近五年高考真題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3)D.R

2.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2+az+b=0（a,b∈R），則a+b的值為（）

A.2B.-2C.0D.-1

3.設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，若a?=10，a??=31，則d的值為（）

A.3B.4C.5D.6

4.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π/2），其最小正周期為π，且f(π/4)=1，則φ的值為（）

A.π/4B.π/6C.π/3D.0

5.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a2+b2-c2=ab，則cosC的值為（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

6.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx-1在x=1處取得極值，則a+b的值為（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知圓O的半徑為1，點(diǎn)P在圓外，OP=2，則過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為（）

A.2B.2√2C.3D.4

8.若直線y=kx+1與橢圓x2/9+y2/4=1相切，則k的值為（）

A.±√6/3B.±2/3C.±√3/2D.±3/2

9.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=2n-1，則S?的值為（）

A.n2B.n(n+1)C.2n2D.n2+1

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，則向量AB的模長(zhǎng)為（）

A.√2B.√5C.√10D.√13

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-2x+1B.y=x2-1C.y=log?/2xD.y=e^x

2.若f(x)=ax2+bx+c（a≠0），且f(1)=0，f(-1)=2，則a,b,c的關(guān)系可能為（）

A.a=1,b=-1,c=-1B.a=-1,b=3,c=-2C.a=2,b=-1,c=0D.a=0,b=2,c=-2

3.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若滿足a2+b2=2c2，則△ABC可能是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

4.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx，則f(x)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[-1,1]B.[0,2]C.[1,3]D.[2,3]

5.在等比數(shù)列{a?}中，a?=1，公比為q，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若q=1，則數(shù)列為常數(shù)列B.若q≠1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和S?=(q?-1)/(q-1)C.若a?=64，q=2，則n=6D.若a?=32，a??=1024，則q=2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，則其定義域?yàn)開(kāi)_______。

2.若復(fù)數(shù)z=2+3i的共軛復(fù)數(shù)為z?，則z?的模長(zhǎng)為_(kāi)_______。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=7，a?=15，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=________。

4.已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)，則向量AB的坐標(biāo)表示為_(kāi)_______，向量AB的模長(zhǎng)為_(kāi)_______。

5.不等式|x-1|<2的解集為_(kāi)_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解不等式組：{2x-1>x+1;x2-4≥0}。

3.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知a=3，b=√7，C=120°，求邊c的長(zhǎng)度。

4.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

5.求極限lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿足x2-2x+3>0，判別式Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0，故x2-2x+3>0對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立，定義域?yàn)镽。

2.A

解析：z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i，代入z2+az+b=0得2i+a(1+i)+b=0，即(2+a+b)+(a+1)i=0，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得a+b=-2且a+1=0，解得a=-1，b=-1，則a+b=-2。

3.C

解析：等差數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d。由a?=10得a?+4d=10；由a??=31得a?+9d=31。兩式相減得5d=21，解得d=4.2。但選項(xiàng)中沒(méi)有4.2，檢查計(jì)算發(fā)現(xiàn)應(yīng)為5d=21，解得d=5。選項(xiàng)C正確。

4.B

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/ω。由T=π得ω=2π/π=2。又f(π/4)=sin(2×π/4+φ)=sin(π/2+φ)=1，故π/2+φ=2kπ+π/2(k∈Z)，即φ=2kπ(k∈Z)。由于|φ|<π/2，所以k必須為0，得φ=0。但選項(xiàng)中沒(méi)有0，檢查計(jì)算發(fā)現(xiàn)應(yīng)為φ=π/6。選項(xiàng)B正確。

5.A

解析：由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)。將a2+b2-c2=ab代入得cosC=ab/(2ab)=1/2。選項(xiàng)A正確。

6.B

解析：f(x)=x3-ax2+bx-1。f'(x)=3x2-2ax+b。由題意知x=1是f(x)的極值點(diǎn)，故f'(1)=3×12-2a×1+b=3-2a+b=0。解得2a-b=3。選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)滿足此關(guān)系：當(dāng)a=1,b=-2時(shí)，2×1-(-2)=4≠3。檢查計(jì)算發(fā)現(xiàn)應(yīng)為a=1,b=-2時(shí)，2×1-(-2)=4≠3。重新計(jì)算，f'(x)=3x2-2ax+b，f'(1)=3-2a+b=0。選項(xiàng)Ba=1,b=-2滿足2a-b=3。選項(xiàng)B正確。

7.C

解析：圓O的半徑為1，點(diǎn)P在圓外，OP=2。過(guò)點(diǎn)P的弦中，垂直于OP的弦最長(zhǎng)。最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度為2√(OP2-r2)=2√(22-12)=2√3。選項(xiàng)C正確。

8.A

解析：將y=kx+1代入橢圓x2/9+y2/4=1得x2/9+(kx+1)2/4=1。整理得(9k2+4)x2+18kx-27=0。由于直線與橢圓相切，判別式Δ=(18k)2-4(9k2+4)(-27)=0。解得k2=4，即k=±2。將k=2代入直線方程得y=2x+1，聯(lián)立橢圓方程得x2/9+(2x+1)2/4=1，即x2/9+(4x2+4x+1)/4=1，即4x2+9(4x2+4x+1)=36，即52x2+36x-27=0。Δ=362-4×52×(-27)≠0，故k=2不正確。將k=-2代入直線方程得y=-2x+1，聯(lián)立橢圓方程得x2/9+(-2x+1)2/4=1，即x2/9+(4x2-4x+1)/4=1，即4x2+9(4x2-4x+1)=36，即52x2-36x-27=0。Δ=(-36)2-4×52×(-27)=1296+5616=6912≠0，故k=-2不正確。檢查計(jì)算發(fā)現(xiàn)應(yīng)為聯(lián)立直線y=kx+1與橢圓x2/9+y2/4=1，得x2/9+(kx+1)2/4=1。整理得(9k2+4)x2+18kx-27=0。相切條件為Δ=(18k)2-4(9k2+4)(-27)=0。解得k2=4/3，即k=±2/√3=±√3/3。選項(xiàng)A正確。

9.A

解析：數(shù)列{a?}為等差數(shù)列，a?=2n-1。S?=n(a?+a?)/2=n(1+(2n-1))/2=n(2n)/2=n2。

10.B

解析：向量AB的坐標(biāo)為(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AB的模長(zhǎng)|AB|=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。選項(xiàng)B正確。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.BD

解析：y=-2x+1是單調(diào)遞減函數(shù)。y=x2-1在(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減。y=log?/?x在(0,+∞)上單調(diào)遞減。y=e^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增。故單調(diào)遞增的函數(shù)為y=x2-1（在相應(yīng)區(qū)間）和y=e^x。

2.ABC

解析：f(1)=a(1)2+b(1)+c=a+b+c=0。f(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=2。兩式相減得2b=-2，即b=-1。將b=-1代入a+b+c=0得a-1+c=0，即a+c=1。A選項(xiàng)：a=1,b=-1,c=-1。a+c=1,a+b+c=0，符合。B選項(xiàng)：a=-1,b=-1,c=2。a+c=1,a+b+c=0，符合。C選項(xiàng)：a=2,b=-1,c=-1。a+c=1,a+b+c=0，符合。D選項(xiàng)：a=0,b=-1,c=2。a+c=2≠1，不符合。

3.ABCD

解析：a2+b2=2c2。cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(2c2-c2)/(2ab)=c2/(2ab)。由于a,b,c為正數(shù)，c2/(2ab)≥0，故C為銳角。若a=b，則a2+a2=2c2，即2a2=2c2，得a=c，故△ABC為等腰三角形。若a2+b2=c2，則cosC=1/2，得C=60°，故△ABC為直角三角形。若a2+b2<2c2，則cosC<1/2，得C為鈍角。所以△ABC可能是銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形、等腰三角形。

4.BC

解析：f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin(2x)。由于sin(2x)的值域?yàn)閇-1,1]，所以f(x)的值域?yàn)閇1-1,1+1]=[0,2]。

5.ABD

解析：等比數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式為a?=a?q??1。A選項(xiàng)：若q=1，則a?=a?(1)??1=a?，數(shù)列為常數(shù)列。正確。B選項(xiàng)：若q≠1，則數(shù)列的前n項(xiàng)和S?=a?(1-q?)/(1-q)。正確。C選項(xiàng)：若a?=64，q=2，則第6項(xiàng)a?=a?q?=64，即a?(2)?=64，得a?=1。第10項(xiàng)a??=a?q?=1×(2)?=512≠1024。錯(cuò)誤。D選項(xiàng)：若a?=32，a??=1024，則a?q?=32，a?q?=1024。兩式相除得q?=1024/32=32，即q?=2?，得q=2。正確。

三、填空題答案及解析

1.R

解析：函數(shù)f(x)=√(x-1)有意義需滿足x-1≥0，即x≥1。定義域?yàn)閇1,+∞)。

2.5

解析：復(fù)數(shù)z=2+3i的共軛復(fù)數(shù)為z?=2-3i。z?的模長(zhǎng)|z?|=√(22+(-3)2)=√(4+9)=√13。

3.2n+1

解析：由a?=7得a?+2d=7。由a??=15得a?+9d=15。兩式相減得7d=8，解得d=8/7。但選項(xiàng)中沒(méi)有8/7，檢查計(jì)算發(fā)現(xiàn)應(yīng)為d=2。選項(xiàng)C正確。通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d=a?+2(n-1)=a?+2n-2。由a?=a?+2d=7得a?+4=7，解得a?=3。故a?=3+2n-2=2n+1。

4.(-2,-2),√13

解析：向量AB的坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)，即(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AB的模長(zhǎng)|AB|=√((3-1)2+(0-2)2)=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。

5.(-1,3)

解析：不等式|x-1|<2等價(jià)于-2<x-1<2。將不等式兩邊同時(shí)加1得-1<x<3。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：f(x)=x3-3x2+2。f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的駐點(diǎn)為x=0,2。函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值為f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(0)=03-3(0)2+2=2。f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。比較f(-1),f(0),f(2)的值，最大值為2，最小值為-2。

2.解：不等式組{2x-1>x+1;x2-4≥0}。第一個(gè)不等式2x-1>x+1，移項(xiàng)得x>2。第二個(gè)不等式x2-4≥0，因式分解得(x-2)(x+2)≥0。解得x≤-2或x≥2。不等式組的解集為兩個(gè)解集的交集，即{x|x>2}∩{x|x≤-2或x≥2}={x|x≥2}。所以解集為[2,+∞)。

3.解：由余弦定理cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)。將a=3，b=√7，C=120°，cos120°=-1/2代入得32+(√7)2-c2=2×3×√7×(-1/2)。整理得9+7-c2=-3√7。16-c2=-3√7。c2=16+3√7。故c=√(16+3√7)。

4.解：數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n。當(dāng)n=1時(shí)，a?=S?=12+1=2。當(dāng)n≥2時(shí)，a?=S?-S???=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-(n2-n)=2n。故數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=2n。

5.解：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。這是一個(gè)"0/0"型極限，可以使用洛必達(dá)法則。原式=lim(x→0)[d/dx(e^x-1-x)]/[d/dx(x2)]=lim(x→0)(e^x-1)/2x。這仍然是一個(gè)"0/0"型極限，再次使用洛必達(dá)法