第3節(jié)隨機(jī)事件的概率與古典概型【課標(biāo)要求】（1）理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系；（2）了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算；（3）理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率；（4）理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)事件與事件的關(guān)系及運(yùn)算1.樣本空間和隨機(jī)事件關(guān)鍵詞含義樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果，常用ω表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合，常用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間隨機(jī)事件樣本空間Ω的子集，常用大寫字母A，B，C，…表示基本事件只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件必然事件每次試驗(yàn)一定發(fā)生的事件不可能事件每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件2.事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示包含關(guān)系A(chǔ)發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B相等關(guān)系B?A且A?BA＝B并事件（和事件）A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B＝?互為對(duì)立事件A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生A∩B＝?，A∪B＝Ω結(jié)論當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，一定互斥，即兩事件互斥是對(duì)立的必要不充分條件.（1）〔多選〕拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：E＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，G＝“點(diǎn)數(shù)大于2”，H＝“點(diǎn)數(shù)不大于2”，R＝“點(diǎn)數(shù)為1”.則下列結(jié)論正確的是（ACD）A.E，F(xiàn)為對(duì)立事件B.G，H為互斥不對(duì)立事件C.E，G不是互斥事件D.G，R是互斥事件解析：（1）點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，所以E，F(xiàn)是對(duì)立事件，選項(xiàng)A正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)不大于2不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，G，H為互斥且對(duì)立事件，選項(xiàng)B不正確；點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)與點(diǎn)數(shù)大于2可能同時(shí)發(fā)生，E，G不互斥，選項(xiàng)C正確；點(diǎn)數(shù)大于2與點(diǎn)數(shù)為1不可能同時(shí)發(fā)生，G，R為互斥事件，選項(xiàng)D正確.故選A、C、D.（2）〔多選〕對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，則下列關(guān)系正確的是（BC）A.A∩D＝? B.B∩D＝?C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D解析：（2）“恰有一彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中、第二枚沒中或第一枚沒中、第二枚擊中，“至少有一彈擊中飛機(jī)”包含兩種情況，一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故A∩D≠?，B∩D＝?，A∪C＝D，A∪B≠B∪D.規(guī)律方法判斷互斥事件、對(duì)立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件；（2）集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥；②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.練1（1）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)除顏色外完全相同的小球，從中取出兩個(gè)球，事件A＝“取出的兩個(gè)球同色”，B＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩個(gè)球不同色”，E＝“取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷正確的是（）A.A與D為對(duì)立事件B.B與C是互斥事件C.C與E是對(duì)立事件D.A∩B＝B∩E（2）〔多選〕下列說(shuō)法正確的是（）A.若事件A與B互斥，則A∪B是必然事件B.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》《紅樓夢(mèng)》是我國(guó)四大名著.若在這四大名著（各一本）中，甲、乙、丙、丁分別任取一本進(jìn)行閱讀，設(shè)事件E＝“甲取到《紅樓夢(mèng)》”，事件F＝“乙取到《紅樓夢(mèng)》”，則E與F是互斥但不對(duì)立事件C.擲一枚骰子，記錄其向上的點(diǎn)數(shù)，記事件A＝“向上的點(diǎn)數(shù)不大于5”，事件B＝“向上的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則B?AD.10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)次品，從中抽取一個(gè)產(chǎn)品檢查其質(zhì)量，則樣本空間含有2個(gè)樣本點(diǎn)答案：（1）A（2）BCD解析：（1）當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與C都發(fā)生，B不正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事件C與E都發(fā)生，C不正確；顯然A與D是對(duì)立事件，A正確；A∩B含有“黃黃”一個(gè)事件，而B∩E含有“黃紅”“黃白”“黃黃”三個(gè)事件，故A∩B≠B∩E，故D錯(cuò)誤.（2）對(duì)于A，事件A與B互斥時(shí)，A∪B不一定是必然事件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件E與F不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以E與F是互斥事件，但除了事件E與F之外還有事件“丙取到《紅樓夢(mèng)》”“丁取到《紅樓夢(mèng)》”，所以E與F不是對(duì)立事件，故E與F是互斥但不對(duì)立事件，故B正確；對(duì)于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B?A，故C正確；對(duì)于D，樣本空間Ω＝{正品，次品}，含有2個(gè)樣本點(diǎn)，故D正確.知識(shí)點(diǎn)二古典概型1.古典概型的特征（1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.2.古典概型的概率公式設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P（A）＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n（A）和n（（1）（2025·八省聯(lián)考）有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為356；解析：（1）從8張卡片中隨機(jī)抽出3張，則樣本空間中總的樣本點(diǎn)數(shù)為C83＝8×7×63×2×1＝56，因?yàn)?＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，所以要使抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和應(yīng)為18，則抽出的3張卡片上的數(shù)字的組合有8，7，3或8，6，4或7，6，5（2）（2024·新高考Ⅰ卷14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為12解析：（2）甲出1一定輸，所以最多得3分，要得3分，就只有一種組合1－8，3－2，5－4，7－6.得2分有三類，分別列舉如下：①出3和出5時(shí)贏，其余輸：1－6，3－2，5－4，7－8；②出3和出7時(shí)贏，其余輸：1－4，3－2，5－8，7－6；1－8，3－2，5－6，7－4；1－6，3－2，5－8，7－4；③出5和出7時(shí)贏，其余輸：1－2，3－8，5－4，7－6；1－4，3－8，5－2，7－6；1－8，3－4，5－2，7－6；1－6，3－8，5－2，7－4；1－8，3－6，5－2，7－4；1－6，3－8，5－4，7－2；1－8，3－6，5－4，7－2.共12種組合滿足要求，而所有組合為4！，所以甲得分不小于2的概率為124?。揭?guī)律方法1.古典概型的概率求解步驟（1）求出樣本空間Ω包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n；（2）求出事件A包含的所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)k；（3）代入公式P（A）＝kn＝n（2.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法（1）枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題；（2）樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗(yàn)結(jié)果.樹狀圖在解決求樣本點(diǎn)總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題時(shí)直觀、方便，但畫樹狀圖時(shí)要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)；（3）排列、組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列、組合的知識(shí).練2（1）（2025·上海模擬）已知向量a＝（x，y），b＝（1，－2），從6張大小相同分別標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4，5，6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次、第二次抽取的卡片上的號(hào)碼，則滿足a·b＞0的概率是（D）A.112 B.C.15 D.（2）（2024·寶雞三模）圍棋起源于中國(guó)，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，圍棋至今已有四千多年歷史，蘊(yùn)含著中華文化的豐富內(nèi)涵.在某次國(guó)際比賽中，中國(guó)派出包含甲、乙在內(nèi)的5位棋手參加比賽，他們分成兩個(gè)小組，其中一個(gè)小組有3位，另外一個(gè)小組有2位，則甲和乙不在同一個(gè)小組的概率為35解析：（1）設(shè)（x，y）表示一個(gè)樣本點(diǎn)，則兩次抽取卡片的樣本空間包含樣本點(diǎn)6×6＝36個(gè)，由a·b＞0，即x＞2y，故滿足x＞2y的樣本點(diǎn)有（3，1），（4，1），（5，1），（6，1），（5，2），（6，2）共6個(gè)，所以所求概率為P＝636＝16.故選（2）5人分成2個(gè)小組，一組3位，一組2位，樣本空間包含樣本點(diǎn)C52＝10個(gè)，甲和乙不在同一個(gè)小組，則甲所在組有2人或3人，則有C31＋C32＝6個(gè)樣本點(diǎn)，所以甲和乙不在同一個(gè)小組的概率知識(shí)點(diǎn)三概率的基本性質(zhì)與實(shí)際情境中的概率估計(jì)1.概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有P（A）≥0；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P（Ω）＝1，P（?）＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）；性質(zhì)5：如果A?B，那么P（A）≤P（B），由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)??A?Ω，所以0≤P（A）≤1；性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）.2.頻率和概率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn（A）會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P（A），我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，可以用頻率fn（A）估計(jì)概率P（A）.結(jié)論若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.（1）〔多選〕已知事件A，B，C兩兩互斥，若P（A）＝15，P（A∪B）＝815，P（A∪C）＝920，則（ACDA.P（B）＝13 B.P（C）＝C.P（B∪C）＝712 D.P（B∩C）＝解析：（1）因?yàn)槭录嗀，B，C兩兩互斥，所以P（B∩C）＝0，故D正確；P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝15＋P（B）＝815，則P（B）＝13，故A正確；P（A∪C）＝P（A）＋P（C）＝15＋P（C）＝920，則P（C）＝14，故B錯(cuò)誤；P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝13＋14＝712，故C（2）射擊隊(duì)的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如表：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12則該選手射擊一次，命中9環(huán)或10環(huán)的概率為0.60；至少命中8環(huán)的概率為0.78；命中不足8環(huán)的概率為0.22.解析：（2）記“射擊一次，命中10環(huán)”為事件A，“射擊一次，命中9環(huán)”為事件B，“射擊一次，命中8環(huán)”為事件C，“射擊一次，命中9環(huán)或10環(huán)”為事件D，則D＝A＋B，由互斥事件的加法公式得P（D）＝P（A＋B）＝0.32＋0.28＝0.60；設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為E，則E＝A＋B＋C，由互斥事件的概率加法公式得P（E）＝P（A＋B＋C）＝0.32＋0.28＋0.18＝0.78；由于事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”是“射擊一次，至少命中8環(huán)”的對(duì)立事件，即E表示事件“射擊一次，命中不足8環(huán)”，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得P（E）＝1－P（E）＝1－0.78＝0.22.規(guī)律方法互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件的概率加法公式求解概率；（2）若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮先求其對(duì)立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.練3（1）〔多選〕某校為了解學(xué)校餐廳中午的用餐情況，分別統(tǒng)計(jì)了食用大米套餐和面食的人數(shù)，剩下的為食用米線、漢堡等其他食品（每人只選一種），結(jié)果如表所示：總?cè)藬?shù)食用大米套餐人數(shù)食用面食人數(shù)1000550260假設(shè)隨機(jī)抽取一位同學(xué)，記“中午吃大米套餐”為事件M，“吃面食”為事件N，“吃米線、漢堡等其他食品”為事件H，若用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率，則下列結(jié)論正確的是（ABC）A.P（M）＝0.55 B.P（N）＝0.26C.P（H）＝0.19 D.P（N∪H）＝0.65（2）在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)（取整數(shù)）不低于90分的概率是0.18，在[80，89]的概率是0.51，在[70，79]的概率是0.15，在[60，69]的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，則小明在數(shù)學(xué)考試中成績(jī)不低于70分的概率為0.84；小明數(shù)學(xué)考試及格（60分及以上）的概率為0.93.解析：（1）用頻率估計(jì)概率得P（M）＝5501000＝0.55，P（N）＝2601000＝0.26，P（H）＝1000－550－2601000＝0.19，故A、B、C正確；P（N∪H）表示事件N發(fā)生或事件H發(fā)生，且N與H互斥，故P（N∪H）＝P（N）＋P（H）＝0（2）分別記小明的成績(jī)“不低于90分”“[80，89]”“[70，79]”“[60，69]”為事件B，C，D，E，這四個(gè)事件彼此互斥.則小明的成績(jī)不低于70分的概率是P（B∪C∪D）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84.法一小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是P（B∪C∪D∪E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二小明數(shù)學(xué)考試不及格的概率是0.07，所以小明數(shù)學(xué)考試及格的概率是1－0.07＝0.93.一、單項(xiàng)選擇題1.從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級(jí)參加一次活動(dòng)，則樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.5 B.10C.15 D.20解析：B從A，B，C，D，E五人中選兩人，不同的選法有C52＝10，所以樣本空間中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為故選B.2.已知P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，如果A?B，那么P（A∩B）＝（）A.0.18 B.0.42C.0.6 D.0.7解析：C由于A?B，所以P（A∩B）＝P（A）＝0.6.故選C.3.（2024·濟(jì)南三模）哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如12＝5＋7，在不超過(guò)18的素?cái)?shù)2，3，5，7，11，13，17中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于18的概率是（）A.121 B.C.17 D.解析：B在不超過(guò)18的素?cái)?shù)2，3，5，7，11，13，17中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，樣本空間包含樣本點(diǎn)數(shù)n＝C72＝21，其和等于18的事件有（5，13），（7，11），2個(gè)樣本點(diǎn)，所以和等于18的概率是P＝221.4.兩名同學(xué)在一次用頻率估計(jì)概率的試驗(yàn)中統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制出統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)是（）A.拋一枚硬幣，正面朝上的概率B.擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率C.轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率D.從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率解析：D根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果在0.33附近波動(dòng)，即其概率P＝13，選項(xiàng)A，擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為12；選項(xiàng)B，擲一枚正六面體的骰子，出現(xiàn)1點(diǎn)的概率為16；選項(xiàng)C，轉(zhuǎn)動(dòng)題圖所示的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)到數(shù)字為奇數(shù)的概率為23；選項(xiàng)D，從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中任取一個(gè)球恰好是藍(lán)球的概率為15.從裝有10個(gè)紅球和10個(gè)白球的罐子里任取兩球，下列情況中互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件的是（）A.至少有一個(gè)紅球；至少有一個(gè)白球B.恰有一個(gè)紅球；都是白球C.至少有一個(gè)紅球；都是白球D.至多有一個(gè)紅球；都是紅球解析：B對(duì)于A，“至少有一個(gè)紅球”可能為一個(gè)紅球、一個(gè)白球，“至少有一個(gè)白球”也可能為一個(gè)白球、一個(gè)紅球，故兩事件可能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于B，“恰有一個(gè)紅球”，則另一個(gè)必是白球，與“都是白球”是互斥事件，而任取兩球還可能都是紅球，故兩事件不是對(duì)立事件；對(duì)于C，“至少有一個(gè)紅球”為都是紅球或一紅一白，與“都是白球”顯然是對(duì)立事件；對(duì)于D，“至多有一個(gè)紅球”為都是白球或一紅一白，與“都是紅球”是對(duì)立事件.6.從裝有若干個(gè)紅球和白球（除顏色外其余均相同）的黑色布袋中，隨機(jī)不放回地摸球兩次，每次摸出一個(gè)球.若事件“兩個(gè)球都是紅球”的概率為215，“兩個(gè)球都是白球”的概率為13，則“兩個(gè)球顏色不同”的概率為（A.415 B.C.815 D.解析：C設(shè)“兩個(gè)球都是紅球”為事件A，“兩個(gè)球都是白球”為事件B，“兩個(gè)球顏色不同”為事件C，則P（A）＝215，P（B）＝13，且C＝A∪B.因?yàn)锳，B，C兩兩互斥，所以P（C）＝1－P（C）＝1－P（A∪B）＝1－[P（A）＋P（B）]＝1－215－13＝87.天上有三顆星星，地上有四個(gè)孩子.每個(gè)孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一個(gè)孩子的愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個(gè)孩子的愿望，那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無(wú)法成真，則至少有兩個(gè)孩子愿望成真的概率是（）A.19 B.C.49 D.解析：C四個(gè)孩子向三顆星星許愿，一共有34＝81種可能的許愿方式.由于四個(gè)人選三顆星星，那么至少有一顆星星被兩個(gè)人選，這兩個(gè)人愿望無(wú)法實(shí)現(xiàn)，至多只能實(shí)現(xiàn)兩個(gè)人的愿望，所以至少有兩個(gè)孩子愿望成真，只能是有兩顆星星各有一個(gè)人選，一顆星星有兩個(gè)人選，可以先從四個(gè)孩子中選出兩個(gè)孩子，讓他們共同選一顆星星，其余兩個(gè)人再選另外兩顆星，有C42C31A22＝36種情況，所以所求概率為P二、多項(xiàng)選擇題8.小張上班從家到公司開車有兩條線路，所需時(shí)間（分鐘）隨交通堵塞狀況有所變化，其概率分布如下表所示：所需時(shí)間（分鐘）30405060線路一0.50.20.20.1線路二0.30.50.10.1則下列說(shuō)法正確的是（）A.任選一條線路，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是對(duì)立事件B.從所需的平均時(shí)間看，線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間C.如果要求在45分鐘以內(nèi)從家趕到公司，小張應(yīng)該走線路一D.若小張上、下班走不同線路，則所需時(shí)間之和大于100分鐘的概率為0.04解析：BD對(duì)于選項(xiàng)A，“所需時(shí)間小于50分鐘”與“所需時(shí)間為60分鐘”是互斥而不對(duì)立事件，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，線路一所需的平均時(shí)間為30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39分鐘，線路二所需的平均時(shí)間為30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40分鐘，所以線路一比線路二更節(jié)省時(shí)間，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，線路一所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.7，線路二所需時(shí)間小于45分鐘的概率為0.8，小張應(yīng)該選線路二，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，所需時(shí)間之和大于100分鐘，則線路一、線路二的時(shí)間可以為（50，60），（60，50）和（60，60）三種情況，概率為0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，所以選項(xiàng)D正確.故選B、D.9.設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知P（AB）＝P（BA）＝14，P（A＋B）＝34，則（A.P（A）＝12 B.P（B）＝C.P（AB）＝12 D.P（AB解析：ABD由P（AB）＝P（BA）＝14，P（A＋B）＝34，即P（AB）＋P（BA）＋P（AB）＝34，知P（AB）＝14，所以C錯(cuò)誤.又P（A）＝P（AB）＋P（AB）＝14＋14＝12，所以A正確.同理可得P（B）＝P（BA）＋P（BA）＝14＋14＝12，B正確.又P（AB）＝1－P（A＋B）＝14，三、填空題10.甲、乙兩人破譯同一個(gè)密碼，記甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則AB∪AB表示的含義是只有一人破譯出密碼，事件“密碼被破譯”可表示為AB∪AB∪AB.解析：由題意A代表甲沒有破譯出密碼，B代表乙沒有破譯出密碼，則AB表示甲沒有破譯同時(shí)乙破譯了，AB表示甲破譯同時(shí)乙沒有破譯，所以AB∪AB的含義是只有一人破譯出密碼，事件“密碼被破譯”可以分為甲沒有破譯同時(shí)乙破譯了或甲破譯同時(shí)乙沒有破譯或甲乙都破譯了，所以可表示為AB∪AB∪AB.11.某公司現(xiàn)有員工120人，在榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)的85人中，有75人是高級(jí)工程師.既沒有榮獲“優(yōu)秀員工”稱號(hào)又不是高級(jí)工程師的員工共有14人，公司將隨機(jī)選擇一名員工接受電視新聞節(jié)目的采訪，被選中的員工是高級(jí)工程師的概率為45解析：如圖，設(shè)A集合為“優(yōu)秀員工”，B集合為“高級(jí)工程師”，由題A集合有85個(gè)元素，A∩B有75個(gè)元素，?U（A∪B）有14個(gè)元素，故集合B中有96個(gè)元素.故概率P＝96120＝4512.將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為736解析：根據(jù)題意，將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，每次都有6種情況，則共有63＝216（種）情況，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列，分兩種情況討論：①若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)不同，則為1，2，3或1，3，5或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6，共有6種可能，每種可能的點(diǎn)數(shù)順序可以顛倒，即有A33＝6（種）情況，共有6×6＝36（種）情況；②若落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)全相同，有6種情況，所以共有36＋6＝42（種）情況，則落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)能組成等差數(shù)列的概率為42216四、解答題13.某食品公司在中秋節(jié)來(lái)臨之際開發(fā)了一種月餅禮盒，禮盒中共有7個(gè)月餅，其中有4個(gè)五仁月餅和3個(gè)棗泥月餅.（1）一次取出兩個(gè)月餅，求兩個(gè)月餅為同一種口味的概率；（2）依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，求第1次、第2次取到的都是五仁月餅的概率；（3）依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，求第2次取到棗泥月餅的概率.解：（1）一次取出2個(gè)月餅，共有C72＝21（種）方法，其中兩個(gè)都是五仁的有C42＝6（種）方法，兩個(gè)都是棗泥的有C32＝3（種）方法（2）依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，共有A72＝42（種）方法，其中第1次、第2次取到的都是五仁月餅有4×3＝12（種）方法，所以第1次、第2次取到的都是五仁月餅的概率是1242（3）依次不放回地從禮盒中取2個(gè)月餅，共有A72＝42（種）方法，第1次取到五仁、第2次取到棗泥月餅的方法有4×3＝12（種），第1次取到棗泥、第2次也取到棗泥月餅的方法有3×2＝6（種），所以第2次取到棗泥月餅的概率為12+64214.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]頻數(shù)412423210（1）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（2）已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其