南寧數學高考試卷真題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.已知\(i\)為虛數單位，\((1+i)(2-i)=(\)\)A.\(3+i\)B.\(1+3i\)C.\(3-i\)D.\(1-3i\)3.函數\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\(R\)4.等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d=(\)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m=(\)\)A.\(6\)B.\(-6\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(-\frac{3}{2}\)6.函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)7.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\(z=2x+y\)的最大值為（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(6\)8.雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1\)的漸近線方程為（）A.\(y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x\)B.\(y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}x\)C.\(y=\pm\frac{5}{4}x\)D.\(y=\pm\frac{4}{5}x\)9.若\(a=\log_32\)，\(b=\log_52\)，\(c=\log_23\)，則（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(b\gta\gtc\)C.\(c\gtb\gta\)D.\(c\gta\gtb\)10.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個數字中任取\(3\)個不同的數字組成一個三位數，則這個三位數是偶數的概率為（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是偶函數（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x\)2.下列函數在\((0,+\infty)\)上單調遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)3.關于直線\(l:ax+by+c=0\)，下列說法正確的是（）A.若\(a=0\)，\(b\neq0\)，則\(l\)平行于\(x\)軸B.若\(b=0\)，\(a\neq0\)，則\(l\)平行于\(y\)軸C.斜率\(k=-\frac{a}(b\neq0)\)D.直線在\(y\)軸上的截距為\(-\frac{c}(b\neq0)\)4.一個正方體的棱長為\(2\)，則以下說法正確的是（）A.正方體的表面積為\(24\)B.正方體的體積為\(8\)C.正方體的體對角線長為\(2\sqrt{3}\)D.正方體的面對角線長為\(\sqrt{2}\)5.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為三角形三邊，以下能構成三角形的是（）A.\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)B.\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=6\)C.\(a=5\)，\(b=7\)，\(c=10\)D.\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)6.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則（）A.\(f(0)=0\)B.\(f(-1)=1\)C.當\(x\lt0\)時，\(f(x)=-x^2-2x\)D.\(f(x)\)在\(R\)上的解析式為\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\gt0\\0,&x=0\\-x^2-2x,&x\lt0\end{cases}\)7.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.離心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)D.焦點坐標為\((\pm\sqrt{5},0)\)8.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則（）A.\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)B.\(\tan\alpha=-\frac{3}{4}\)C.\(\sin2\alpha=-\frac{24}{25}\)D.\(\cos2\alpha=\frac{7}{25}\)9.以下哪些事件是隨機事件（）A.明天太陽從東方升起B(yǎng).拋一枚骰子，出現點數\(7\)C.買一張彩票中獎D.從一副撲克牌中抽出一張紅桃\(K\)10.已知數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_n=2n-1\)D.數列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數列三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內是單調遞減函數。（）4.直線\(x+y+1=0\)與直線\(x-y+1=0\)垂直。（）5.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）6.拋物線\(y^2=4x\)的焦點坐標為\((1,0)\)。（）7.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）8.等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。（）9.從\(n\)個不同元素中取出\(m\)個元素的組合數\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)。（）10.函數\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)是奇函數。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^2-4x+3\)的對稱軸、頂點坐標和單調區(qū)間。答案：對稱軸\(x=-\frac{2a}=2\)，將\(x=2\)代入得頂點坐標\((2,-1)\)。單調遞減區(qū)間\((-\infty,2)\)，單調遞增區(qū)間\((2,+\infty)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同時除以\(\cos\alpha\)，則原式\(=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.已知圓的方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)，求圓心坐標和半徑。答案：根據圓的標準方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，圓心坐標\((a,b)\)，半徑\(r\)。所以此圓的圓心坐標為\((1,-2)\)，半徑\(r=3\)。4.求等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，前\(10\)項和\(S_{10}\)。答案：由等差數列前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，將\(a_1=1\)，\(d=2\)，\(n=10\)代入得\(S_{10}=10\times1+\frac{10\times9}{2}\times2=100\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x^2}\)的奇偶性和單調性。答案：首先，定義域為\(x\neq0\)關于原點對稱，且\(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\)，所以是偶函數。在\((-\infty,0)\)上單調遞增，在\((0,+\infty)\)上單調遞減。2.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)與直線\(l_2:x+by+2=0\)平行，討論\(a\)，\(b\)應滿足的條件。答案：兩直線平行，則\(a\timesb-1\times1=0\)即\(ab=1\)，且\(a\times2-1\times1\neq0\)即\(a\neq\frac{1}{2}\)（保證不是同一條直線），此時\(b=\frac{1}{a}(a\neq\frac{1}{2})\)。3.討論在三角形中，已知兩邊\(a\)，\(b\)和其中一邊的對角\(A\)，解三角形的情況。答案：當\(A\)為銳角，若\(a\ltb\sinA\)，無解；若\(a=b\sinA\)，一解；若\(b\sinA\lta\ltb\)，兩解；若\(a\geqslantb\)，一解。當\(A\)為直角或鈍角，若\(a\leqslantb\)，無解；若\(a\gtb\)，一解。4.討論等比數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的性質，如通項公式、前\(n\)項和公式及與等差數列的區(qū)別。答案：等比數列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，前\(n\)項和公式\(S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},&q\neq1\end{cases}\)。