高中數(shù)學(xué)函數(shù)綜合提升練習(xí)題解析引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于代數(shù)、幾何、三角等多個(gè)模塊，也是高考考查的重點(diǎn)（占比約20%~25%）。函數(shù)綜合題往往融合單調(diào)性、奇偶性、最值、零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生的邏輯推理、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法。本文針對(duì)高中函數(shù)的重點(diǎn)類型，選取典型例題進(jìn)行詳細(xì)解析，總結(jié)解題方法與技巧，幫助學(xué)生提升函數(shù)綜合題的解題能力。一、二次函數(shù)綜合問題二次函數(shù)是高中函數(shù)的“基礎(chǔ)載體”，其性質(zhì)（開口方向、對(duì)稱軸、最值）是解決復(fù)合函數(shù)、不等式、方程問題的關(guān)鍵。知識(shí)點(diǎn)回顧二次函數(shù)的一般形式為\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），核心性質(zhì)如下：1.開口方向：\(a>0\)時(shí)開口向上，\(a<0\)時(shí)開口向下；2.對(duì)稱軸：\(x=-\frac{2a}\)；3.最值：開口向上時(shí)，頂點(diǎn)處取得最小值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)；開口向下時(shí)，頂點(diǎn)處取得最大值\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)；4.根的分布：結(jié)合判別式\(\Delta=b^2-4ac\)、韋達(dá)定理（\(x_1+x_2=-\frac{a}\),\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)）和特殊點(diǎn)函數(shù)值，判斷根的個(gè)數(shù)及所在區(qū)間。典型例題例1已知函數(shù)\(f(x)=x^2-2ax+3\)，\(x\in[1,4]\)，求\(f(x)\)的最小值。解析二次函數(shù)的對(duì)稱軸為\(x=a\)，需根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間\([1,4]\)的位置關(guān)系分類討論：當(dāng)\(a\leq1\)：對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)，函數(shù)在\([1,4]\)單調(diào)遞增，最小值為\(f(1)=4-2a\)；當(dāng)\(1<a<4\)：對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，\(f(a)=3-a^2\)；當(dāng)\(a\geq4\)：對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)，函數(shù)在\([1,4]\)單調(diào)遞減，最小值為\(f(4)=19-8a\)。答案當(dāng)\(a\leq1\)時(shí)，最小值為\(4-2a\)；當(dāng)\(1<a<4\)時(shí)，最小值為\(3-a^2\)；當(dāng)\(a\geq4\)時(shí)，最小值為\(19-8a\)。例2若方程\(x^2+(m-2)x+5-m=0\)有兩個(gè)正根，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。解析設(shè)兩根為\(x_1,x_2\)，根據(jù)根的分布條件，需滿足：1.判別式非負(fù)：\(\Delta=(m-2)^2-4(5-m)=m^2-16\geq0\)，得\(m\leq-4\)或\(m\geq4\)；2.兩根之和為正：\(x_1+x_2=-(m-2)>0\)，得\(m<2\)；3.兩根之積為正：\(x_1x_2=5-m>0\)，得\(m<5\)。綜上，取交集得\(m\leq-4\)。答案\(m\leq-4\)。方法總結(jié)1.二次函數(shù)閉區(qū)間最值問題：核心是對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分三種情況討論（左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)）；2.二次方程根的分布問題：結(jié)合判別式、韋達(dá)定理、函數(shù)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為不等式組求解。二、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問題指數(shù)函數(shù)（\(y=a^x\),\(a>0\)且\(a\neq1\)）與對(duì)數(shù)函數(shù)（\(y=\log_ax\),\(a>0\)且\(a\neq1\)）互為反函數(shù)，其單調(diào)性、值域是比較大小、解不等式的關(guān)鍵。知識(shí)點(diǎn)回顧1.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：定義域：\(\mathbb{R}\)；值域：\((0,+\infty)\)；單調(diào)性：\(a>1\)時(shí)單調(diào)遞增，\(0<a<1\)時(shí)單調(diào)遞減；特殊值：\(a^0=1\)，\(a^1=a\)。2.對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：定義域：\((0,+\infty)\)；值域：\(\mathbb{R}\)；單調(diào)性：\(a>1\)時(shí)單調(diào)遞增，\(0<a<1\)時(shí)單調(diào)遞減；特殊值：\(\log_a1=0\)，\(\log_aa=1\)；運(yùn)算性質(zhì)：\(\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay\)，\(\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay\)，\(\log_ax^n=n\log_ax\)。典型例題例1比較下列各組數(shù)的大?。海?）\(2^{0.3}\),\(0.3^2\),\(\log_20.3\)；（2）\(\log_34\),\(\log_43\),\(\log_{\frac{1}{3}}4\)。解析（1）利用中間值\(0,1\)判斷：\(2^{0.3}>2^0=1\)；\(0<0.3^2=0.09<1\)；\(\log_20.3<\log_21=0\)。故大小關(guān)系為\(2^{0.3}>0.3^2>\log_20.3\)。（2）利用函數(shù)單調(diào)性判斷：\(\log_34>\log_33=1\)；\(0<\log_43<\log_44=1\)；\(\log_{\frac{1}{3}}4=-\log_34<0\)。故大小關(guān)系為\(\log_34>\log_43>\log_{\frac{1}{3}}4\)。例2求函數(shù)\(f(x)=\log_2(x^2-2x-3)\)的定義域和單調(diào)遞增區(qū)間。解析（1）定義域：需滿足\(x^2-2x-3>0\)，解得\(x<-1\)或\(x>3\)，故定義域?yàn)閈((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。（2）單調(diào)遞增區(qū)間：令\(t=x^2-2x-3\)，則\(f(x)=\log_2t\)（外層函數(shù)，單調(diào)遞增）。根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則，需找\(t=x^2-2x-3\)的單調(diào)遞增區(qū)間：\(t=x^2-2x-3\)的對(duì)稱軸為\(x=1\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\((1,+\infty)\)；結(jié)合定義域，取交集得\((3,+\infty)\)。答案定義域?yàn)閈((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\((3,+\infty)\)。方法總結(jié)1.指數(shù)對(duì)數(shù)比較大?。撼Ｓ弥虚g值法（0,1）或函數(shù)單調(diào)性法；2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減（外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性相同則遞增，相反則遞減），注意定義域優(yōu)先。三、三角函數(shù)綜合問題三角函數(shù)（\(y=\sinx\),\(y=\cosx\),\(y=\tanx\)）是周期函數(shù)，其圖像變換、最值、恒等變換是高考的重點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)回顧1.正弦函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\phi)+B\)：振幅：\(|A|\)（最大值與最小值之差的一半）；周期：\(T=\frac{2\pi}{|\omega|}\)；初相：\(\phi\)（通過特殊點(diǎn)確定）；最值：最大值為\(|A|+B\)，最小值為\(-|A|+B\)。2.三角恒等變換：誘導(dǎo)公式：\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\)，\(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)；倍角公式：\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)，\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)；輔助角公式：\(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\theta)\)（其中\(zhòng)(\tan\theta=\frac{a}\)）。典型例題例1已知函數(shù)\(f(x)=A\sin(\omegax+\phi)\)（\(A>0\),\(\omega>0\),\(|\phi|<\frac{\pi}{2}\)）的圖像過點(diǎn)\((0,1)\)，且在\(x=\frac{\pi}{3}\)處取得最大值2，求\(f(x)\)的解析式。解析（1）求振幅\(A\)：最大值為2，故\(A=2\)；（2）求\(\phi\)：圖像過\((0,1)\)，代入得\(2\sin\phi=1\)，即\(\sin\phi=\frac{1}{2}\)，又\(|\phi|<\frac{\pi}{2}\)，故\(\phi=\frac{\pi}{6}\)；（3）求\(\omega\)：在\(x=\frac{\pi}{3}\)處取得最大值，故\(\omega\cdot\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），取\(k=0\)，得\(\omega=1\)。答案\(f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{6})\)。例2求函數(shù)\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間。解析（1）化簡(jiǎn)函數(shù)：\(f(x)=\frac{1-\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x-\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}=\sin(2x-\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\)。（2）求最大值：\(\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的最大值為1，故\(f(x)\)的最大值為\(1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)。（3）求單調(diào)遞增區(qū)間：令\(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），解得\(-\frac{\pi}{6}+k\pi\leqx\leq\frac{\pi}{3}+k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。答案最大值為\(\frac{3}{2}\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\([-\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{\pi}{3}+k\pi]\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。方法總結(jié)1.三角函數(shù)圖像題：三步法求解析式（找最值求\(A\)，算周期求\(\omega\)，用特殊點(diǎn)求\(\phi\)）；2.三角函數(shù)最值問題：通過恒等變換轉(zhuǎn)化為\(A\sin(\omegax+\phi)+B\)形式，利用正弦函數(shù)的有界性求最值；3.單調(diào)區(qū)間：解不等式\(-\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq\omegax+\phi\leq\frac{\pi}{2}+2k\pi\)（遞增區(qū)間）或\(\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq\omegax+\phi\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)**（遞減區(qū)間）。四、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合問題導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的有力工具，也是高考?jí)狠S題的常用方法。知識(shí)點(diǎn)回顧1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f'(x_0)\)是曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率；2.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性：\(f'(x)>0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞增；\(f'(x)<0\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)單調(diào)遞減；3.導(dǎo)數(shù)與極值：極值點(diǎn)：\(f'(x_0)=0\)且\(f'(x)\)在\(x_0\)兩側(cè)符號(hào)相反；極大值：左正右負(fù)；極小值：左負(fù)右正；4.導(dǎo)數(shù)與最值：閉區(qū)間上的函數(shù)最值為極值與端點(diǎn)值中的最大值或最小值。典型例題例1求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)的單調(diào)區(qū)間和極值。解析（1）求導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)；（2）找臨界點(diǎn)：令\(f'(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)；（3）判斷單調(diào)性：\(x<0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；\(0<x<2\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減；\(x>2\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；（4）求極值：\(x=0\)時(shí)，\(f(0)=2\)（極大值）；\(x=2\)時(shí)，\(f(2)=-2\)（極小值）。答案單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\cup(2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)；極大值為2，極小值為-2。例2若不等式\(x^3-3x+a\geq0\)對(duì)\(x\in[-1,1]\)恒成立，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。解析（1）分離參數(shù)：\(a\geq-x^3+3x\)；（2）設(shè)\(g(x)=-x^3+3x\)，求\(g(x)\)在\([-1,1]\)上的最大值；（3）求導(dǎo)數(shù)：\(g'(x)=-3x^2+3=-3(x^2-1)\)；（4）判斷單調(diào)性：\(x\in[-1,1]\)時(shí)，\(g'(x)\geq0\)，故\(g(x)\)在\([-1,1]\)單調(diào)遞增；（5）求最大值：\(g(1)=-1+3=2\)；（6）故\(a\geq2\)。答案\(a\geq2\)。方法總結(jié)1.導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間：求導(dǎo)→解\(f'(x)>0\)（遞增）或\(f'(x)<0\)（遞減）；2.導(dǎo)數(shù)求極值：找臨界點(diǎn)→判斷兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)；3.不等式恒成立問題：分離參數(shù)→轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值（\(a\geqf(x)\)恒成立→\(a\geqf(x)_{\text{max}}\)；\(a\leqf(x)\)恒成立→\(a\leqf(x)_{\text{min}}\)）。四、函數(shù)與方程、不等式綜合問題函數(shù)與方程、不等式是“三位一體”的關(guān)系：方程\(f(x)=0\)的根是函數(shù)\(f(x)\)的零點(diǎn)，不等式\(f(x)>0\)的解集是函數(shù)\(f(x)\)圖像在\(x\)軸上方的區(qū)間。知識(shí)點(diǎn)回顧1.函數(shù)零點(diǎn)：定義：\(f(x_0)=0\)時(shí)，\(x_0\)是\(f(x)\)的零點(diǎn)；判定定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)有零點(diǎn)。2.方程根的個(gè)數(shù)：轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與\(x\)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（或兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)）。3.不等式解集：轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像在\(x\)軸上方（或下方）的區(qū)間。典型例題例1求函數(shù)\(f(x)=\lnx+x-2\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析（1）定義域：\((0,+\infty)\)；（2）求導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=\frac{1}{x}+1>0\)，故\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞增；（3）取特殊點(diǎn)：\(f(1)=0+1-2