中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練及解析一、二次函數(shù)（高頻考點(diǎn)：頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式、最值）考點(diǎn)梳理1.基本形式：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)；頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)），對(duì)稱軸為\(x=h\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((h,k)\)；交點(diǎn)式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)），其中\(zhòng)(x_1,x_2\)為函數(shù)與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2.最值問題：當(dāng)\(a>0\)時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；當(dāng)\(a<0\)時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)；若自變量有取值范圍，需結(jié)合頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是否在范圍內(nèi)判斷最值（頂點(diǎn)在范圍內(nèi)則取頂點(diǎn)值，否則取端點(diǎn)值）。專項(xiàng)訓(xùn)練1.基礎(chǔ)題：已知二次函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)，則其對(duì)稱軸為______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為______，最大值為______。2.中檔題：二次函數(shù)圖像過點(diǎn)\((1,4)\)，且頂點(diǎn)為\((2,5)\)，求其解析式。3.綜合題：某商店銷售一種商品，每件成本為\(30\)元，售價(jià)為\(x\)元時(shí)，每天銷量為\(-2x+100\)件。若每天利潤(rùn)為\(y\)元，求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求售價(jià)為多少時(shí)利潤(rùn)最大？答案說明1.基礎(chǔ)題：對(duì)稱軸：\(x=-\frac{2}{2\times(-1)}=1\)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：代入\(x=1\)，得\(y=-1+2+3=4\)，故頂點(diǎn)為\((1,4)\)；最大值：\(a=-1<0\)，最大值為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)\(4\)。2.中檔題：設(shè)頂點(diǎn)式\(y=a(x-2)^2+5\)，代入點(diǎn)\((1,4)\)得：\(4=a(1-2)^2+5\)，解得\(a=-1\)，故解析式為\(y=-(x-2)^2+5\)（展開后為\(y=-x^2+4x+1\)）。3.綜合題：利潤(rùn)\(y=(x-30)(-2x+100)=-2x^2+160x-3000\)；對(duì)稱軸\(x=-\frac{160}{2\times(-2)}=40\)，\(a=-2<0\)，故售價(jià)為\(40\)元時(shí)，利潤(rùn)最大（最大值為\(y=-2\times40^2+160\times40-3000=200\)元）。二、相似三角形（高頻考點(diǎn)：判定與性質(zhì)）考點(diǎn)梳理1.判定定理：兩角對(duì)應(yīng)相等（AA）：如公共角+同位角/內(nèi)錯(cuò)角；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等（SAS）：夾角為兩邊的公共角；三邊對(duì)應(yīng)成比例（SSS）：需計(jì)算三邊比例。2.性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等；相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方。專項(xiàng)訓(xùn)練1.基礎(chǔ)題：如圖，\(DE\parallelBC\)，\(AD=3\)，\(DB=6\)，\(AE=2\)，則\(EC=\)______。2.中檔題：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(CD\perpAB\)于點(diǎn)\(D\)，若\(AC=6\)，\(BC=8\)，求\(CD\)的長(zhǎng)。3.綜合題：如圖，\(\triangleABC\sim\triangleADE\)，\(AB=4\)，\(AD=2\)，\(BC=5\)，求\(DE\)的長(zhǎng)；若\(\triangleABC\)的面積為\(12\)，求\(\triangleADE\)的面積。解答分析1.基礎(chǔ)題：\(DE\parallelBC\Rightarrow\triangleADE\sim\triangleABC\)（AA），故\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)；\(AB=AD+DB=9\)，代入得\(\frac{3}{9}=\frac{2}{AC}\RightarrowAC=6\)，故\(EC=AC-AE=4\)。2.中檔題：\(\angleACB=90^\circ\)，由勾股定理得\(AB=\sqrt{6^2+8^2}=10\)；\(CD\perpAB\Rightarrow\triangleABC\sim\triangleCBD\sim\triangleACD\)（AA），故\(\frac{AC\cdotBC}{2}=\frac{AB\cdotCD}{2}\)（面積相等）；代入得\(6\times8=10\timesCD\RightarrowCD=4.8\)。3.綜合題：相似比\(k=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，故\(DE=BC\timesk=5\times\frac{1}{2}=2.5\)；面積比為\(k^2=\frac{1}{4}\)，故\(\triangleADE\)面積\(=12\times\frac{1}{4}=3\)。三、圓的切線（高頻考點(diǎn)：性質(zhì)與判定）考點(diǎn)梳理1.切線性質(zhì)：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（核心性質(zhì)，常作輔助線：連接圓心與切點(diǎn)）；切線到圓心的距離等于半徑。2.切線判定：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線（需證明兩點(diǎn)：①直線過半徑外端；②直線與半徑垂直）；若直線到圓心的距離等于半徑，則直線是圓的切線。專項(xiàng)訓(xùn)練1.基礎(chǔ)題：如圖，\(PA\)是\(\odotO\)的切線，切點(diǎn)為\(A\)，\(OA=3\)，\(OP=5\)，則\(PA=\)______。2.中檔題：如圖，\(AB\)是\(\odotO\)的直徑，點(diǎn)\(C\)在\(\odotO\)上，\(\angleABC=30^\circ\)，過點(diǎn)\(C\)作\(\odotO\)的切線交\(AB\)延長(zhǎng)線于點(diǎn)\(D\)，若\(OD=6\)，求\(\odotO\)的半徑。3.綜合題：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，以\(AB\)為直徑作\(\odotO\)交\(BC\)于點(diǎn)\(D\)，過點(diǎn)\(D\)作\(DE\perpAC\)于點(diǎn)\(E\)，求證：\(DE\)是\(\odotO\)的切線。解答分析1.基礎(chǔ)題：\(PA\)是切線\(\RightarrowOA\perpPA\)，故\(\triangleOAP\)為直角三角形；由勾股定理得\(PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)。2.中檔題：連接\(OC\)，\(CD\)是切線\(\RightarrowOC\perpCD\)；\(OB=OC\Rightarrow\angleOBC=\angleOCB=30^\circ\)，故\(\angleCOD=\angleOBC+\angleOCB=60^\circ\)；在\(Rt\triangleOCD\)中，\(\angleCOD=60^\circ\Rightarrow\angleD=30^\circ\)，故\(OC=\frac{1}{2}OD=3\)（\(\odotO\)半徑為\(3\)）。3.綜合題：證明：連接\(OD\)，需證\(OD\perpDE\)；\(AB=AC\Rightarrow\angleABC=\angleACB\)；\(OB=OD\Rightarrow\angleABC=\angleODB\)，故\(\angleODB=\angleACB\RightarrowOD\parallelAC\)；\(DE\perpAC\RightarrowOD\perpDE\)（平行線性質(zhì)）；\(OD\)是\(\odotO\)的半徑，且\(DE\perpOD\)，故\(DE\)是\(\odotO\)的切線。四、備考建議1.重視基礎(chǔ)：以上考點(diǎn)均為中考核心，需熟練掌握公式、定理（如二次函數(shù)頂點(diǎn)公式、相似三角形判定、切線性質(zhì)），避免基礎(chǔ)錯(cuò)誤。2.專項(xiàng)突破：針對(duì)薄弱知識(shí)點(diǎn)（如二次函數(shù)綜合題、相似三角形比例計(jì)算），進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)