人教版（2024）八年級上冊14.3角的平分線第2課時

角的平分線的判定第十四章·全等三角形角的平分線的判定知識目標1.明確“角的內部到角兩邊距離相等的點一定在該角的平分線上”，能準確表述其幾何意義及符號語言。2.通過逆向思維關聯(lián)已學的“性質定理”，對比兩者的區(qū)別與聯(lián)系，形成完整的知識閉環(huán)。能力目標1.經(jīng)歷從直觀感知到嚴謹證明的過程，學會用全等三角形完成邏輯推導，培養(yǎng)步驟規(guī)范性。2.體會原命題與逆命題的關系，強化數(shù)學意識，提升分析問題時雙向思考的習慣。素質目標1.在猜想—驗證—修正的過程中滲透實證精神，拒絕主觀臆斷；通過多角度證明培養(yǎng)批判性思維。2.鼓勵嘗試非常規(guī)解法，突破定式思維局限，體驗數(shù)學的統(tǒng)一美。教學難點教學重點解析“距離”的定義，強調“內部”“兩邊”“相等”三個關鍵詞判斷一個點是否在一個角的平分線上知識講解03對應練習05情景創(chuàng)設01課堂小結07例題講解04鏈接中考06新知探索02情景導入合作探究抽象概念示范講解課堂練習課堂小結情景激趣回顧：角的平分線的性質角平分線上的點到角兩邊的距離相等.AOBPCDE應用定理需具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：證明線段相等情景導入合作探究抽象概念示范講解課堂練習課堂小結情景激趣生活中常見的軸對稱圖形剪紙

木雕情景導入合作探究抽象概念示范講解課堂練習課堂小結情景激趣生活中常見的軸對稱圖形古建筑飛檐這些圖案為何如此和諧美觀？背后是否有數(shù)學規(guī)律？情景導入合作探究抽象概念示范講解課堂練習課堂小結列舉實例如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應建于何處(在圖上標出它的位置)？

0200m分析問題，尋找對應要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應建于何處.提取數(shù)學模型情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結即求：∠AOB內是否存在一點到OA、OB的距離相等，且距離O點500m.轉化AOB0200m分析問題，尋找對應交換“角的平分線上的點到角兩邊的距離相等”這個性質的已知和結論，得到的命題還成立嗎？分組討論情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．AOBPCDE∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點P在∠AOB的平分線上（OC平分∠AOB）．你能證明這個結論是否成立嗎？分析問題，尋找對應已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D,E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線上.猜想證明情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結AOBPDE證明：作射線OP，∴點P在∠AOB的平分線上.在Rt△PDO和Rt△PEO中，（全等三角形的對應角相等）.

OP=OP（公共邊），PD=PE（已知），∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠AOP=∠BOP角的平分線的判定情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.應用所具備的條件：（1）位置關系：點在角的內部；（2）數(shù)量關系：該點到角兩邊的距離相等.AOBPCDE角的平分線的判定情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結AOBPCDE定理的作用：判斷點是否在角平分線上.書寫格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.角的平分線的判定情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結數(shù)學思想：角相等角平分線的性質定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“線段相等”之間的一種特殊關系.角平分線性質角平分線性質定理的逆定理線段相等這為今后我們證明角相等，線段相等提供了一種解題思路.角的平分線的判定情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結數(shù)學思想：角的平分線（頂點除外）可以看成到角兩邊距離相等的所有點的集合.所有到角兩邊距離相等的點組成這個角的平分線ABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4角的平分線的判定情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結三角形的內角平分線

分別畫出下列三角形三個內角的平分線，是否都相交于一點？三角形的三條角平分線相交于一點.角的平分線的判定情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結三角形的內角平分線

分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等.你能證明這個結論嗎？例題講解情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.例1A

B

C

P

N

M

D

E

F

證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.這說明三角形的三條角平分線相交于一點，這一點到三角形三邊的距離相等.例題講解情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求點O到△ABC三邊的距離和.例2MENABCPODBCAP解：過點O作ON⊥BC,

OE⊥AB,垂足分別為點N，點E

.∵兩條角平分線相交于O∴O到三邊的距離相等即

ON=OE=OM=4由題意得，

ON+OE+OM=12.例題講解情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，若OM＝4.(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.例2MENABCPODBCAP

例題講解情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結歸納總結1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質：距離面積周長條件

對照練習情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結1.如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.小區(qū)CPAOBMN對照練習情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結2.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距離與到PF的距離相等，∴點D在∠EPF的平分線上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

對照練習情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結證明：過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.E∵點F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC.∴FG＝FM.又∵點F在∠CBD的平分線上，

FH⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFD3.如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．對照練習情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結問：到三角形三邊所在直線距離相等的點一共有幾個？解：4個P1P4P2P3三角形三個內角的平分線的交點P1；三角形一個內角與另外兩個角的外角的平分線的交點P2，P3，P4.4.如圖，

直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路，

現(xiàn)要建一個貨物中轉站，

要求它到三條公路的距離相等，

可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.對照練習情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結5.如圖，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分線，CG是△ABC的外角∠BCE的平分線，BF，CG相交于點P.求證：(1)點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等；(2)點P在∠A的平分線上.CABDEFGPJIH證明：(1)如圖，過點P分別作PJ，PI，PH垂直于三邊AB，BC，AC所在的直線，垂足分別為J，I，H.∵BF是∠CBD的平分線，點P在BF上，∴PI=PJ.同理，PH=PI，∴PJ=PI=PH，即點P到三邊AB，BC，CA所在直線的距離相等.（2）由(1)知PH⊥AE，PJ⊥AD，且PH=PJ，得點P在∠A的平分線上.對照練習情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結6.如圖，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分別為B，E，AB=CE，AB，CE相交于點F，連接DF.求證：FD平分∠BFE.CABDEF證明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD=∠CED=90°.在△ABD和△CED中，∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠CED，AB=CE，∴△ABD≌△CED（AAS）∴BD=ED.又AB⊥CD，CE⊥AD，∴FD平分∠BFE.鏈接中考情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結（2021·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（

）A．7.5 B．8

C．15 D．無法確定

E課堂小結情境導入合作探究抽象概括課堂練習示范講解課堂小結我親歷了什么我知道了什么我會什么理解角平分線的判定定理通過逆向思維關聯(lián)已學的“角的平分線性質定理”判斷點是否在角平分線上課堂小結情境導入合作探究抽象概