試題試題深圳市致理中學2023~2024學年度第一學期高一數(shù)學第一次統(tǒng)測試題第一部分選擇題一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.下列元素與集合的關系中，正確的是（）A. B. C. D.2.命題“”的否定是（）A B.C. D.3.若，則下列關系一定成立的是（）A B.C. D.4.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.5.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知集合，，且，則a＝（）A.0或 B.0或1 C.1或 D.07.如果，那么下列不等式正確的是（）A. B.C. D.8.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，少選得2分，有錯選得0分）9.若全集為，集合，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.10.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則11.下列說法正確的是（）A.，關于的方程有實根B.“存在一個三角形至少有兩個銳角”的否定是“任意三角形至多有兩個銳角”C.“”是“”的充要條件D.若“”是“”的必要條件，則12.若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為第二部分非選擇題三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知集合，用列舉法表示集合，則__________.14.已知兩實數(shù)，，a、b分別對應實數(shù)軸上兩點A，B，則點A在點B的______（填“左邊”或“右邊”）．15.已知，則的最大值為__________.16.已知命題“”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題（本題共6小題，其中17小題10分，18-22小題各12分，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）17.求下列不等式的解集：（1）；（2）.18.用符號語言表示下列含有量詞的命題，并判斷真假：（1）任意實數(shù)的平方大于0；（2）有實數(shù)的平方等于它本身；（3）兩個有理數(shù)的乘積仍為有理數(shù).19.設，，求，，的范圍.20.設集合.（1）若時，求，；（2）若成立，求的取值范圍.21.已知，且都正數(shù).（1）若，求證：；（2）求證：.22.某公司決定在公司倉庫外借助一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的應急室，由于此應急室后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價為：應急室正面墻體每平方米的報價400元，側面墻體每平方米的報價均為300元，屋頂和地面及其他報價共計7200元，設應急室的左右兩側的長度均為米.（1）甲工程隊應如何設計應急室正面和兩側的長度，可以使公司的建造費用最低；（2）現(xiàn)有乙工程隊也參與此應急室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范圍.

深圳市致理中學2023~2024學年度第一學期高一數(shù)學第一次統(tǒng)測試題第一部分選擇題一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.下列元素與集合的關系中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關系，結合常用數(shù)集的定義即可一一判斷.【詳解】為自然數(shù)集，為正整數(shù)集，為有理數(shù)集，為實數(shù)集,所以，，，.故選：C.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由特稱命題否定改寫規(guī)則可得答案.【詳解】根據(jù)“改量詞，否結論”可得命題“”的否定是.故選：D3.若，則下列關系一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式的性質，對選項進行一一驗證，即可得到答案；【詳解】對A，當，故A錯誤；對B，當時，，故B錯誤；對C，同向不等式的可加性，故C正確；對D，若，不等式顯然不成立，故D錯誤；故選：C.4.若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圖象判斷出陰影部分為，由此求得正確答案.【詳解】，由圖象可知，陰影部分表示.故選：A5.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】當成立時可得到成立，反之當成立時不一定成立，如時，所以是的充分不必要條件，選A.6.已知集合，，且，則a＝（）A.0或 B.0或1 C.1或 D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合元素相等列方程求解，注意集合元素互異性對集合元素的限制.【詳解】∵，∴或，∴或a=，又由于集合元素的互異性，應舍去1，∴或a=故選：A．7.如果，那么下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出，再結合可得出結果.【詳解】由已知，利用基本不等式得出，因為，則，，所以，，∴.故選：B8.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個數(shù)為4.故選：C.【點晴】本題主要考查集合的交集運算，考查學生對交集定義的理解，是一道容易題.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，少選得2分，有錯選得0分）9.若全集為，集合，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)條件畫出Venn圖求解.【詳解】解：因為全集為，集合，作出Venn圖，如圖所示：由圖知：，，，，故選：ABC10.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】A.由判斷；B.由，作差判斷；C.作差判斷其符號；D.作差判斷其符號.【詳解】A.當時，，故錯誤；B.若，則，則，故正確；C.若且，則，故正確；D.若，則，因為的符號不定，故與的大小不定，故錯誤；故選：BC11.下列說法正確的是（）A.，關于的方程有實根B.“存在一個三角形至少有兩個銳角”的否定是“任意三角形至多有兩個銳角”C.“”是“”的充要條件D.若“”是“”的必要條件，則【答案】AD【解析】【分析】A.由判斷；B.利用含有一個量詞的命題的否定定義判斷；C.由，則x，y同號判斷；D.由求解判斷.【詳解】A.因為，所以對，關于的方程有實根，故正確；B.“存在一個三角形至少有兩個銳角”的否定是“任意三角形至多有一個銳角”，故錯誤；C.若，則或，故錯誤；D.因為“”是“”必要條件，所以，則，故正確；故選：AD12.若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】A．根據(jù)進行計算然后直接判斷即可；B．將平方后再計算最大值并判斷；C．將變形為，然后結合的最大值求解出最小值并判斷；D.利用消元法將變形為，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解出最小值并判斷.【詳解】A．因為，取等號時，故正確；B．因為，所以，取等號時，故正確；C．因為，取等號時，故錯誤；D．因為，當時取最小值為，故正確；故選：ABD.第二部分非選擇題三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知集合，用列舉法表示集合，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合的描述法即可求解.【詳解】,故答案為：14.已知兩實數(shù)，，a、b分別對應實數(shù)軸上兩點A，B，則點A在點B的______（填“左邊”或“右邊”）．【答案】右邊【解析】【分析】兩式作差，配方即可比較大小，從而作出判斷.【詳解】∵，，∴，∴點A在點B的右邊.故答案為：右邊15.已知，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】運用基本不等式求解即可.詳解】∵，∴（當且僅當即時，等號成立），∴（當且僅當即時，等號成立），所以，，則的最大值為.故答案為：.16.已知命題“”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】分與兩種情況討論，結合已知條件可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】已知命題“，恒成立”是真命題.當時，則有恒成立，合乎題意；當時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，其中17小題10分，18-22小題各12分，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）17.求下列不等式的解集：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】先判斷對應一元二次方程的根的判別式，結合對應二次函數(shù)的圖象即可求解.【小問1詳解】不等式即.因為，所以方程有兩個不等實根，解得，由函數(shù)的圖象可知，不等式的解集為，所以原不等式的解集為.【小問2詳解】不等式可化為.因為，所以方程無實根，由函數(shù)的圖象可知，不等式的解集為，即原不等式解集為.18.用符號語言表示下列含有量詞的命題，并判斷真假：（1）任意實數(shù)的平方大于0；（2）有的實數(shù)的平方等于它本身；（3）兩個有理數(shù)的乘積仍為有理數(shù).【答案】（1），假命題（2），真命題（3），真命題【解析】【分析】（1）將文字語言改為符號語言，利用反例知原命題為假；（2）將文字語言改為符號語言，利用特殊值知原命題為真；（3）將文字語言改為符號語言，利用有理數(shù)的性質知原命題為真.【小問1詳解】“任意實數(shù)的平方大于0”用符號語言表示為：；當時，，不合題意，所以為假命題；【小問2詳解】“有的實數(shù)的平方等于它本身”用符號語言表示為：；當時，，所以為真命題；【小問3詳解】“兩個有理數(shù)的乘積仍為有理數(shù)”用符號語言表示為：；當時，根據(jù)有理數(shù)的性質知，所以為真命題.19.設，，求，，的范圍.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質，先求出與的范圍，再由可乘性得出的范圍即可.【詳解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．20.設集合.（1）若時，求，；（2）若成立，求的取值范圍.【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）先得到集合B，再利用集合的交集，補集和并集運算求解；（2）由，分，求解.【小問1詳解】時，，所以，或，或；【小問2詳解】由題意知：

，若，則，得，此時，符合題意；若，則，解得，綜上所述，或.21.已知，且都是正數(shù).（1）若，求證：；（2）求證：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用作差法證明；（2）由，利用基本不等式證明.命題得證.【小問1詳解】解：，，因為，所以，所以，所以；【小問2詳解】因為，且都是正數(shù)，所以，，命題得證.22.某公司決定在公司倉庫外借助一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的應急室，由于此應急室后背靠墻，無需建造費用，因此甲工程隊給出的報價為：應急室正面墻體每平方米的報價400元，側面墻體每平方米的報價均為300元，屋頂和地面及其他報價共計7200元，設應急室的左右兩側的長度均為米.（1）甲工程隊應如何設計應急室正面和兩側的長度，可以使公司的建造費用最低；（2）現(xiàn)有乙工程隊也參與此應急室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范圍.【答案】（1）左右兩側長度均為