數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)§3.7導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用匯報(bào)人：第三章導(dǎo)數(shù)的綜合問題是高考的熱點(diǎn)，?？疾楹?能)成立、不等式的證明、函數(shù)的零點(diǎn)等問題，解題方法靈活，難度較大，一般以壓軸題的形式出現(xiàn).重點(diǎn)解讀例1已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex.(1)求f(x)在[－1，3]上的最值；題型一

利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2對x∈[2，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

方法二依題意，當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，2(x－2)ex＋2ax－ax2≥0恒成立，令φ(x)＝2(x－2)ex＋2ax－ax2，x∈[2，＋∞)，∴φ(x)≥0恒成立，φ'(x)＝2(x－1)ex＋2a－2ax＝2(x－1)(ex－a)，又x≥2，∴x－1>0，ex≥e2，①當(dāng)a≤e2時(shí)，φ'(x)≥0，∴φ(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)min＝φ(2)＝0，∴φ(x)≥0恒成立，故a≤e2符合題意.②當(dāng)a>e2時(shí)，令φ'(x)＝0?x＝lna，當(dāng)x∈[2，lna)時(shí)，φ'(x)<0，x∈(lna，＋∞)時(shí)，φ'(x)>0，∴φ(x)在[2，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)min＝φ(lna)<φ(2)＝0，與φ(x)≥0恒成立矛盾，∴a>e2不成立，綜上，a的取值范圍是(－∞，e2].恒(能)成立問題的解法(1)若f(x)在區(qū)間I上有最值，則①恒成立：?x∈I，f(x)>0?f(x)min>0；?x∈I，f(x)<0?f(x)max<0.②能成立：?x∈I，f(x)>0?f(x)max>0；?x∈I，f(x)<0?f(x)min<0.(2)若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為a>f(x)(或a<f(x))，則①恒成立：a>f(x)?a>f(x)max；a<f(x)?a<f(x)min.②能成立：a>f(x)?a>f(x)min；a<f(x)?a<f(x)max.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2024·河南省TOP二十名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－x－lnx.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

題型二例2

(2025·大連模擬)已知函數(shù)f(x)＝xlnx＋ax＋1(a∈R).(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

(2)當(dāng)x>1時(shí)，證明：exlnx>e(x－1).

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的解題策略(1)待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，有時(shí)對復(fù)雜的式子要進(jìn)行變形，利用導(dǎo)數(shù)研究最值即可得證.(2)若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目的.思維升華(3)對于函數(shù)中含有ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的問題，可以考慮先對ex和lnx進(jìn)行放縮，使問題簡化，簡化后再構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明.常見的放縮公式如下：①ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號；②lnx≤x－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號.思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝elnx－ax(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

題型三

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

(2)若0<a<1，求證：f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)問題有兩種常見方法，一是分離參數(shù)法，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象特征求參數(shù)的范圍或判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；二是利用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)的零點(diǎn)，主要是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值或極值的符號確定參數(shù)的范圍或零點(diǎn)的個(gè)數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練3

已知函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋1)，a∈R.(1)若f(x)在[0，1]上不單調(diào)，求a的取值范圍；函數(shù)f(x)＝ex－a(x＋1)，則f'(x)＝ex－a，∵f(x)在[0，1]上不單調(diào)，故函數(shù)f(x)在(0，1)上存在極值，∴f'(x)在(0，1)上存在變號零點(diǎn)，即ex－a＝0在(0，1)上有解，即直線y＝a與曲線y＝ex的圖象在(0，1)上有交點(diǎn)，令h(x)＝ex，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，h(x)∈(1，e)，∴a的取值范圍為(1，e).(2)當(dāng)a>0時(shí)，試討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

課時(shí)精練01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案1234(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－x2，則f'(x)＝ex－2x，令h(x)＝ex－2x，則h'(x)＝ex－2，由h'(x)＝0，得到x＝ln2，當(dāng)x∈(－∞，ln2)時(shí)，h'(x)<0，當(dāng)x∈(ln2，＋∞)，h'(x)>0，所以h(x)≥h(ln2)＝2－2ln2>0，即f'(x)>0恒成立，所以f(x)＝ex－x2在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)≥f(0)＝e0＝1，命題得證.1.答案1234

1.答案1234

1.答案1234

2.答案1234

2.答案1234

3.答案12343.

答案12343.

答案12344.

答案12344.

答案12344.

1234知識過關(guān)答案1.(2025·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2.(1)若a＝1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；1234答案當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex－x2，則f'(x)＝ex－2x，令h(x)＝ex－2x，則h'(x)＝ex－2，由h'(x)＝0，得到x＝ln2，當(dāng)x∈(－∞，ln2)時(shí)，h'(x)<0，當(dāng)x∈(ln2，＋∞)，h'(x)>0，所以h(x)≥h(ln2)＝2－2ln2>0，即f'(x)>0恒成立，所以f(x)＝ex－x2在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)≥f(0)＝e0＝1，命題得證.1234答案(2)若f(x)在(0，＋∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.1234答案

1234答案

1234答案

1234答案

1234答案3.(2025·眉山模擬)已知函數(shù)f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R).(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

1234答案(2)若存在x∈(1，＋∞)，使f(x)>－a，求a的取值范圍.

1234答案

1234答案1234答案4.(2025·曲靖模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋xcosx－2sinx.(1)求曲線y＝f(x)在x＝π處的切線方程；由題意f'(x)＝1＋cosx－xsinx－2cosx＝－xsinx－cosx＋1，則f'(π)＝2，即切線的斜率k＝2，且f(π)＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(π，0)，所以曲線y＝f(x)在x＝π處的切線方程為y＝2(x－π)，即2x－y－2π＝0.能力拓展1234答案(2)g(x)＝x2－3x＋a(a∈R)，若對任意