第10講物不知數(shù)與同余五年級秋季第10講物不知數(shù)與同余五年級秋季知識點知識點物不知數(shù)與同余（五上）總結總結本講主要是在已知某數(shù)除以一些數(shù)的余數(shù)，反求原數(shù)的問題。在解決問題中，枚舉和字母表示的綜合應用，更能簡化問題。課堂例題課堂例題物不知數(shù)1、（1）一個數(shù)除以21余17，除以20也余17．這個數(shù)最小是多少？第二小是多少？（2）一個數(shù)除以11余7，除以10余6．這個數(shù)最小是多少？第二小是多少？【答案】

（1）17，437（2）106，216【解析】

（1）這是一道余同的問題．這個數(shù)最小是17，第二小是．（2）這是一道缺同的問題．這個自然數(shù)加上4即可被11和10整除，，因此這個數(shù)最小為．第二小是．2、（1）一個三位數(shù)除以8余3，除以12也余3．這個三位數(shù)最小是多少？（2）一個三位數(shù)除以6余1，除以10余5．這個三位數(shù)最小是多少？【答案】

（1）123（2）115【解析】

（1）這是一道余同的問題．滿足條件的數(shù)可表示為，其中n為自然數(shù)．要求滿足條件的最小三位數(shù)，應令n為5，即．（2）這是一道缺同的問題．滿足條件的數(shù)可表示為，其中n為自然數(shù)．要求滿足條件的最小三位數(shù)，應令n為4，即．3、（1）一個數(shù)除以7余2，除以11余1．這個數(shù)最小是多少？（2）有一隊解放軍戰(zhàn)士，人數(shù)在150人到200人之間，從第一個開始依次按1、2、3、…、9的順序報數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報的數(shù)是3；如果按1、2、3、…、7的順序報數(shù)，最后一名戰(zhàn)士報的數(shù)是4．請問：一共有多少名戰(zhàn)士？【答案】

（1）23（2）165【解析】

（1）采用逐步滿足條件法．滿足第二個條件的數(shù)為1、12、23、……，發(fā)現(xiàn)23同時滿足第一個條件，因此這個數(shù)最小是23．（2）戰(zhàn)士的人數(shù)除以9余3，除以7余4，滿足這兩個條件最小的數(shù)是39，不斷加63，直到滿足限制條件，最后得到165．4、100多名小朋友站成一列．從第一人開始依次按1，2，3，，11的順序循環(huán)報數(shù)，最后一名同學報的數(shù)是9；如果按1，2，3，，13的順序循環(huán)報數(shù)，那么最后一名同學報的數(shù)是11．請問：一共有多少名小朋友？【答案】

141【解析】

根據(jù)題意，小朋友的數(shù)目除以11余9，處于13余11，這個數(shù)加上2后正好能被11和13整除，這個數(shù)最小是，又知小朋友有100多名，因此只能是141名．5、劉叔叔養(yǎng)了400多只兔子．如果每3只兔子關在一個籠子里，那么最后一個籠子里有2只；如果每5只兔子關在一個籠子里，那么最后一個籠子里有4只；如果每7只兔子關在一個籠子里，那么最后一個籠子里有5只．請問：劉叔叔一共養(yǎng)了多少只兔子？【答案】

404只【解析】

除以7余5的數(shù)有5，12，19，26，，其中第一個除以5余4的數(shù)是19，5和7的最小公倍數(shù)是35，這樣所有滿足除以7余5，除以5余4的數(shù)是19，，，…，第一個除以3余2的數(shù)是．3、5和7的最小公倍數(shù)是105，所以除以3余2，除以5余4，除以7余5的數(shù)有89，，，，……，其中滿足“400多只”的是404，所以一共有404只兔子．6、（1）一個自然數(shù)除以5余1，除以6也余1．這個數(shù)除以30的余數(shù)是多少？（2）一個自然數(shù)除以3余1，除以7余5．這個數(shù)除以21的余數(shù)是多少？（3）一個自然數(shù)除以3余1，除以5余2，這個數(shù)除以15的余數(shù)是多少？【答案】

（1）1（2）19（3）7【解析】

（1）這是一道余同的問題．滿足條件的數(shù)可表示為，其中n為自然數(shù)．這個數(shù)除以30的余數(shù)，其中能整除30，所以只用看1除以30的余數(shù)．，所以這個數(shù)除以30的余數(shù)是1．（2）這是一道補同的問題．滿足條件的數(shù)可表示為，其中n為自然數(shù)．這個數(shù)除以21的余數(shù)，其中能整除21，所以只用看后面除以21的余數(shù)．，，所以這個數(shù)除以21的余數(shù)是19．（3）使用逐步滿足條件法，滿足第二個條件的數(shù)依次為2、7、12、17、……，而7除以3余1，那么同時滿足兩個條件的數(shù)可表示為．這個數(shù)除以15的余數(shù)，其中能整除15，所以這個數(shù)除以15的余數(shù)是7．7、除以45的余數(shù)是多少？【答案】

33【解析】

設，，a除以5余3，除以9余6．除以5余3且除以9余6的數(shù)最小是33，所以a可以表示為，所以這個數(shù)除以45的余數(shù)是33．8、（2015金帆五年級春季第1次考試B卷）一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，符合條件的最小自然數(shù)數(shù)為_________．【答案】

299【解析】

一個數(shù)除以11余2，則這個數(shù)可以表示為．又因為它除以8余3，所以除以8余3，滿足條件的數(shù)最小是，這樣的數(shù)表示為．又因為它除以5余4，所以除以5余3，這樣的數(shù)最小是．9、有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們從小到大依次是5、7、9的倍數(shù)．這三個連續(xù)的自然數(shù)最小是多少？【答案】

160【解析】

設最小的自然數(shù)為a，則a能被5整除，能被7整除，能被9整除．所以a除以5余0，除以7余6，除以9余7．使用逐步滿足條件法，滿足第三個條件的數(shù)依次為7、16、25、34、……，而34除以7余6，那么同時滿足這兩個條件的數(shù)可表示為．同時滿足第二個、第三個條件的數(shù)依次為34、97、160、……，而160除以5余0．所以滿足條件的最小的數(shù)是160．10、一個自然數(shù)被7、8、9除的余數(shù)分別是1、2、3，并且得到的三個商的和是570，求這個自然數(shù)．【答案】

1506【解析】

這是一道補同的問題．這個數(shù)加上6能同時被7、8、9整除，所以這個數(shù)可以表示為．滿足余數(shù)條件的數(shù)最小是498，此時得到的三個商的和是．，所以當n取3時，滿足條件，即這個自然數(shù)是．經(jīng)驗證，此時得到的三個商的和是570，符合題意．11、如圖，在一個圓周上有100多個孔．小明像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)，沿著逆時針方向，每隔幾個孔跳一步，希望一圈以后能跳回A孔．他先試著每隔2個孔跳一步，結果只能跳到B孔．他又試著每隔4個孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6個孔挑一步，正好回到A孔．那么這個圓圈上至少有________個孔．【答案】

196【解析】

每隔2個孔跳一步，結果跳到B孔，則一個圓圈上的孔數(shù)除以3余1；同理除以5余1；除以7余0，即被7整除．滿足條件的孔數(shù)，從小到大一次是91，196，…，所以圓圈上有196個孔．同余12、1024除以一個兩位數(shù)，余數(shù)為23，那么這個兩位數(shù)可能是多少？【答案】

77、91【解析】

，可知除數(shù)是1001的約數(shù)．其中大于23的兩位數(shù)有77和91．13、100和84除以同一個數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0．這個除數(shù)可能是__________．【答案】

8或16【解析】

由于100和84除以同一個數(shù)的余數(shù)相同，所以它們的差是這個除數(shù)的倍數(shù)，16的約數(shù)有1，2，4，8，16．所以這個除數(shù)只能是這5個數(shù)之一，我們來一一驗算看哪些數(shù)滿足要求，由于100是1，2，4的倍數(shù)，所以它除以1，2，4的時候余數(shù)是0，即除數(shù)不能是1，2，4．當除數(shù)是8時，100和84除以8的余數(shù)都是4，滿足要求．當除數(shù)是16時，100和84除以16的余數(shù)都是4，也滿足要求．所求的除數(shù)可以是8或者16．14、把63個蘋果，90個桔子，130個梨平均分給一些同學，最后一共剩下25個水果沒有分出去．請問：剩下個數(shù)最多的水果剩下多少個？【答案】

20【解析】

三種水果一共個，剩下25個，所以分出水果個，從而258是人數(shù)的倍數(shù)．，258的約數(shù)有1，2，3，6，43，86，129和258．因為一共剩下25個水果，所以人數(shù)一定不大于63，不然光蘋果就會剩下63個；另外人數(shù)不能小于10個，否則每種水果最多只能剩下8個，三種水果最多只能剩下24個，不足25個；因此人數(shù)只能是43個．分完后蘋果剩20個，桔子剩4個，梨剩1個；最多的是蘋果，剩20個．15、用61和90分別除以某一個數(shù)，除完后發(fā)現(xiàn)兩次除法都除不盡，而且前一次所得的余數(shù)是后一次的2倍．如果這個數(shù)大于1，那么這個數(shù)是多少？【答案】

17【解析】

用180除以這個數(shù)，得到的余數(shù)是90除以這個數(shù)的余數(shù)的2倍，所以這個除數(shù)整除．，它大于1的約數(shù)有7、17和119．如果除數(shù)是7，，5不是2的倍數(shù)，不符合題意；如果除數(shù)是17，、，符合題意．如果除數(shù)是119，90不是61的倍數(shù)，不符合題意，所以這個數(shù)是17．思考題16、一個不超過200的自然數(shù)，如果用四進制表示，那么它的數(shù)字和是5；如果用六進制表示，那么它的數(shù)字和是8；如果用八進制表示，那么它的數(shù)字和是9．如果用十進制表示，這個數(shù)是多少？【答案】

23【解析】

根據(jù)結論：“在n進制中，一個自然數(shù)與它的數(shù)字和模同余”，所以這個數(shù)，利用物不知數(shù)可以求出符合的答案為23、128、233、……，符合“不超過200”的只有23和128，經(jīng)檢驗，，，只有23符合．17、（2012高思杯六年級）北京市決定對某條公路進行整修，這條公路的長度不超過4000米．有甲、乙、丙三個施工隊，分別負責人行道、非機動車道和機動車道．它們于某天0點同時開工，每天24小時連續(xù)施工．若干天后的0點，甲完成任務；幾天后的18點，乙完成任務；又過了幾天的8點，丙完成任務，已知三個施工隊每天完成的施工任務分別是200米、160米和120米，那么這段路的長度是__________米．【答案】

2200【解析】

甲干了整數(shù)天，乙最后18小時完成，丙最后8小時完成．設全長s米，則，解得．

隨堂練習隨堂練習1、一個自然數(shù)除以4余3，除以5也余3，這個自然數(shù)最小是多少？【答案】

3【解析】

余數(shù)相同，被除數(shù)最小就是余數(shù)．2、一個自然數(shù)除以5余1，除以7余3，這個自然數(shù)最小是多少？【答案】

31【解析】

都差4，所以找5、7的最小公倍數(shù)35，再減去4．3、一個三位數(shù)除以4余3，除以6也余3．這個三位數(shù)最大是多少？【答案】

999【解析】

這是一道余同的問題．滿足條件的數(shù)可表示為，其中n為自然數(shù)．要求滿足條件的最大三位數(shù)，應令n為83，即．4、一個三位數(shù)除以5余2，除以7余3．這個三位數(shù)最小是多少？【答案】

122【解析】

使用逐步滿足條件法，滿足第一個條件的數(shù)依次為2、7、12、17，而17除以7余3，那么同時滿足兩個條件的數(shù)最小是17．然后依次為52、87、122．最小的三位數(shù)是122．5、（1）用150除以一個整數(shù)，所得余數(shù)是15，請問：這個除數(shù)可能是多少？（2）80和56除以同一個數(shù)，得到的余數(shù)相同，但余數(shù)不為0．這個除數(shù)可能是多少？【答案】

（1）27、45、135（2）24、12、6、3【解析】

（1），除數(shù)是135的約數(shù)．其中大于15的有135、45和27．（2），除數(shù)是24的約數(shù)，可能是1、2、3、4、6、8、12和24．但要滿足余數(shù)不為0，除數(shù)只能是3、6、12和24．課后作業(yè)課后作業(yè)1、在小于50的數(shù)中，與67除以11同余的數(shù)最小是_________，最大是__________．【答案】

1，45【解析】

67除以11的余數(shù)是1，那么小于50的數(shù)中，除以11余1最小的是1，最大的是45．2、（2014年金帆五升六）甲、乙兩個三位數(shù)的乘積是一個五位數(shù)，這個五位數(shù)的后四位數(shù)字為1031，如果甲數(shù)的數(shù)字和為10，乙數(shù)的數(shù)字和為8．那么甲、乙兩數(shù)之和為__________．【答案】

360【解析】

設五位數(shù)為，則，．，甲乙之和為．3、一個自然數(shù)除以7余3，除以27余5，這個自然數(shù)最小是_________．【答案】

59【解析】

使用逐步滿足條件法，滿足第二個條件的數(shù)依次為5、32、59、……，而59除以7余3，那么同時滿足這兩個條件的數(shù)最小是59．4、2025除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是75，這個兩位數(shù)是_________．【答案】

78【解析】

，這個兩位數(shù)是1950大于75的因數(shù)，滿足條件的是78．5、1986和2011這兩個數(shù)除以同一個兩位數(shù)，得到相同的余數(shù)．這個兩位數(shù)是_________．【答案】

25【解析】

1986和2011這兩個數(shù)的差可以整除這個兩位數(shù)．，25的兩位數(shù)因數(shù)只有25，即這個兩位數(shù)是25．6、韓信點兵：有兵四五百，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余四，九九數(shù)之余五．那么這隊兵有__________人．【答案】

473【解析】

這個數(shù)400~500間，除以5余3，除以7余4，除以9余5．滿足除以9余5這個數(shù)可表示為．同時滿足除以7余4，則最小取3，．所以同時滿足第二、三個條件的數(shù)可以表示為．滿足第一個條件最小取2，，同時滿足第一、二、三個條件的數(shù)表示為．又因為這個數(shù)在400~500間，所以，這個數(shù)是．7、21位數(shù)123456789101112131415除以45的余數(shù)是___________．【答案】

30【解析】

設這個21位數(shù)是a，則a除以5的余數(shù)是0，除以9的余數(shù)是3．滿足除以5余0，除以9余3的數(shù)最小是30．則a可表示為．所以這個數(shù)除以45的余數(shù)是30．8、語文、數(shù)學、英語作業(yè)本分別有120、140和105本，分給五年級B班的同學，每人分相同數(shù)量，且盡可能多地分作業(yè)本．分完后發(fā)現(xiàn)，共剩下69本．那么五年級B班有__________名學生．【答案】

37【解析】

設五年級B班學生a名，則，296能被a整除，且．296大于23的因為有37、74、148、296．，，，，符合題意．經(jīng)檢驗，當a取74、148、296時，都不符合題意．所以五年級B班有37名學生．9、已知自然數(shù)a除1234和5678所得的余數(shù)相同，自然數(shù)b除4321和8765所得的余數(shù)相同，又知道，，a是__________．【答案】

101【解析】

，，所以a、b是4444的因數(shù)．，當，時，滿足條