數(shù)字圖像處理DigitalImageProcessing3.1圖象變換的基礎(chǔ)知識3.2傅里葉變換3.3離散余弦變換3.4小波變換3.5MATLAB仿真實例3第三章基本圖象變換3.1圖象變換的基礎(chǔ)知識為了有效和快速地對圖象進行處理，常常需要將原定義在圖象空間的圖象以某種形式轉(zhuǎn)換到另外一些空間，并利用在這些空間的特有性質(zhì)方便地進行一定的加工，最后再轉(zhuǎn)換回圖象空間以得到所需的效果。這些轉(zhuǎn)換方法就是本章要著重介紹和討論的圖象變換技術(shù)圖像空間變換空間原圖像幅度譜相位譜3.2.11-D傅里葉變換3.2.22-D傅里葉變換3.2.3傅里葉變換定理3.2.4快速傅里葉變換3.2傅里葉變換3.2傅里葉變換3.2.11-D正變換1-D正變換對1個連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣1-D反變換變換表達(dá)頻譜（幅度）相位角3.2傅里葉變換3.2.22-D正變換2D—變換對公式頻譜（幅度）相位角原圖像幅度譜相位譜3.2傅里葉變換3.2.3傅里葉變換定理分離性質(zhì)1次2-D

2次1-DO(N4)減為O(N2)

3.2傅里葉變換3.2.3傅里葉變換定理二維傅里葉變換的頻譜分布

頻率位移示例3.2傅里葉變換3.2.3傅里葉變換定理平移定理

圖像在空間平移相當(dāng)于其變換在頻域與一個指數(shù)項相乘圖像在空間與一個指數(shù)項相乘相當(dāng)于其變換在頻域平移圖像平移不影響其傅里葉變換的幅值旋轉(zhuǎn)定理f(x,y)旋轉(zhuǎn)一個角度對應(yīng)于將其傅里葉變換F(u,v)也旋轉(zhuǎn)相同的角度3.2傅里葉變換3.2.3傅里葉變換定理尺度定理（1）對f(x,y)在幅度方面的尺度變換導(dǎo)致對其傅里葉變換F(u,v)在幅度方面的對應(yīng)尺度變化。（2）對f(x,y)在空間尺度方面的放縮導(dǎo)致對其傅里葉變換F(u,v)在頻域尺度方面的相反放縮。（3）對f(x,y)的收縮(對應(yīng)a>1,b>1)不僅導(dǎo)致F(u,v)空間的膨脹，還使F(u,v)的幅度減小。正方形收縮導(dǎo)致傅里葉頻頻網(wǎng)格在頻譜空間增大3.3傅里葉變換3.2.3傅里葉變換定理頻率域圖像圖像灰度變化緩慢的部分,對應(yīng)變換后的低頻分量部分,圖像的細(xì)節(jié)和輪廓邊緣都是灰度突變區(qū)域,它們是變換后的高頻分量細(xì)節(jié)較少圖片的傅立葉變換和離散余弦變換細(xì)節(jié)中等圖片的傅立葉變換和離散余弦變換細(xì)節(jié)較多圖片的傅立葉變換和離散余弦變化3.3離散余弦變換問題的提出Fourier變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復(fù)數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當(dāng)于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達(dá)到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。離散余弦變換(DCTforDiscreteCosineTransform)與傅里葉變換相關(guān)的一種變換，它類似于離散傅里葉變換(DFTforDiscreteFourierTransform),但是只使用實數(shù)傅立葉級數(shù)歐拉公式3.3離散余弦變換可分離、正交、對稱的變換1-D離散余弦變換（DCT）2-D離散余弦變換可分離性和對稱性

3.3離散余弦變換應(yīng)用余弦變換實際上是利用了Fourier變換的實數(shù)部分構(gòu)成的變換。余弦變換主要用于圖像的壓縮，如目前的國際壓縮標(biāo)準(zhǔn)的JPEG格式中就用到了DCT變換。具體的做法與DFT相似。即高頻部分壓縮多一些，低頻部分壓縮少一些。水印壓縮3.3離散余弦變換數(shù)字水印3.3離散余弦變換圖像壓縮原圖解壓圖3.4小波變換傅里葉變換優(yōu)缺點優(yōu)點：頻率的定位很好，通過對信號的頻率分析，可以清晰的得到信號所包含的頻率成分，也就是頻譜。缺點：因為頻譜是時間從負(fù)無窮到正無窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷該頻率的時間定位。不能判斷某一時間段的頻率成分。如果需要分析信號的局部信息怎么辦?如：樂譜歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù)，其傅立葉變換就是將這個波函數(shù)轉(zhuǎn)化成某種樂譜。但遺憾地是，傅立葉變換無法反映信號在哪一時刻有高音，在哪一時刻有低音，因此結(jié)果是所有的音符都擠在了一起，如圖所示。小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點，信號變換到小波域后，小波不僅能檢測到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號相對應(yīng)，如圖所示。3.4小波變換短時傅里葉變換優(yōu)點：在傅里葉變換的基礎(chǔ)上，增加了窗函數(shù)，就實現(xiàn)了時間—頻率分析。缺點：使用一個固定的窗函數(shù)，窗函數(shù)一旦確定了以后，其形狀就不再發(fā)生改變，分辨率也就確定了。當(dāng)信號變化劇烈時，要求窗函數(shù)有較高的時間分辨率；而波形變化比較平緩的時刻，則相反。用窄窗，時頻圖在時間軸上分辨率很高，幾個峰基本成矩形，而用寬窗則變成了綿延的矮山。但是頻率軸上，窄窗明顯不如下邊兩個寬窗精確。所以窄窗口時間分辨率高、頻率分辨率低，寬窗口時間分辨率低、頻率分辨率高。對于時變的非穩(wěn)態(tài)信號，高頻適合小窗口，低頻適合大窗口。然而STFT的窗口是固定的，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩(wěn)態(tài)信號變化的頻率的需求。3.4小波變換

Gabor(1946)提出加窗Fourier變換Fourier變換加窗Fourier變換Fourier變換3.4小波變換小波和構(gòu)成Fourier分析基礎(chǔ)的正弦波比較Fourier是將信號分解成一系列不同頻率的正弦波的疊加。小波是將信號分解成一系列小波函數(shù)的疊加。這些小波函數(shù)都是由一個母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度伸縮得來的。根據(jù)直覺，用不規(guī)則的小波函數(shù)來逼近尖銳變化的信號顯然要比光滑的正弦曲線要好，同樣，信號局部的特性用小波函數(shù)來逼近顯然要比光滑的正弦函數(shù)來逼近要好小波變換定義變換核變換對3.4小波變換部分小波波形小波基函數(shù)CWT的變換過程把小波g(t)和原始信號f(t)的開始部分進行比較計算系數(shù)c。該系數(shù)表示該部分信號與小波的近似程度。系數(shù)c的值越高表示信號與小波越相似，因此系數(shù)c可以反映這種波形的相關(guān)程度把小波向右移，距離為k，得到的小波函數(shù)為g(t-k)，然后重復(fù)步驟1和2。再把小波向右移，得到小波g(t-2k)，重復(fù)步驟1和2。按上述步驟一直進行下去，直到信號f(t)結(jié)束擴展小波g(t)，例如擴展一倍，得到的小波函數(shù)為g(t/2)重復(fù)步驟1~43.4小波變換小波的時間和頻率特性時間A時間B運用小波基，可