(guò)預(yù)編碼—相關(guān)編碼—模L運(yùn)算后可以消除誤碼擴(kuò)散。7.4.4常用部分響應(yīng)系統(tǒng)舉例

1.第一類(lèi)部分響應(yīng)系統(tǒng)

設(shè)輸入的二進(jìn)制碼元序列為{ak}，ak的取樣值為+1及－1,當(dāng)發(fā)送碼元ak時(shí)，接收波形g(t)在相應(yīng)抽樣時(shí)刻上獲得的值為ck，由表7.1和式(7.66)可知ck=ak+ak－1。由ck的表達(dá)式可得

ak=ck－ak－1。式中,ak－1表示ak前一碼元在第k個(gè)時(shí)刻上的抽樣值。不難驗(yàn)證,ck將可能?。?、±２三個(gè)數(shù)值。如果ak－1碼元已經(jīng)判定，則接收端根據(jù)收到的ck再減去ak－1便可得到ak的取值。雖然上述判決方法在原理上是可行的，但可能會(huì)造成錯(cuò)誤的傳播。其原因是只要有一個(gè)碼元發(fā)生錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤就會(huì)相繼影響以后的碼元，這種現(xiàn)象稱(chēng)為誤碼擴(kuò)散。

為了解決這一問(wèn)題，通常在發(fā)送端采用預(yù)編碼。圖7.18(a)給出了采用預(yù)編碼第一類(lèi)部分響應(yīng)編碼的原理圖。圖7.18預(yù)編碼第一類(lèi)部分響應(yīng)編碼的原理圖與第一類(lèi)部分響應(yīng)系統(tǒng)的實(shí)際框圖

(1)預(yù)編碼：輸入ak經(jīng)過(guò)預(yù)編碼變?yōu)閎k序列。其規(guī)則是：

，mod2即模2運(yùn)算。ak有0、1兩種狀態(tài)，用模2運(yùn)算后，bk也只有兩種狀態(tài)。

(2)相關(guān)編碼：即第一類(lèi)部分響應(yīng)編碼。其規(guī)則是：

。由于bk有兩種狀態(tài)0、1，所以ck有三種電平狀態(tài)0、1、2。又因?yàn)椋越邮斩嗽谑盏絚k后，只要作模2處理，即,

就能恢復(fù)ak，此時(shí)不需要預(yù)先知道ak－1，也不存在誤碼擴(kuò)散問(wèn)題。

【例7.1】設(shè){ak}為0

0

1

1

1

0

0

1

0

1,則有圖7.18(a)給出了第一類(lèi)部分響應(yīng)編碼的原理圖，實(shí)際系統(tǒng)還要考慮信道和噪聲特性，如圖7.18(b)所示。圖7.18(b)中除增加了發(fā)送和接收低通濾波器(截止頻率均為基帶信號(hào)帶寬)外，還將圖(a)中兩個(gè)時(shí)延電路合為一個(gè)簡(jiǎn)化電路。

第一類(lèi)部分響應(yīng)編碼的優(yōu)點(diǎn)是可實(shí)現(xiàn)2Baud/Hz的碼速，且能消除碼間干擾；缺點(diǎn)是ck序列由一個(gè)二元序列bk及其延遲序列bk－1相加而成，又稱(chēng)為雙二元編碼，接收的ck是三電平信號(hào)，抗干擾性能比二電平系統(tǒng)要差。

2.第四類(lèi)部分響應(yīng)系統(tǒng)

第一類(lèi)部分響應(yīng)信號(hào)的頻譜是余弦型的，其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)碼功率譜密度也是這樣的形狀，其頻率越低，功率譜密度越大。對(duì)于某些低頻特性不好的信道來(lái)說(shuō)，傳輸這樣的信號(hào)會(huì)帶來(lái)信號(hào)失真。另外，如果基帶信號(hào)還要經(jīng)過(guò)單邊帶調(diào)制，則要求基帶信號(hào)的低頻分量越小越好，因此，需要得到一個(gè)正弦型的頻譜信號(hào)。第四類(lèi)部分響應(yīng)編碼技術(shù)就可以達(dá)到這樣的目標(biāo)。

第四類(lèi)部分響應(yīng)信號(hào)的頻譜是正弦型的，其實(shí)現(xiàn)方法是將時(shí)間上錯(cuò)開(kāi)2T的兩個(gè)sinx/x波形相減作為基本傳輸信號(hào)。第四類(lèi)部分響應(yīng)的波形函數(shù)g(t)和頻譜G(ω)見(jiàn)式(7.64)和式(7.65)。圖7.19給出了第四類(lèi)部分響應(yīng)編碼系統(tǒng)的方框圖。圖7.19第四類(lèi)部分響應(yīng)編碼系統(tǒng)的方框圖圖7.19中從①點(diǎn)到②點(diǎn)實(shí)現(xiàn)相關(guān)編碼，相關(guān)編碼在編碼后與截止頻率為的低通濾波器配合發(fā)送到信道。系統(tǒng)對(duì)沖激脈沖δ(t)的響應(yīng)為

相關(guān)編碼部分的頻譜即為表7.1中Ⅳ類(lèi)部分響應(yīng)的頻譜。預(yù)編碼的規(guī)則為

ak與bk有0、1兩種狀態(tài)，用0、1兩種電平表示。

相關(guān)編碼規(guī)則為

ck有三種電平：+1、0、－1。由預(yù)編碼規(guī)則可見(jiàn)，當(dāng)ak=0時(shí)，bk與bk－2相同；當(dāng)ak=1時(shí)，bk與bk－2不同。因此：

接收端根據(jù)上式判決即可由ck恢復(fù)ak。

【例7.2】設(shè){ak}為0

0

1

1

1

0

0

1

0

1,則7.5基帶系統(tǒng)的最佳化

7.5.1理想信道下的最佳基帶系統(tǒng)

理想信道是指無(wú)限寬的均勻信道，即GC(ω)=1。由于基帶系統(tǒng)的總特性為

因此理想信道條件下的系統(tǒng)總特性為

(7.70)前面已講過(guò)，在加性高斯白噪聲的條件下，為使輸出信噪比最大，必須采用匹配濾波器接收，因此有：

(7.71)

若令k=1，則

(7.72)

由式(7.72)可得:

(7.73)由于滿(mǎn)足式(7.73)的相位是可以任意選擇的，因此只要選擇合適，可以使

(7.74)

將式(7.74)代入式(7.70)可得:

(7.75)

可見(jiàn)在理想信道下，最佳基帶系統(tǒng)滿(mǎn)足,

即為收發(fā)等分的系統(tǒng)，這簡(jiǎn)化了基帶系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。這樣的H(ω)當(dāng)然應(yīng)首先滿(mǎn)足無(wú)串?dāng)_的條件。例如，對(duì)常采用的升余弦譜特性，可以用收發(fā)均為余弦譜特性來(lái)完成最佳設(shè)計(jì)，這時(shí)有：

(7.76)

因此有。7.5.2非理想信道下的最佳接收

設(shè)H(ω)=GT(ω)GC(ω)GR(ω)，滿(mǎn)足無(wú)串?dāng)_特性Heq(ω):

(7.77)

式中，k是濾波器的階次，H(k)(ω)是H(ω)按2π/T所劃分的各段，即

(7.78)由于H(ω)由式(7.77)決定，所以接收濾波器的輸出波形是一定的。在給定輸入信號(hào)功率的情況下，要使接收濾波器輸

出最大信噪比，必須使接收濾波器的輸出噪聲最小。設(shè)信道

中存在著白噪聲，其功率譜密度為n0/2，則輸出噪聲的平均功率σ2為

(7.79)式中，GR(k)(ω)受式(7.77)的約束。適當(dāng)設(shè)計(jì)GR(ω)以使σ2最小，則要使式(7.79)對(duì)GR(k)(ω)求導(dǎo)，找出使dσ2/dGR(k)(ω)=0的值。用變分法求泛函值得到:

(7.80)

式中:

(7.81)由式(7.81)可以看出，非理想信道下的最佳接收濾波器特性由兩部分構(gòu)成：一部分為［GT(k)(ω)GC(k)(ω)］*，是接收端輸入信號(hào)的匹配濾波器；另一部分為T(mén)(ω)，是與發(fā)送濾波器、信道特性有關(guān)的均衡器，用它來(lái)保證消除碼間串?dāng)_。這樣的系統(tǒng)可以達(dá)到最佳性能。此系統(tǒng)如圖7.20所示。圖7.20非理想信道下的最佳接收系統(tǒng)從式(7.81)中可以看到，T(ω)與GR(k)(ω)無(wú)關(guān)，不管在GR(ω)的哪一段上，T(ω)都是相同的，所以它是一個(gè)周期函數(shù)，周期為2π/T。T(ω)可展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，即

(7.82)

T(ω)的沖激響應(yīng)hr(t)為

(7.83)

hr(t)是一系列間隔為T(mén)的δ(·)函數(shù)之和，而加權(quán)系數(shù)cn是T(ω)展開(kāi)式的傅立葉系數(shù)。從式(7.83)中可看出，hr(t)可以用(2N+1)個(gè)抽頭的橫向?yàn)V波器來(lái)逼近，而抽頭的增益加權(quán)系數(shù)為cn，如圖7.21所示。當(dāng)然，N的取值越大，濾波器的節(jié)數(shù)越多，逼近性能越好。圖7.21

T(ω)(橫向?yàn)V波器)的實(shí)現(xiàn)原理圖

7.6基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

7.6.1理想系統(tǒng)的抗噪聲性能

這里的理想系統(tǒng)，是指無(wú)碼間串?dāng)_的基帶系統(tǒng)，不是最佳系統(tǒng)。在這種情況下，如果信道中無(wú)噪聲干擾，則接收端會(huì)無(wú)誤地接收信號(hào)。但實(shí)際系統(tǒng)中總存在干擾，從而會(huì)在接收端造成誤碼，如圖7.22所示。其中，圖(a)是既無(wú)碼間串?dāng)_又無(wú)噪聲影響的雙極性碼波形；圖(b)為受信道干擾后接收端的波形，在由判決電路判決時(shí)造成了誤碼，圖中誤碼用0*、1*表示。圖7.22無(wú)噪和有噪時(shí)判決電路輸入波形和判決輸出設(shè)信道中存在著白高斯噪聲，其均值為0，方差為σ2n，則噪聲的一維概率密度函數(shù)f(x)為

(7.84)

由圖7.22可知，在以下兩種情況下會(huì)發(fā)生誤碼(設(shè)信號(hào)幅度為A，最佳判決電平值為0)：

(1)發(fā)“1”碼時(shí)，若抽樣判決時(shí)刻噪聲的瞬時(shí)值x<－A，則誤判為“0”；

(2)發(fā)“0”碼時(shí)，若抽樣判決時(shí)刻噪聲的瞬時(shí)值x>+A，則誤判為“1”。假設(shè)發(fā)“1”和發(fā)“0”的概率分別為P(1)和P(0),且P(1)+P(0)=1。

發(fā)“1”碼時(shí)，誤判為“0”碼的概率為

發(fā)“0”碼時(shí)，誤判為“1”碼的概率為因而，系統(tǒng)的平均誤碼率Pe為

(7.85)由于一維概率密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以式(7.85)中的兩個(gè)積分相同，故

(7.86)

式中:r=A2/2σn2為輸入信噪比；erfc(x)=1－erf(x)為互補(bǔ)誤差函數(shù)，為誤差函數(shù)。由于互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(·)是單調(diào)減函數(shù)，所以r越大，Pe越小。

如果是單極性碼，則判決電平為A/2，這時(shí)Pe為

(7.87)

單極性碼在判決電平為d=A/2時(shí)的誤碼率關(guān)系如圖7.23所示。圖中，陰影部分為誤碼概率。圖7.23單極性碼的誤碼率關(guān)系若為雙極性碼，則判決電平為，這時(shí)Pe為

(7.88)

雙極性碼在判決電平時(shí)的誤碼率關(guān)系如圖7.24所示。圖中，Ps,－A與Ps,+A是將“1”錯(cuò)判為“0”的概率，Ps,0是將“0”錯(cuò)判為“1”的概率。

比較式(7.87)和式(7.88)可知，在信噪比r一樣的情況下，雙極性碼的誤碼率低。圖7.24雙極性碼的誤碼率關(guān)系7.6.2最佳基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

1.理想信道下最佳基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

下面先介紹無(wú)碼間串?dāng)_基帶系統(tǒng)H(ω)的一個(gè)特點(diǎn)，即

(7.89)

該結(jié)論可用基帶升余弦系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證(見(jiàn)習(xí)題7-11)。在理想信道下，，利用式(7.89)，則有:

(7.90)接下來(lái)計(jì)算最佳系統(tǒng)的誤碼率。由于誤碼率總是用接收端輸入信號(hào)的平均功率和噪聲功率之比來(lái)表示的，所以這里先討論信號(hào)平均功率的計(jì)算。設(shè)發(fā)送端序列{an}有L種電平(L進(jìn)制)，各電平間相鄰間隔為2d，各電平出現(xiàn)的概率相等，且相互獨(dú)立。令L種電平為±d,±3d,…,±(L－1)d,則這時(shí)輸入信號(hào)序列電平的均方值an2為

(7.91)設(shè)信號(hào)碼元寬度為T(mén)，波形為gT(t)(gT(t)是GT(ω)的沖激響應(yīng))，每個(gè)碼元的平均功率S為

(7.92)將代入式(7.92)得:

(7.93)

若定義碼元能量為E，則

(7.94)

或

(7.95)為了計(jì)算輸出誤碼率，應(yīng)找出輸出端判決器之前信號(hào)加噪聲后的合成信號(hào)分布密度。高斯白噪聲經(jīng)線(xiàn)性系統(tǒng)GR(ω)后仍為高斯分布，所以判決器前的噪聲仍為平穩(wěn)高斯過(guò)程，且噪聲的平均功率(方差)σ2為

(7.96)設(shè)噪聲的輸出過(guò)程為η(t)，取樣時(shí)刻瞬時(shí)值為η。在判決時(shí)刻，若|η|超過(guò)判決間隔2d的一半(即d)，就會(huì)產(chǎn)生誤碼，即誤碼概率為

(7.97)

將式(7.95)及式(7.96)代入式(7.97)得:

(7.98)由于實(shí)際系統(tǒng)判決時(shí)，在L種判決電平中，兩頭的極限電平(最高和最低兩種電平)只能在一個(gè)方向上判錯(cuò)，所以最佳系統(tǒng)真正的誤碼率Pe為

(7.99)

式中，E/n0=ST/n0為廣義輸入信噪比，E為平均碼元能量，n0為輸入白噪聲的功率譜密度。由式(7.99)可見(jiàn)，L增加時(shí)，誤碼率增加。當(dāng)L=2，即二進(jìn)制時(shí)，式(7.99)為

(7.100)

式(7.100)與式(7.87)類(lèi)似。

2.非理想信道下最佳基帶系統(tǒng)的抗噪聲性能

在非理想信道下，式(7.89)已不成立，所以式(7.99)、式(7.100)都應(yīng)修正。引入修正結(jié)論(結(jié)論證明可參考有關(guān)資料)，這時(shí)系統(tǒng)誤碼率Pe的計(jì)算僅在式(7.99)中引入一個(gè)修正因子即可，則

(7.101)

式中，β為修正因子，且有：

(7.102)7.7均衡器原理

7.7.1頻域均衡

所謂理想的不失真系統(tǒng)，是指輸出y(t)與輸入x(t)信號(hào)波形相同，僅有幅度變化及固定時(shí)延的線(xiàn)性系統(tǒng)，即滿(mǎn)足:

(7.103)

式中，K為系統(tǒng)的放大倍數(shù)，τ為系統(tǒng)的時(shí)延。對(duì)式(7.103)進(jìn)行傅立葉變換，得到:

(7.104)

由式(7.104)可得到理想系統(tǒng)的傳輸特性為

(7.105)因此，對(duì)理想系統(tǒng)來(lái)說(shuō)有:

(7.106)

或群時(shí)延特性：

理想系統(tǒng)的傳輸特性如圖7.25所示。由圖7.25可見(jiàn)，理想系統(tǒng)的幅頻特性及群時(shí)延特性是一個(gè)與頻率無(wú)關(guān)的常數(shù)，相頻特性是頻率的線(xiàn)性函數(shù)。圖7.25理想系統(tǒng)的傳輸特性7.7.2時(shí)域均衡

時(shí)域均衡器是通過(guò)橫向?yàn)V波器(或橫截濾波器)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。所謂橫向?yàn)V波器，是指具有固定延遲時(shí)間間隔、增益可調(diào)整的多抽頭濾波器。圖7.26給出了一個(gè)具有2N+1個(gè)抽頭的橫向?yàn)V波器的結(jié)構(gòu)，它是由多級(jí)抽頭延遲線(xiàn)、可變?cè)鲆骐娐泛颓蠛推鹘M成的線(xiàn)性系統(tǒng)。圖7.26橫向?yàn)V波器(或橫截濾波器)結(jié)構(gòu)圖一般來(lái)說(shuō)，橫向?yàn)V波器插在基帶系統(tǒng)的接收濾波器和判決器之間。橫向?yàn)V波器的輸入來(lái)自接收濾波器的輸出x(t)，即x(t)為被均衡的對(duì)象，其輸出y(t)為均衡結(jié)果，送至判決器進(jìn)行判決。x(t)和y(t)的波形如圖7.27所示。圖7.27橫向?yàn)V波器的輸入、輸出波形下面討論時(shí)域均衡器的原理，討論中不考慮噪聲的影響。重新寫(xiě)橫向?yàn)V波器的沖激響應(yīng)為

(7.107)

其對(duì)應(yīng)的頻譜特性T(ω)為

(7.108)

顯然，T(ω)由(2N+1)個(gè)ci確定，ci不同，T(ω)也不同。均衡器(即橫向?yàn)V波器)的輸出為

(7.109)

則在抽樣時(shí)刻t=kT+t0時(shí)，有:

(7.110)設(shè)系統(tǒng)無(wú)時(shí)延，即t0=0，則式(7.110)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

(7.111)

式(7.111)說(shuō)明，均衡器在第k個(gè)抽樣時(shí)刻上得