課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期一課題空間向量與立體幾何小結(jié)（2）教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：熟練運(yùn)用坐標(biāo)法解決立體幾何問題，總結(jié)建立空間直角坐標(biāo)系的過程。教學(xué)重點(diǎn)：分析、總結(jié)建立空間直角坐標(biāo)系的過程。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)于不同建系方式的恰當(dāng)選擇。教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1.回顧舊知2.新課1.回顧總結(jié)過的內(nèi)容，在知識(shí)層面，如何運(yùn)用空間向量研究立體幾何。2.在方法層面，運(yùn)用空間向量研究立體幾何問題的思路.例如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PA=AD=DC=2，BC=4.點(diǎn)E為PD中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PC上，且PC=3PF.（1）求證：平面AEF⊥平面PAC；（2）求平面AEF與平面PAB夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)D到平面AEF的距離.問題1如何運(yùn)用空間向量解決這道例題？問題2采用坐標(biāo)法，就要建立合適的空間直角坐標(biāo)系，建立空間直角坐標(biāo)系的關(guān)鍵是什么？需要找到三條直線兩兩垂直的位置關(guān)系.追問：為了解題方便，需要考慮哪些因素？讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上和坐標(biāo)平面內(nèi)；便于寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；便于向量的坐標(biāo)運(yùn)算.問題3針對(duì)這道題目的圖形，可以怎樣建立空間直角坐標(biāo)系？追問1：還可以怎樣建立空間直角坐標(biāo)系？追問2：這樣建系，能帶來哪些方便？保證了盡可能多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，平面PAC和平面PAB的法向量容易得到.追問3：這樣建系，需要做哪些準(zhǔn)備工作？需要證明AB垂直AC.解法一（1）取BC中點(diǎn)G，連接AG.因?yàn)锽C=4，所以CG=2.因?yàn)镃G=AD，CG//AD,所以四邊形AGCD是平行四邊形.因?yàn)锳D⊥DC，AD=DC，所以四邊形AGCD是正方形.所以AG⊥AD.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AG，PA⊥AD.以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AG，AD，AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)已知條件可得A(0,0,0)，B(2,?2,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1).因?yàn)镻C=3PF，所以PC=3因?yàn)镻C=(2,2,?2)所以PF=(23可以得到AE=(0,1,1)，AF設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)所以AE?n令z=1，解得y=?1，x=?1.所以n=(?1,?1,1)可以得到AP=(0,0,2)，AC設(shè)平面PAC的法向量為m=(x,y,z)所以AP?m令x=1，解得y=?1，z=0.所以m=(1,?1,0)因?yàn)閙=(1,?1,0)，n所以m?n=?1所以m⊥n.所以平面PAC⊥平面AEF（2）由（1）可得AP=(0,0,2)，AB設(shè)平面PAB的法向量為a=(x,y,z)所以AP?a令x=1，解得y=1，z=0.所以a=(1,1,0)因?yàn)閍=(1,1,0)，n所以cos所以平面AEF與平面PAB夾角的余弦值為63（3）由（1）可得AD=(0,2,0)平面AEF的法向量n=(?1,?1,1)所以點(diǎn)D到平面AEF的距離為|解法二（1）因?yàn)锳D⊥DC，AD=DC=2，所以AC=22，且∠ACD=45°因?yàn)锳D//BC，AD⊥DC，所以BC⊥DC.所以∠ACB=45°.因?yàn)锽C=4，所以AB=22所以∠BAC=90°.所以AB⊥AC.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB因?yàn)锳B⊥AC，PA⊥AB，PA⊥所以以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)已知條件可得A(0,0,0)，B(22,0,0)，C(0,22,0)，D(?2,2可以得到AE=(?AF=(0,平面PAC的法向量為i=(1,0,0)平面PAB的法向量為j=(0,1,0)設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)所以AE?n令z=1，解得y=?2，x=0所以n=(0,?因?yàn)閚=(0,?2,1)所以n?i=1,0,0所以平面PAC⊥平面AEF.（2）因?yàn)閏os<所以平面PAB與平面AEF夾角的余弦值為63（3）因?yàn)锳D=(?所以點(diǎn)D到平面AEF的距離為|總結(jié)：坐標(biāo)系的選取對(duì)問題解決的影響讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面上.使點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)值盡可能為整數(shù).