§4.10解三角形及其應(yīng)用舉例01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識第二部分探究核心題型目錄01內(nèi)容索引02課時(shí)精練落實(shí)主干知識02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

測量中的幾個有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是0°≤θ<360°

方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：

術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示坡角與坡比

×√×√2.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向，燈塔B在觀察站南偏東60°方向，則燈塔A在燈塔BA.北偏東10°方向 B.北偏西10°方向C.南偏東80°方向 D.南偏西80°方向√由題可知，∠CAB＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向.3.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長度，工程技術(shù)人員已測得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為

km.

20m

1.對于立體測量問題，通常要轉(zhuǎn)化為兩類平面問題，一是豎直放置的平面，通常要解直角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.2.謹(jǐn)防兩個易誤點(diǎn)(1)注意仰角與俯角是相對水平視線而言的，是在鉛垂面上所成的角；(2)明確方位角及方向角的含義，避免因混淆概念而出錯.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

√測量距離問題題型一

√

距離問題的解題策略選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.思維升華

√

塔頂部D的仰角分別為30°和45°，在B處測得塔頂部D的仰角為15°，則雷鋒塔的高度約為A.50m B.62m C.72m D.88m題型二例2

(1)(2024·杭州模擬)雷鋒塔(如圖1)位于浙江省杭州市西湖區(qū)，是“西湖十景”之一、中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔.如圖2，某同學(xué)為測量雷鋒塔的高度CD，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在地面上點(diǎn)E處(A，C，E三點(diǎn)共線)測得建筑物頂部B，雷鋒√測量高度問題

√

高度問題的易錯點(diǎn)(1)圖形中為空間關(guān)系，極易當(dāng)作平面問題處理，從而致錯；(2)對仰角、俯角等概念理解不夠深入，從而把握不準(zhǔn)已知條件而致錯.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2024·長沙模擬)湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年(1591年)，因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測量來雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，A，C，D在同一水平面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面(如圖所示).

√

題型三

測量角度問題

(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.

角度問題的解題方法首先應(yīng)明確方向角的含義，在解應(yīng)用題時(shí)，分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn).思維升華

30°

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案12345678910題號123456答案ABBBBCDACD題號78答案100010

對一對答案12345678910

9.答案12345678910

10.答案12345678910

10.

12345678910答案√12345678910答案

12345678910答案

√12345678910答案

12345678910答案3.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于A.30° B.45° C.60° D.75°√12345678910答案

12345678910答案

√12345678910答案

12345678910答案二、多項(xiàng)選擇題5.(2024·蘭州模擬)某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生需通過建立模型、實(shí)地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動.在以下不同小組設(shè)計(jì)的初步方案中，可計(jì)算出旗桿高度的方案有A.在水平地面上任意尋找兩點(diǎn)A，B，分別測量旗桿頂端的仰角α，β，再測量A，

B兩點(diǎn)間距離B.在旗桿對面找到某建筑物(低于旗桿)，測得建筑物的高度為h，在該建筑物底

部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角α和βC.在地面上任意尋找一點(diǎn)A，測量旗桿頂端的仰角α，再測量A到旗桿底部的距離D.在旗桿的正前方A處測得旗桿頂端的仰角α，正對旗桿前行5m到達(dá)B處，再次

測量旗桿頂端的仰角β√√√12345678910答案對于C，如圖2，在Rt△ADC中，直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高DC＝ACtanα，故C正確；對于A，如果A，B兩點(diǎn)與旗桿底部不在一條直線上時(shí)，就不能測量出旗桿的高度，故A不正確；對于B，如圖1，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD＝h＋ADsinβ，故B正確；12345678910答案對于D，如圖3，在△ABD中，由正弦定理求AD，則旗桿的高CD＝ADsinα，故D正確.12345678910答案

√√√12345678910答案對于A，∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝30°＋45°＝75°，因?yàn)锽在D的正北方向，所以觀測點(diǎn)B位于A的北偏東75°方向，故A正確；對于B，在△BCD中，∠CBD＝45°，∠CDB＝

12345678910答案

三、填空題7.如圖所示，某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000米后到達(dá)S處，又測得山頂B的仰角∠DSB＝75°，則山高BC為

米.

12345678910答案100012345678910答案

12345678910答案

1012345678910答案

四、解答題9.如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20250m，速度為1000km/h，飛行員在A處先看到山頂C的俯角為18°30'，經(jīng)過150s后又在B處看到山頂C的俯角為81°.(1)求飛機(jī)在B處與山頂C的距離；(精確到1m)12345678910答案12345678910答案(2)求山頂?shù)暮０胃叨?(精確到1m)參考數(shù)據(jù)：sin18.5°≈0.32，cos18.5°≈0.95，sin62.5°≈0.89，cos62.5°≈0.46，sin81°≈0.99，cos81°≈0.16.飛機(jī)、山頂?shù)暮０胃叨炔顬锽C