二次函數(shù)常見題型及解題策略2021/10/101常用公式或結(jié)論2021/10/1022021/10/103（5）中點(diǎn)坐標(biāo)公式2021/10/104（7）兩直線平行的結(jié)論2021/10/105（5）由特殊數(shù)據(jù)得到或猜想的結(jié)論2021/10/106(2)幾個自定義概念2021/10/107?A?B?PL第二問：最短距離問題2021/10/108?A?BL?A’?P兩點(diǎn)之間線段最短2021/10/109?A?B?P|PA-PB|最大L?A?BP?L拓展：變動的兩線段之差的最大值三角形兩邊之差小于第三邊2021/10/1010路徑最值問題（待定的點(diǎn)所在的直線就是對稱軸）（1）如圖，直線,點(diǎn)在上，分別在、上確定兩點(diǎn)、，使得之和最小。2021/10/1011路徑最值問題2021/10/1012路徑最值問題2021/10/1013鉛垂高法求面積A（x1,y1)B（x2,y2)C（x3,y3)DMNE2021/10/1014割補(bǔ)法求面積B(x2,y2)A(x1,y1)C(x3,y3)D（x3,y1)E（x2,y2)F（x2,y1)2021/10/1015AB(1,0)C(0,-2)OxyX=-1(-3,0)?P求△PBC的周長最小值2021/10/1016AB(1,0)C(0,-2)OxyX=-1(-3,0)?P2021/10/1017xO?PE?DyCA(-3,0)(0,-2)DE//AC例3：平滑定理及相似2021/10/1018ACBDL2L1平滑定理S△ABC=S△ABD2021/10/1019xO?PE?DyCA(-3,0)(0,-2)S△PED=S△CED2021/10/1020幾何模型1.最短距離——對稱（1）同側(cè)和最?。?）同側(cè)差最大2.面積的代數(shù)解法（1）平滑定理（2）割補(bǔ)法（3）鉛垂高法2021/10/1021已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0)的對稱軸為

x=-1,與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,其中A(-3,0）

、C（0，-2）

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）1.已知在對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得

△PBC的周長最?。埱蟪鳇c(diǎn)P的坐標(biāo)．

2.若點(diǎn)D是線段OC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過點(diǎn)D作

DE//PC交x軸于點(diǎn)

E,連接PD

、PE

．設(shè)CD

的長為m

，△PDE的面積為S

．求S

與m

之間的函數(shù)關(guān)系式．試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

ACxyBO（第24題圖）2021/10/1022在平面直角坐標(biāo)系中求面積的方法直接用公式、割補(bǔ)法2021/10/1023★近幾年命題分析2010年2021/10/1024★近幾年命題分析2011年2021/10/1025★近幾年命題分析2012年2021/10/1026函數(shù)的交點(diǎn)問題2021/10/1027函數(shù)的交點(diǎn)問題2021/10/1028方程法（1）設(shè)：設(shè)主動點(diǎn)的坐標(biāo)或基本線段的長度（2）表示：用含同一未知數(shù)的式子表示其他相關(guān)的數(shù)量（3）列方程或關(guān)系式2021/10/10291.求證“兩線段相等”的問題2021/10/1030２、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題2021/10/10313、求一個已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題2021/10/10324、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之到定直線的距離最大”的問題2021/10/10335.常數(shù)問題2021/10/10346.“在定直線（常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線）上是否存在一點(diǎn)，使之到兩定點(diǎn)的距離之和最小”的問題2021/10/10357.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題2021/10/10368.三角形面積的最大值問題2021/10/1037三角形面積的最大值問題2021/10/10389.“一拋物線上是否存在一點(diǎn)，使之和另外三個定點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”由于該四邊形有三個定點(diǎn)，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形（連結(jié)兩個定點(diǎn)，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需動三角形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點(diǎn)坐標(biāo)求法與7相同。2021/10/103910、“定四邊形面積的求解”問題有兩種常見解決的方案：方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和；方案（二）：過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點(diǎn)，向x軸（或y軸）作垂線，或者把該點(diǎn)與原點(diǎn)連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些三角形的面積之和（或差），或幾個基本模型的三角形面積的和（差）2021/10/1040欣賞壓軸題：2021/10/1041已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2021/10/1042解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)在拋物線y＝ax2＋bx＋c上，∴可設(shè)拋物線為y＝a（x＋1）（x－3）.又∵C(0，3)在拋物線上，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1.∴拋物線的解析式為y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3.如解圖，連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P,

則此時(shí)的點(diǎn)P，使△PAC的周長最小.設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將B(3，0)，C(0，3)代入，得：解得：.∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝－x＋3.當(dāng)x=1時(shí)，y＝2，即P的坐標(biāo)(1，2).2021/10/1043（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0).理由如下：∵拋物線的對稱軸為：x=1，∴設(shè)M(1，m).∵A(－1，0)、C(0，3)，根據(jù)勾股定理可得MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10.①若MA＝MC，則MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1.②若MA＝AC，則MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±.③若MC＝AC，則MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去.綜上可知，有符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0).2021/10/1044探究二二次函數(shù)與四邊形的結(jié)合

第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題圖41－2考向互動探究2021/10/1045第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

解

考向互動探究2021/10/1046第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動探究2021/10/1047第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題(1)圖中已知拋物線上幾個點(diǎn)？將B、C的坐標(biāo)代入求拋物線的解析式；(2)畫出四邊形POP′C，若四邊形POP′C為菱形，那么P點(diǎn)必在OC的垂直平分線上，由此能求出P點(diǎn)坐標(biāo)嗎？(3)由于△ABC的面積為定值，求四邊形ABPC的最大面積，即求△BPC的最大面積．例題分層分析解題方法點(diǎn)析求四邊形面積的函數(shù)關(guān)系式，一般是利用割補(bǔ)法把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差．考向互動探究2021/10/1048第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究四二次函數(shù)與圓的結(jié)合圖41－4考向互動探究2021/10/1049第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

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考向互動探究2021/10/1050第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動探究2021/10/1051第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動探究2021/10/1052第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題(1)已知拋物線上的哪兩個點(diǎn)？設(shè)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式是y＝a(x－4)(x＋1)，如何求出C點(diǎn)坐標(biāo)？(2)怎么求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)？(3)若直線MC與⊙P相切，如何去求證？例題分層分析解題方法點(diǎn)析用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數(shù)的最值，切線的判定等知識點(diǎn)的連接和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．考向互動探究2021/10/1053“兩個三角形相似”的問題不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破解方法是，在定三角形中，由各個頂點(diǎn)坐標(biāo)求出定三角形三邊的長度，用觀察法得出某一個角可能是特殊角，再為該角尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助于特殊角，為動點(diǎn)尋找一個直角三角形，求出動點(diǎn)坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗(yàn)證已知角的兩邊是否成比例？若成比例，則所求動點(diǎn)坐標(biāo)符合題意，否則這樣的點(diǎn)不存在。簡稱“找特角，求（動）點(diǎn)標(biāo)，再驗(yàn)證”?；蚍Q為“一找角，二求標(biāo)，三驗(yàn)證”。2021/10/1054１2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩個定點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形”的問題首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點(diǎn)為等腰三角形的頂點(diǎn)。（若某邊底，則只有一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則有三種情況）。先借助于動點(diǎn)所在圖象的解析式，表示出動點(diǎn)的坐標(biāo)（一母示），按分類的情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點(diǎn)間的距離公式，建立方程。解出此方程，即可求出動點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再借助動點(diǎn)所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出動點(diǎn)縱坐標(biāo)，注意去掉不合題意的點(diǎn)（就是不能構(gòu)成三角形這個題意）。2021/10/1055１3、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”問題這類問題，在題中的四個點(diǎn)中，至少有兩個定點(diǎn)，用動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”分別設(shè)出余下所有動點(diǎn)的坐標(biāo)（若有兩個動點(diǎn)，顯然每個動點(diǎn)應(yīng)各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點(diǎn)坐標(biāo)），任選一個已知點(diǎn)作為對角線的起點(diǎn)，列出所有可能的對角線（顯然最多有3條），此時(shí)與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了，然后運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出每一種情況兩條對角線的中點(diǎn)坐標(biāo)，由平行四邊形的判定定理可知，兩中點(diǎn)重合，其坐標(biāo)對應(yīng)相等，列出兩個方程，求解即可。2021/10/1056１3、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另外三個點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”問題進(jìn)一步有：若是否存在這樣的動點(diǎn)構(gòu)成矩形呢？先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證兩條對角線相等否？若相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。若是否存在這樣的動點(diǎn)構(gòu)成棱形呢？先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證任意一組鄰邊相等否？若相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成棱形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。若是否存在這樣的動點(diǎn)構(gòu)成正方形呢？先讓動點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，再驗(yàn)證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等，則所求動點(diǎn)能構(gòu)成正方形，否則這樣的動點(diǎn)不存在。2021/10/1057第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題探究三二次函數(shù)與相似三角形的結(jié)合圖41－3考向互動探究2021/10/1058第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題

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考向互動探究2021/10/1059第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動探究2021/10/1060第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動探究2021/10/1061第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題考向互動探究2021/10/1062第41課時(shí)┃二次函數(shù)與幾何綜合類存在性問題(1)將____________代入y＝ax2－2ax＋c，求出拋物線的解析式；(2)根據(jù)________的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式；(3)根據(jù)拋物線和直線AC的解析式如何表示出點(diǎn)P、點(diǎn)M的坐標(biāo)和PM的長？(4)由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PFC∽________，②△PFC∽________．例題分層分析考向互動探究2021/10/1063１4、“拋物線上是否存在一點(diǎn)，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系”的問題先用動點(diǎn)坐標(biāo)“一母示”的方法設(shè)出直接動點(diǎn)坐標(biāo)，分別表示（如果圖形是動圖形就只能表示出其面積）或計(jì)算（如果圖形是定圖形就計(jì)算出它的具體面積），然后由題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程，解之即可。（注意去掉不合題意的點(diǎn)），如果問題中求的是間接動點(diǎn)坐標(biāo)，那么在求出直接動點(diǎn)坐標(biāo)后，再往下繼續(xù)求解即可。2021/10/1064１5、“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成直角三角形”的問題2021/10/1065１6、“某圖象上是否存在一點(diǎn)，使之與另兩定點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形”的問題2021/10/1066１7、“題中含有兩角相等，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長度”等的問題題中含有兩角相等，則意味著應(yīng)該運(yùn)用三角形相似來解決，此時(shí)尋找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。2021/10/106718.“在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下，題中又含有某動圖形（常為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)或線段長”的問題（此為“