§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型目錄01內(nèi)容索引02課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝

.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量，叫做把向量作正交分解.不共線λ1e1＋λ2e2互相垂直

(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)

終點(diǎn)(x2－x1，y2－y1)

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?

.x1y2－x2y1＝0

√×√×2.設(shè)平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3b等于A.(6，3) B.(－2，－6)C.(2，1) D.(7，2)2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).√

√4.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.

(1，5)

微點(diǎn)提醒2.謹(jǐn)防三個(gè)易誤點(diǎn)(1)基底{e1，e2}必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚粤阆蛄坎荒茏鳛榛字械南蛄?(2)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

√題型一平面向量基本定理的應(yīng)用

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.思維升華

√

(2)已知e1與e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且{a，b}是一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

.

題型二

√√平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

√

(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解.(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.思維升華

√

(2)在△ABC中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，1)，邊BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－3，1)，則△ABC重心的坐標(biāo)為

.

(－1，1)

題型三例3

(1)(2024·漢中模擬)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m與n共線且同向，則實(shí)數(shù)λ的值為A.2 B.4C.－2 D.－2或4√向量共線的坐標(biāo)表示∵m與n共線，∴2×(－4)－λ(2－λ)＝0，即λ2－2λ－8＝0，解得λ＝4或λ＝－2，當(dāng)λ＝4時(shí)，m＝(2，4)，n＝(－2，－4)，∴m＝－n，∴m與n反向，不符合題意；當(dāng)λ＝－2時(shí)，m＝(2，－2)，n＝(4，－4)，∴n＝2m，∴m與n同向，符合題意.(2)已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

(3，3)

平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R).思維升華

√(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

.

(2，4)

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號(hào)123456答案BCBDADABD題號(hào)781112答案CD對(duì)一對(duì)答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案12345678910111210.

答案12345678910111210.

一、單項(xiàng)選擇題1.下列各組向量中，{e1，e2}不能作為平面的一個(gè)基底的是A.e1＝(2，－1)，e2＝(1，－2) B.e1＝(4，－2)，e2＝(－2，1)C.e1＝(3，3)，e2＝(－1，1) D.e1＝(2，3)，e2＝(－1，3)123456789101112知識(shí)過關(guān)答案√對(duì)于A，C，D，因?yàn)閮上蛄坎还簿€，所以{e1，e2}能作為一個(gè)基底；對(duì)于B，因?yàn)閑1＝－2e2，所以e1∥e2，所以{e1，e2}不能作為一個(gè)基底.123456789101112答案

√123456789101112答案

√123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案二、多項(xiàng)選擇題5.(2024·武威統(tǒng)考)若e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說法正確的是A.λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B.對(duì)于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)λ，μ有無數(shù)多對(duì)C.若λ1，μ1，λ2，μ2均為實(shí)數(shù)，且向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且

只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D.若存在實(shí)數(shù)λ，μ，使λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0√√123456789101112答案由題意可知，{e1，e2}可以看成平面α內(nèi)的一個(gè)基底，根據(jù)平面向量基本定理可知，A項(xiàng)、D項(xiàng)正確，B項(xiàng)不正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，則λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2＝0，此時(shí)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ均有λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)，故C項(xiàng)不正確.123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答題9.平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；

123456789101112答案

123456789101112答案

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123456789101112答案能力拓展

√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案12.已知{