高中數(shù)學(xué)橢圓向量問題專項(xiàng)訓(xùn)練題一、考情分析與解題策略（一）考情概述橢圓是圓錐曲線的核心內(nèi)容，向量是工具性知識，兩者結(jié)合的問題是高考熱點(diǎn)。此類題常以選擇題、填空題或解答題形式出現(xiàn)，考查學(xué)生對橢圓性質(zhì)、向量運(yùn)算、代數(shù)化簡的綜合應(yīng)用能力。高頻考點(diǎn)包括：1.向量條件與橢圓方程求解；2.向量與橢圓離心率計算；3.向量與直線橢圓位置關(guān)系（弦長、中點(diǎn)、定點(diǎn)）；4.向量與橢圓最值范圍問題。（二）解題策略1.坐標(biāo)法：將向量條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)方程，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立求解（最基礎(chǔ)、最常用）；2.向量運(yùn)算：熟練運(yùn)用數(shù)量積（\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\cos\theta\)）、模長（\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)）、共線（\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)）等公式；3.幾何法：利用向量的幾何意義（如垂直、平行），結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)（如焦點(diǎn)三角形、頂點(diǎn)）簡化計算；4.參數(shù)法：用橢圓參數(shù)方程（\(x=a\cos\theta\),\(y=b\sin\theta\)）將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題（適用于最值范圍題）。二、分類專項(xiàng)訓(xùn)練（一）類型1：向量條件與橢圓方程求解例題1已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左右頂點(diǎn)為\(A\)、\(B\)，點(diǎn)\(P\)為橢圓上動點(diǎn)，且\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\)的最小值為\(-3\)，離心率為\(\frac{1}{2}\)，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。解答與解析：1.坐標(biāo)表示：設(shè)\(A(-a,0)\)，\(B(a,0)\)，\(P(x,y)\)，則\(\overrightarrow{PA}=(-a-x,-y)\)，\(\overrightarrow{PB}=(a-x,-y)\)；2.數(shù)量積計算：\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^2-a^2+y^2\)；3.消元化簡：由橢圓方程得\(y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2})\)，代入得：\[\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\frac{c^2}{a^2}x^2-c^2\quad(c=\sqrt{a^2-b^2})\]4.求最小值：因\(\frac{c^2}{a^2}>0\)，\(x^2\geq0\)，故最小值為\(-c^2=-3\)，得\(c^2=3\)；5.聯(lián)立離心率：\(e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，得\(a=2c=2\sqrt{3}\)，\(a^2=12\)；6.求\(b^2\)：\(b^2=a^2-c^2=9\)。答案：\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1\)。解題要點(diǎn)：向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；結(jié)合橢圓方程消元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；利用離心率與\(a,b,c\)的關(guān)系建立方程。（二）類型2：向量與橢圓離心率計算例題2已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左右焦點(diǎn)為\(F_1\)、\(F_2\)，點(diǎn)\(P\)為橢圓上一點(diǎn)，且\(\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}\)，\(\trianglePF_1F_2\)的面積為4，點(diǎn)\(P\)到\(x\)軸的距離為2，求離心率。解答與解析：1.向量垂直條件：\(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=0\)，得\(x^2+y^2=c^2\)；2.距離條件：\(|y|=2\)，故\(y^2=4\)，代入得\(x^2=c^2-4\)；3.聯(lián)立橢圓方程：\(\frac{c^2-4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\)，結(jié)合\(a^2=b^2+c^2\)化簡得\(b^2=2c\)；4.面積條件：\(\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}\)時，面積\(S=b^2=4\)，故\(b^2=4\)，得\(c=2\)；5.求\(a\)：\(a^2=b^2+c^2=8\)，\(a=2\sqrt{2}\)；6.離心率：\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)。答案：\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。解題要點(diǎn)：向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，得到點(diǎn)\(P\)的軌跡（以焦點(diǎn)為直徑的圓）；利用焦點(diǎn)三角形面積公式（垂直時\(S=b^2\)）；聯(lián)立方程解\(a,b,c\)的關(guān)系。（三）類型3：向量與直線橢圓位置關(guān)系（弦中點(diǎn)）例題3已知橢圓\(C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)，過點(diǎn)\(M(2,1)\)的直線\(l\)與橢圓交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，且\(M\)為\(AB\)中點(diǎn)，求直線\(l\)的方程。解答與解析：1.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)：\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，由\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\)得\(x_1+x_2=4\)，\(y_1+y_2=2\)；2.點(diǎn)差法：將\(A\)、\(B\)代入橢圓方程，相減得：\[\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{16}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{4}=0\]3.代入中點(diǎn)坐標(biāo)：\(\frac{4(x_1-x_2)}{16}+\frac{2(y_1-y_2)}{4}=0\)，化簡得斜率\(k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{2}\)；4.直線方程：由點(diǎn)斜式得\(y-1=-\frac{1}{2}(x-2)\)，即\(x+2y-4=0\)。答案：\(x+2y-4=0\)。解題要點(diǎn)：向量中點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)和（\(x_1+x_2=2x_M\)，\(y_1+y_2=2y_M\)）；點(diǎn)差法求斜率（公式：\(k=-\frac{b^2x_M}{a^2y_M}\)）；驗(yàn)證直線與橢圓相交（判別式非負(fù)）。（四）類型4：向量與橢圓最值范圍問題例題4已知橢圓\(C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，點(diǎn)\(A(1,0)\)，求\(|\overrightarrow{PA}|\)的最大值與最小值（\(P\)為橢圓上動點(diǎn)）。解答與解析：1.模長轉(zhuǎn)化：\(|\overrightarrow{PA}|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\)；2.消元化簡：由橢圓方程得\(y^2=4(1-\frac{x^2}{9})\)，代入得：\[\overrightarrow{PA}\]3.二次函數(shù)最值：對稱軸\(x=\frac{9}{5}\)（在區(qū)間內(nèi)），最小值為\(\sqrt{f(\frac{9}{5})}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\)；端點(diǎn)值：\(f(-3)=16\)，\(f(3)=4\)，最大值為\(4\)。答案：最大值4，最小值\(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)。解題要點(diǎn)：向量模長轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離；消元為二次函數(shù)，注意自變量范圍；二次函數(shù)最值（對稱軸與區(qū)間的關(guān)系）。三、綜合訓(xùn)練題1.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，點(diǎn)\(P\)為橢圓上一點(diǎn)，且\(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OF}=3\)（\(O\)為原點(diǎn)，\(F\)為右焦點(diǎn)），若點(diǎn)\(P\)到右焦點(diǎn)\(F\)的距離為2，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。2.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)，過點(diǎn)\(Q(1,1)\)的直線\(l\)與橢圓交于\(M\)、\(N\)兩點(diǎn)，且\(\overrightarrow{QM}=2\overrightarrow{QN}\)，求直線\(l\)的方程。3.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{4}+y^2=1\)，點(diǎn)\(A(0,1)\)，點(diǎn)\(B(0,-1)\)，點(diǎn)\(P\)為橢圓上的動點(diǎn)，求\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\)的取值范圍。4.已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左右焦點(diǎn)為\(F_1\)、\(F_2\)，點(diǎn)\(P\)為橢圓上一點(diǎn)，且\(\angleF_1PF_2=60^\circ\)，若\(\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=4\)，求橢圓短半軸長\(b\)。四、綜合訓(xùn)練題答案與提示1.答案：\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)提示：設(shè)\(F(c,0)\)，\(P(x,y)\)，則\(cx=3\)，\(a-ex=2\)，結(jié)合\(e=\frac{\sqrt{3}}{2}\)求解。2.答案：\(y=1\)或\(9x+25y-34=0\)提示：用參數(shù)方程設(shè)直線，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理（\(t_1=2t_2\)）求解。3.答案：\([0,3]\)提示：\(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^2+y^2-1\)，結(jié)合橢圓方程消元得\(3-