6.2.1排列（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)校考階段練習(xí)）下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【分析】根據(jù)排列的定義逐個選項辨析即可.【詳解】A中握手次數(shù)的計算與次序無關(guān)，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關(guān)，不是排列問題；C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，不是排列問題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D2．（2022秋·吉林長春·高二長春市第二實驗中學(xué)?？计谥校?本不同的書中選出3本分別送3位同學(xué)每人一本，不同的方法總數(shù)是（

）A．10 B．60 C．243 D．15【答案】B【分析】根據(jù)排列定義即可求解．【詳解】不同的方法總數(shù)是故選：B3．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作，則選派方案共有（

）A．60種 B．80種 C．100種 D．120種【答案】D【分析】利用排列的定義直接列式求解.【詳解】從6名員工中選出3人分別從事教育、培訓(xùn)、管理三項不同的工作，則選派方案共（種）．故選:D．4．（2022·高二課時練習(xí)）從集合中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點在x軸上的雙曲線方程？上面四個問題屬于排列問題的是（

）A．①②③④ B．②④ C．②③ D．①④【答案】B【分析】根據(jù)排列的定義，關(guān)鍵是確定選取的兩個數(shù)有無順序．【詳解】∵加法滿足交換律，∴①不是排列問題；∵除法不滿足交換律，∴②是排列問題；若方程表示焦點在x軸上的橢圓，則必有，故③不是排列問題；在雙曲線中不管還是，方程均表示焦點在x軸上的雙曲線，且是不同的雙曲線，故④是排列問題．故選：B．5．（2022秋·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）小紅，小明，小芳，張三，李四共有5名同學(xué)參加演講比賽，在安排出場順序時，小紅、小明排在一起，且小芳與小紅、小明都不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用捆綁法和插空法進行求解即可.【詳解】解：由題意得：5名同學(xué)參加演講比賽出場順序總的方法：種；將小紅小明捆在一起，然后張三李四兩個排列，再后小芳與小紅小明組插空，總的方法數(shù)有：種在安排出場順序時，小紅、小明排在一起，且小芳與小紅、小明都不相鄰的概率為故選：C6．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若一個三位正整數(shù)的十位數(shù)字比個位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個數(shù)為“傘數(shù)”，現(xiàn)從這5個數(shù)字中任取3個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”共有（

）個.A．60 B． C．20 D．【答案】C【分析】根據(jù)的“傘數(shù)”定義，十位數(shù)只能是3，4，5，然后分3類，分別求得“傘數(shù)”的個數(shù)再求和，【詳解】由題意得：十位數(shù)只能是3，4，5，當(dāng)十位數(shù)是3時，個位和百位只能是1，2，“傘數(shù)”共有個；當(dāng)十位數(shù)是4時，個位和百位只能是1，2，3，“傘數(shù)”共有個；當(dāng)十位數(shù)是5時，個位和百位只能是1，2，3，4，“傘數(shù)”共有個；所以“傘數(shù)”共有20個，故選：C.7．（2022春·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）為慶祝中國共青團成立100周年，某校計劃舉行慶?；顒樱灿?個節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個，則節(jié)目安排的方法數(shù)為（

）A．9 B．18 C．24 D．27【答案】B【分析】由于A節(jié)目有特殊要求，所以先安排A節(jié)目，再安排其它的節(jié)目，從而即可求解.【詳解】解：由題意，先從后面3個節(jié)目中選擇一個安排A節(jié)目，然后其它3個節(jié)目任意排在剩下的3個位置，共有種方法，故選：B.二、填空題8．（2023·高二課時練習(xí)）給出下列問題：①有10位同學(xué)，每兩人互通一次電話，共通了多少次電話？②有10位同學(xué)，每兩人互寫一封信，共寫了多少封信？③有10位同學(xué)，每兩人互握一次手，共握了多少次手？以上問題中，屬于排列問題的是______．（寫出所有滿足要求的問題序號）【答案】②【分析】根據(jù)排列的定義判斷即可【詳解】對于①，假設(shè)10位同學(xué)中含甲乙，甲與乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題；對于②，假設(shè)10位同學(xué)中含甲乙，甲給乙寫一封信，跟乙給甲寫一封信，是不一樣的，是有順序區(qū)別的，故屬于排列問題；對于③，假設(shè)10位同學(xué)中含甲乙，甲與乙握一次手，也就是乙與甲握一次手，沒有順序區(qū)別，故不是排列問題，故答案為：②9．（2023·高二課時練習(xí)）若，且，則用排列記號可表示為______．【答案】【分析】利用排列數(shù)的定義直接表示.【詳解】由排列數(shù)的定義，.故答案為：10．（2022秋·廣東廣州·高二廣州市天河中學(xué)?？计谥校?本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是______．【答案】24【分析】直接根據(jù)排列數(shù)的意義求解即可【詳解】由題意，不同的送法種數(shù)為.故答案為：2411．（2023·高二課時練習(xí)）給出下列問題：①從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相乘，可得多少個不同的積？②從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相除，可得多少個不同的商？③從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相加，可得多少個不同的和？以上問題中，屬于排列問題的是______．（寫出所有滿足要求的問題序號）【答案】②【分析】根據(jù)排列的定義，關(guān)鍵是確定選取的兩個數(shù)有無順序【詳解】對于①，從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相乘，且乘法滿足交換律，故不是排列問題;對于②，從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相除，且除法不滿足交換律，故是排列問題;對于③，從2、3、5、7、11中任取兩數(shù)相加，且加法滿足交換律，故不是排列問題;故答案為：②12．（2023·高二課時練習(xí)）計算：______．【答案】【分析】由階乘及排列數(shù)定義可得答案.【詳解】，則.故答案為：.13．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）冬奧會首金誕生于短道速滑男女混合接力賽，賽后4位運動員依次接受采訪，曲春雨要求不第1個接受采訪，武大靖在任子威后接受采訪（可以不相鄰），則采訪安排方式有__________種．【答案】9【分析】先考慮曲春雨，再結(jié)合倍縮法解決定序問題考慮剩下的3位選手，最后由分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】先考慮曲春雨，有3種采訪安排，再考慮剩下的3位選手，武大靖在任子威后，有種，按照分步計數(shù)原理共有種.故答案為：9.三、解答題14．（2023·高二課時練習(xí)）從甲、乙、丙三名學(xué)生中任意安排2名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、外語兩個課外小組的活動，共有多少種不同的安排方案？請畫出相應(yīng)的樹狀圖，并解答．【答案】共6種安排方案，樹狀圖見解析【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖即可求解【詳解】樹狀圖如圖所示，由樹狀圖可知，共有6種不同的安排方案15．（2022秋·山西呂梁·高二?？茧A段練習(xí)）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，求滿足下列條件的數(shù)各有多少個．(1)六位奇數(shù)；(2)能被5整除的四位數(shù).【答案】(1)288(2)108【分析】先排個位，再排首位，最后排中間四位.【詳解】（1）先排個位，個位數(shù)字只能從1，3，5中選，有3種方法；再排首位，首位不能為0，故還有4個數(shù)字可選，有4種方法；最后排中間四位，沒有其他附加條件，排列數(shù)為.由分步乘法計數(shù)原理，知共有不同的排法種數(shù)為.（2）能被5整除，個位只能是0或5，個位是0時，沒有其他附加條件，其他三個數(shù)位的排法有種；個位是5時，首位排法有4種，再排十位與百位，有種，所以個位是5的排法有種.由分類加法計數(shù)原理知共有種排法.16．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排．(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？【答案】(1)5040(2)4320(3)21600(4)20160(5)14400(6)2880【分析】（1）分兩步，先考慮甲必須站在排頭的特殊要求，用特殊元素優(yōu)先法可解；（2）女生必須排在一起，用捆綁法求解；（3）甲、乙兩人不能排在兩端，用插空法求解；（4）甲在乙的左邊，可采用倍縮法求解；（5）甲、乙不能排在前3位，用特殊元素或特殊位置優(yōu)先法可解；（6）女生兩旁必須有男生，用插空法求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，甲必須站在排頭，有1種情況，將剩下的7人全排列，有種情況，則甲必須站在排頭有種排法；（2）根據(jù)題意，先將3名女生看成一個整體，考慮三人之間的順序，有種情況，將這個整體與5名男生全排列，有種情況，則女生必須排在一起的排法有種；（3）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在中間6個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，則甲、乙兩人不能排在兩端有種排法；（4）根據(jù)題意，將8人全排列，有種情況，其中甲在乙的左邊與甲在乙的右邊的情況數(shù)目相同，則甲在乙的左邊有種不同的排法；（5）根據(jù)題意，將甲、乙兩人安排在后面的5個位置，有種情況，將剩下的6人全排列，有種情況，甲、乙不能排在前3位，有種不同排法；（6）根據(jù)題意，將5名男生全排列，有種情況，排好后除去2端有4個空位可選，在4個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，則女生兩旁必須有男生，有種不同排法．【能力提升】一、單選題1．（2022秋·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）將詩集《詩經(jīng)》、《唐詩三百首》，戲劇《牡丹亭》，四大名著《紅樓夢》、《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》7本書放在一排，下面結(jié)論成立的是（

）A．戲劇放在中間的不同放法有種 B．詩集相鄰的不同放法有種C．四大名著互不相鄰的不同放法有種 D．四大名著不放在兩端的不同放法有種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計數(shù)后進行判斷即可.【詳解】選項A：戲曲書只有一本，所以其余6本書可以全排列，共有6!種不同排列方法；選項：詩集共2本，把詩集當(dāng)成一本，不同方法有6!種，這兩本又可交換位置，所以不同放法總數(shù)為；選項C：四大名著互不相鄰，那只能在這四本書的3個空隙中放置其他書，共有3!種放法，這四本書又可以全排列，所以不同放法總數(shù)為；選項D：四大名著可以在第2至第6這5個位置上任選4個位置放置，共有種放法，這四本書放好后，其余3本書可以在剩下的3個位置上全排列，所以共有不同放法總數(shù)為故選：C.2．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶．如圖所示的弦圖由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成．現(xiàn)用5種不同的顏色對這四個直角三角形和一個正方形區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（

）A．180 B．192 C．300 D．420【答案】D【分析】將五個區(qū)域表示為①②③④⑤，先考慮區(qū)域①②③，再分情況考慮區(qū)域④⑤，由分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】如圖，將五個區(qū)域表示為①②③④⑤，對于區(qū)域①②③，三個區(qū)域兩兩相鄰，有種；對于區(qū)域④⑤，若①與⑤顏色相同，則④有3種情況，若①與⑤顏色不同，則⑤有2種情況，④有2種情況，此時區(qū)域④⑤的情況有種情況；則一共有種情況故選：D．3．（2022秋·安徽安慶·高二安徽省懷寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國古代“五行”學(xué)說認為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”將這五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一排，設(shè)事件表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)均不相鄰”，則事件發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出總的排列數(shù)，再由分步乘法計數(shù)原理求得事件對應(yīng)的排列數(shù)，再由古典概型求解即可.【詳解】由題意知，五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列有種排法，事件表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)均不相鄰”可看作五個位置排列五個元素，第一位置有五種排列方法，不妨假設(shè)是金，則第二步只能從土與水兩者中選一種排放，有兩種選擇，不妨假設(shè)排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，∴總的排列方法種數(shù)為，∴事件發(fā)生的概率為.故選：B．4．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．為傳承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校國學(xué)社團開展“六藝”講座活動，每藝安排一次講座，共講六次．講座次序要求“禮”在第一次，“數(shù)”不在最后，“射”和“御”兩次相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．48種 B．36種 C．24種 D．20種【答案】B【分析】由題意，將“射”和“御”捆綁看作一個元素與“樂”和“書”進行全排列，再將“射”和“御”交換位置，最后安排“數(shù)”，根據(jù)分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】解：因為“禮”在第一次，所以只需安排后面五次講座的次序即可，又“數(shù)”不在最后，“射”和“御”兩次相鄰，所以先將“射”和“御”捆綁看作一個元素與“樂”和“書”進行全排列有種排法，再將“射”和“御”交換位置有種排法，最后安排“數(shù)”有種排法，所以根據(jù)分步計數(shù)原理共有種排法，故選：B.5．（2022秋·重慶萬州·高二?？计谥校┤猩腿境梢慌耪障啵猩着c男生乙相鄰，且三名女生中恰好有兩名女生相鄰，則不同的站法共有A．72種 B．108種 C．36種 D．144種【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用捆綁法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出結(jié)果．【詳解】解：先將男生甲與男生乙“捆綁”，有種方法，再與另一個男生排列，則有種方法，三名女生任選兩名“捆綁”，有種方法，再將兩組女生插空，插入男生3個空位中，則有種方法，利用分步乘法原理，共有種.故選：D．【點睛】本題考查乘法原理的運用和排列知識，還運用了捆綁法和插空法解決相鄰和不相鄰問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力．6．（2021·高二課時練習(xí)）如果一個位十進制數(shù)…的數(shù)位上的數(shù)字滿足“小大小大…小大”的順序，即滿足：，我們稱這種數(shù)為“波浪數(shù)”.從1,2,3,4,5組成的數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)中任取一個五位數(shù)，這個數(shù)為“波浪數(shù)”的概率是A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，分析可得在“波浪數(shù)”中，十位數(shù)字，千位數(shù)中必有一個是，另一數(shù)是或，另一數(shù)是時，將與放在千位、十位上，有種情況，剩余的放在其余三個數(shù)位上，有種情況，則此時的“波浪數(shù)”有個；另一數(shù)時，必須相鄰，有四個“波浪數(shù)”，則由可構(gòu)成數(shù)字不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”個數(shù)為，所以構(gòu)成的“波浪數(shù)”的概率為，故選A．二、多選題7．（2022·高二課時練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（

）A．若甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊，則不同的排法有24種B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法有42種C．甲、乙不相鄰的排法有82種D．甲、乙、丙按從左到右的順序排列的排法有20種【答案】ABD【分析】利用捆綁法可判斷A；分別算出甲在最左端時以及乙在最左端時的排法數(shù)，可判斷B;用插空法可判斷C；先從5個位置中選2個位置安排丁、戊兩人，再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個位置中，計算排法數(shù)，可判斷D.【詳解】對于A，甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,把甲、乙看作一個人，兩人只有一種排法，然后與其他人全排列，排法共有（種），A正確；對于B，甲在最左端時，排法有（種），乙在最左端時，排法有（種），排法共有（種），B正確；對于C，先排除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排進三人中間及兩端的4個位置中，排法共有（種），C錯誤；對于D，先從5個位置中選2個位置安排丁、戊兩人，再把甲、乙、丙按從左到右的順序排在剩下的3個位置中，排法共有（種），D正確．故選：ABD．三、填空題8．（2022秋·重慶萬州·高二?？计谥校┢呙麑W(xué)生站成一排，其中甲不站在兩端且乙不站在中間的排法共有___________種.【答案】3120【分析】分甲站在中間和甲不站在中間考慮，按照分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理計算即可.【詳解】若甲站在中間，則乙有6種站法，其余5人有種站法，共有種；若甲不站在中間，有4種不同的站法，則乙有5種站法，其余5人有種站法，共有種；按照分類計數(shù)原理可得共有種.故答案為：3120.9．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字排成一排，滿足相鄰兩項以及頭尾兩項的差均不大于2，則這樣的排列方式共有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)題意可將該排列問題看成一個圓環(huán)上有1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字使其滿足題意要求進行擺放，有兩種情形，然后再將此圓環(huán)分別從某一個數(shù)字處剪開排成一列，一個作為頭一個作為尾，由此即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可將該排列問題看成一個圓環(huán)上有1，2，3，4，5，6，7，8八個數(shù)字使其滿足題意要求進行擺放，有兩種情形，如下圖所示:然后再將此圓環(huán)分別從某一個數(shù)字處剪開排成一列，一個作為頭一個作為尾，則每一個圓環(huán)有8種剪開方式情況，故滿足題意的有種.故答案為：.10．（2022·全國·高二假期作業(yè)）我們想把9張寫著1~9的卡片放入三個不同盒子中，滿足每個盒子中都有3張卡片，且存在兩個盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有___________種.【答案】198【分析】首先列出至少有兩個卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)存在的這兩個盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為．當(dāng)時，共有1種情況，即；當(dāng)時，共有3種情況，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；當(dāng)時，共有5種情況，即，，，，；當(dāng)時，共有7種情況，即，，，，，，；當(dāng)時，共有2種情況，即，；當(dāng)時，共有7種情況，即，，，，，，；當(dāng)時，共有5種情況，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；當(dāng)時，共有2種情況，即，；當(dāng)x＝19時，共有1種情況，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；綜上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋2＋1＝33(種)情況，∴不同的放法共有：種．故答案為：198．四、解答題11．（2022·高二課時練習(xí)）用0、1、2、3四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個數(shù)列，1230是這個數(shù)列的第幾項？(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個？它們各個數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？它們的和是多少？【答案】(1)35(2)10；60；21768【分析】（1）利用分步乘法計數(shù)原理討論1位自然數(shù)、2位自然數(shù)、3位自然數(shù)、4位自然數(shù)的情況即可.（2）利用分步乘法和分類加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】（1）1位自然數(shù)有個；2位自然數(shù)有個；3位自然數(shù)有個；4位自然數(shù)中小于1230的有“10XX”型個，1203共3個；所以1230是此數(shù)列的第項.（2）四位數(shù)偶數(shù)有個位是0和個位是2兩種情況，其中個位是0有種；個位不是0有種.所以四位偶數(shù)共有10個.它們各個數(shù)位上的數(shù)字之和為；這10個偶數(shù)中，個位是2的有4個；當(dāng)個位是0時由得十位、百位、千位是1，2，3的各有兩種；當(dāng)個位不是0時，由得千位是1，3的個兩種，百位、十位是1，3的各1種；所以它們的和為12．（2022秋·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端(2)甲?乙必須相鄰；(3)甲?乙不相鄰；(4)甲?乙之間間隔兩人；【答案】(1)種(2)種(3)種(4)種【分析】（1）在中間的4個位中選一個，排上甲，其余的人任意排可得答案；（2）把甲乙看成一個整體，這樣6個人變成了5個人，全排列可得答案；（3）先把甲乙二人單獨挑出來，把其余的4個人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5個空中排列可得答案；（4）先把甲乙排好，再從其余的4人中選出2人放到甲乙中間，先把排好的這4個人看做一個整體，再與其他的2個人進行排列，根據(jù)分步計數(shù)原理，求得甲乙之間間隔兩人的排法即可.(1)現(xiàn)在中間的4個位中選一個，排上甲