高考數(shù)學(xué)沖刺練習(xí)題及解析一、前言高考數(shù)學(xué)沖刺階段的核心是針對性突破——通過典型題訓(xùn)練鞏固核心考點(diǎn)，掌握解題技巧，避免易錯點(diǎn)。本文圍繞代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)三大模塊，選取高考高頻考點(diǎn)的典型題目，結(jié)合詳細(xì)解析與方法總結(jié)，助力考生高效提分。二、代數(shù)模塊：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列的綜合應(yīng)用代數(shù)是高考數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列是高頻難點(diǎn)，需重點(diǎn)突破。（一）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：極值與不等式證明例1已知函數(shù)$f(x)=x\lnx-ax+a$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）若$f(x)\geq0$對所有$x\geq1$成立，求$a$的取值范圍。解析（1）求單調(diào)區(qū)間：$f(x)$的定義域?yàn)?(0,+\infty)$，求導(dǎo)得$f'(x)=\lnx+1-a$。令$f'(x)=0$，解得$x=e^{a-1}$。當(dāng)$0<x<e^{a-1}$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x>e^{a-1}$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。故$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,e^{a-1})$，單調(diào)遞增區(qū)間為$(e^{a-1},+\infty)$。（2）不等式恒成立問題：要求$f(x)\geq0$對$x\geq1$成立，即$x\lnx\geqa(x-1)$。當(dāng)$x=1$時，兩邊均為0，成立；當(dāng)$x>1$時，等價于$a\leq\frac{x\lnx}{x-1}$。令$g(x)=\frac{x\lnx}{x-1}$（$x>1$），求其最小值。求導(dǎo)得$g'(x)=\frac{(\lnx+1)(x-1)-x\lnx}{(x-1)^2}=\frac{x-\lnx-1}{(x-1)^2}$。令$h(x)=x-\lnx-1$，則$h'(x)=1-\frac{1}{x}>0$（$x>1$），故$h(x)$在$(1,+\infty)$遞增，$h(x)>h(1)=0$。因此$g'(x)>0$，$g(x)$在$(1,+\infty)$遞增，其最小值為$\lim_{x\to1^+}g(x)$。用洛必達(dá)法則：$\lim_{x\to1^+}\frac{x\lnx}{x-1}=\lim_{x\to1^+}\frac{\lnx+1}{1}=1$，故$a\leq1$?？偨Y(jié)：導(dǎo)數(shù)法是解決函數(shù)單調(diào)性、極值、不等式恒成立問題的核心工具，構(gòu)造輔助函數(shù)（如$g(x)$）是關(guān)鍵。（二）數(shù)列：通項(xiàng)公式與求和的綜合問題例2已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3^n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。解析（1）構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)：遞推式$a_{n+1}=2a_n+3^n$為線性非齊次遞推，設(shè)$a_{n+1}+k\cdot3^{n+1}=2(a_n+k\cdot3^n)$，展開得$a_{n+1}=2a_n-k\cdot3^n$。與原式比較得$-k=1$，即$k=-1$，故構(gòu)造數(shù)列$\{a_n-3^n\}$，其首項(xiàng)為$a_1-3^1=-2$，公比為2。因此$a_n-3^n=-2\cdot2^{n-1}=-2^n$，故$a_n=3^n-2^n$。（2）分組求和：$S_n=\sum_{k=1}^n(3^k-2^k)=\sum_{k=1}^n3^k-\sum_{k=1}^n2^k$。利用等比數(shù)列求和公式：$\sum_{k=1}^n3^k=\frac{3(3^n-1)}{3-1}=\frac{3^{n+1}-3}{2}$，$\sum_{k=1}^n2^k=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2$。故$S_n=\frac{3^{n+1}-3}{2}-(2^{n+1}-2)=\frac{3^{n+1}-2^{n+2}+1}{2}$?？偨Y(jié)：遞推數(shù)列求通項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造等比/等差數(shù)列，常見類型（如$a_{n+1}=pa_n+q^n$）需熟練掌握構(gòu)造方法；求和時注意分組、錯位相減、裂項(xiàng)相消等技巧的應(yīng)用。三、幾何模塊：立體幾何與解析幾何的重點(diǎn)突破幾何模塊注重空間想象與代數(shù)運(yùn)算的結(jié)合，立體幾何的線面關(guān)系、解析幾何的圓錐曲線是高頻考點(diǎn)。（一）立體幾何：線面垂直與二面角例3如圖，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$是$BC$的中點(diǎn)，$E$是$A_1B_1$的中點(diǎn)。（1）證明：$AD\perp$平面$BCC_1B_1$；（2）求二面角$A_1-DE-B$的余弦值。解析（1）線面垂直證明：直三棱柱中，$CC_1\perp$底面$ABC$，$AD\subset$底面$ABC$，故$CC_1\perpAD$；$AB=AC$，$D$是$BC$中點(diǎn)，故$AD\perpBC$（等腰三角形三線合一）；$BC$與$CC_1$是平面$BCC_1B_1$內(nèi)的相交直線（$BC\capCC_1=C$），故$AD\perp$平面$BCC_1B_1$。（2）空間向量法求二面角：建立空間直角坐標(biāo)系，以$A$為原點(diǎn)，$AB$、$AC$、$AA_1$分別為$x$、$y$、$z$軸，坐標(biāo)如下：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$A_1(0,0,2)$，$B_1(2,0,2)$，$D(1,1,0)$，$E(1,0,2)$。求法向量：平面$BDE$的向量：$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,0,2)$，設(shè)法向量$\mathbf{n_1}=(2,2,1)$（滿足$\mathbf{n_1}\perp\overrightarrow{BD}$、$\mathbf{n_1}\perp\overrightarrow{BE}$）；平面$A_1DE$的向量：$\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2)$，$\overrightarrow{A_1E}=(1,0,0)$，設(shè)法向量$\mathbf{n_2}=(0,2,1)$（滿足$\mathbf{n_2}\perp\overrightarrow{A_1D}$、$\mathbf{n_2}\perp\overrightarrow{A_1E}$）。計(jì)算夾角余弦值：$\cos\theta=\frac{\mathbf{n_1}\cdot\mathbf{n_2}}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}=\frac{2\times0+2\times2+1\times1}{3\times\sqrt{5}}=\frac{5}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。判斷二面角類型：直三棱柱中，二面角為銳角，故余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$。總結(jié)：立體幾何中，線面垂直的證明需緊扣“線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直”；二面角的求解優(yōu)先選擇空間向量法，步驟為：建立坐標(biāo)系→求點(diǎn)坐標(biāo)→求法向量→計(jì)算法向量夾角。（二）解析幾何：橢圓與直線的位置關(guān)系例4已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的方程；（2）設(shè)直線$l:y=kx+m$與橢圓$C$交于$A,B$兩點(diǎn)，$O$為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$OA\perpOB$，求$\triangleAOB$面積的最大值。解析（1）求橢圓方程：離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2$，橢圓方程為$x^2+4y^2=a^2$。代入點(diǎn)$(2,1)$得$2^2+4\times1^2=a^2$，故$a^2=8$，$b^2=2$，橢圓方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$。（2）直線與橢圓聯(lián)立：聯(lián)立$\begin{cases}y=kx+m\\x^2+4y^2=8\end{cases}$，得$(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0$。判別式$\Delta=16(8k^2+2-m^2)>0$，韋達(dá)定理：$x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2}$。OA⊥OB的條件：$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，即$x_1x_2+y_1y_2=0$，代入$y=kx+m$得：$(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0$，化簡得$5m^2=8k^2+8$。求面積最大值：$\triangleAOB$的面積$S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|=\frac{1}{2}|m||x_1-x_2|$，其中$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta}}{1+4k^2}$。代入$5m^2=8k^2+8$，化簡得$S=\frac{4|m|\sqrt{4m^2-6}}{5m^2-6}$，設(shè)$t=m^2$，用導(dǎo)數(shù)法求得當(dāng)$t=2$時，$S$取得最大值2?？偨Y(jié)：解析幾何中，直線與橢圓聯(lián)立是常規(guī)操作，需熟練運(yùn)用韋達(dá)定理設(shè)而不求；面積、弦長等問題需結(jié)合代數(shù)變形（如換元、導(dǎo)數(shù)求最值）解決。四、概率統(tǒng)計(jì)：概率計(jì)算與統(tǒng)計(jì)案例概率統(tǒng)計(jì)注重實(shí)際應(yīng)用，古典概型、條件概率、統(tǒng)計(jì)案例是高頻考點(diǎn)。（一）古典概型與條件概率例5某學(xué)校高三年級有500名學(xué)生，其中男生300名，女生200名，抽取100名學(xué)生調(diào)查數(shù)學(xué)成績，結(jié)果如下：性別數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績非優(yōu)秀合計(jì)男生203050女生104050合計(jì)3070100（1）估計(jì)該校高三年級學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率；（2）從抽取的100名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求至少有1名女生的概率；（3）從抽取的100名學(xué)生中，隨機(jī)抽取1名學(xué)生，已知該學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，求該學(xué)生是女生的概率。解析（1）用樣本估計(jì)總體：優(yōu)秀率為$\frac{30}{100}=0.3$。（2）補(bǔ)集思想：至少1名女生的概率=1-全是男生的概率=1-$\frac{C_{50}^2}{C_{100}^2}=\frac{149}{198}$。（3）條件概率：$P(女生|優(yōu)秀)=\frac{優(yōu)秀女生數(shù)}{優(yōu)秀總?cè)藬?shù)}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$?？偨Y(jié)：古典概型需明確樣本空間與事件包含的基本事件數(shù)；條件概率可通過“縮小樣本空間”快速計(jì)算；統(tǒng)計(jì)案例需記住線性回歸、獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式。五、沖刺階段解題技巧總結(jié)1